复数、单位复数、单位复数与原根联系

1. 复数

1.1 复数的引入和定义

1.1.1 略谈数集扩充

略了很多字。

在数学在现实应用领域的发展过程中，我们常需要解类似的方程： $x^2 + a = 0$ ，然而这在实数集下无解。

1.1.2 虚数单位于的引入与复数的定义

于是虚数单位 "i"被引入，并且有 $i^2 = -1$ 。

让复数表示为实数与虚数的符合形式，如 $a + bi\ a,b \in R$ ，让新集“复数集”表示为 C 。

定义复数相等：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，$z_1 = z_2 \Leftrightarrow a = c, b = d$ 。

令 $\cdot$ 表示为复数的四则运算加减乘除，则 $(G, \cdot)$ 会是一个阿贝尔群。于是类似 $x^2 + a = 0$ 可以有复数解 $a i^2$ 。自然而然，复数集便可被扩充。

复数通常可以用代数形式表示：$z = a + bi$ ，其中 $a$ 为 $z$ 的实部，读作 $a$ 是 $z$ 的 $real\ part$ ，写作 $Re(z) = a$ ；$b$ 为 $z$ 的虚部，读作 $b$ 是 $z$ 的 $Imaginary\ part$ ，写作 $Im(z) = b$ 。
一种复数的常见形式为三角形式：$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\ s.t.\ r \in R$ 。$r$ 为复数的模 $|z|$ ，$\theta$ 为辐角 $Arg\ z$ ，$(\cos \theta, \sin \theta)$ 为直角坐标。
另一种复数的常见形式为指数形式：$z = r \exp(i \theta) = r e^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 。最后一步变换为欧拉公式： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ ，后文会提到。

1.1.3 虚数的引入

定义虚数集，它与实数集划分复数集。

在复数的代数形式 $z = a + bi$ 下：

若 $b = 0$ ， $z$ 是实数。
若 $b \neq 0$ ，$z$ 是虚数。
- 特别的，若 $b \neq 0$ 且 $a = 0$ ，$z$ 是纯虚数。纯虚数集真包含于虚数集。

1.2 复数的性质与四则运算

1.2.1 复数的几何意义

考虑一根无限长的一维的数轴，定义实数单位 $1$ 为水平正方向，显然“所有实数”与数轴上的“坐标”形成双射。

选取一条无限长的数轴过 $0$ 垂直于原数轴，定义虚数单位 $i$ 为竖直正方向，得到一个二维空间。

对于复数的代数形式 $z = a + bi$ ，显然“所有 $(a, b)$” 与二维空间的“平面直角坐标”形成双射。

对于复数的三角形式 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ，显然“所有 $r(\cos \theta, \sin \theta)$” 与二维空间的“三角坐标”形成双射。

二维空间的点可以看作向量，比如复数 $z$ 可以看作向量 $\vec{OZ}$ 。显然地，复数可以相等，但不能比较大小。

所有向量的起点移动到原点即得到一个坐标系。

1.2.2 复数的加法与减法

定义复数加法：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 。则 $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$ 。

封闭性：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_3 = z_1 + z_2 \in C$ 。
证明： $z_3 = z_1 + z_2 = ac + bdi$ ，显然 $z_3$ 能表现为复数的代数形式，即 $z_3 \in C$ 。$\square$
结合律：若 $z_1, z_2, z_3 \in C$ ，则 $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ 。
证明： $(a + c) + (b + d)i + e + fi = a + bi + (c + e) + (d + f)i = (a + c + e) + (b + e + f)i$ 。$\square$
单位元： $C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $e + z = z + e = z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
证明： 显然有且仅有 $e = 0$ 。$\square$
逆元：$\forall a \in C$ ，都有且仅有一个 $b$ 满足 $a + b = b + a = e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
证明： 显然对于任意 $a$ ，有且仅有 $b = -a$ 。$\square$
交换律：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ 。
证明： $a + bi + c + di = c + di + a + bi = (a + c) + (b + d)i$ 。$\square$

由 $1, 2, 3, 4$ ， $(C, +)$ 是个群。再由 $5$ ，$(C, +)$ 是个阿贝尔群。

减法是加法的逆运算，如 $(z_1 + z_2) - z_2 = z_1$ 。于是 $(C, -)$ 是个阿贝尔群。

1.2.3 复数的乘法与除法

定义复数乘法：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，则 $z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$ 。(显然复数乘法在几何意义上与向量点积和叉积无关。)

封闭性：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 z_2 \in C$ 。
证明： 令 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di, z_3 = z_1 z_2$ ，则 $z_3 = z_1 z_2 = (a + bi)(c + di)$ ，继续展开得到 $z_3 = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd)(ad + bc)i$ ，显然 $z_3$ 能表现成复数的代数形式，即 $z_3 \in C$ 。$\square$
结合律：若 $z_1, z_2, z_3 \in C$ ，则 $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$ 。
证明： $((a + bi)(c + di))(e + fi) = (a + bi)((c + di)(e + fi))$ 是直观显然的。$\square$
单位元：$C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $e z = z e = z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
证明： 显然 $C$ 中有且仅有 $e = 1$ 。$\square$
逆元：$\forall a \in C$ ，都有 $a b = b a = e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
证明： 观察 $(a + bi)(x + yi) = 1$ ，当且仅当 $a + bi \neq 0$ 时有解。 $\square$
交换律：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 z_2 \in C$ 。
证明： $(a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)$ 是直观显然的。$\square$

由 $1, 2, 3, 4$ ，$(C \backslash \{0\}, \times)$ 是个群。再由 $5$ ，$(C \backslash \{0\}, \times)$ 是个阿贝尔群。

除法是乘法的逆运算，于是 $(C \backslash \{0\}, /)$ 是个阿贝尔群。

1.2.4 辐角

1.2.4.1 复平面

在几何意义中已经对复数二维空间的方向进行过一个定义，实数单位 $1$ 为水平正方向，虚数单位 $i$ 为竖直正方向。

现在可以补充说明，将所有复数向量的起点移动到原点后，这个复数二维空间即复平面。

1.2.4.2 辐角和辐角主值

一个复数 $z = a + bi$ 可以表示出坐标 $(a, b)$ 。定义 $Arg\ z$ 为 $z$ 的辐角，有 $\tan (Arg\ z) = \frac{b}{a}$ 。

定义 $z$ 的 辐角主值或主辐角 为 $arg\ z$ ，有 $-\pi < arg\ z \leq \pi$ 。

需要注意，辐角不值某个角，而是指一个集合。 $Arg\ z = \{ arg\ z + 2 k \pi \mid k \in Z \}$ 。

1.2.4.3 单位圆

所有模小于等于 $1$ 的复数在复平面上构成单位圆。
模为 $1$ 的复数为单位复数。所有单位复数构成构成单位圆周。

1.2.4.4 极坐标

在极坐标的视角下表示复数坐标，则 $(a, b) = (r, \theta)$ 。其中 $r = \sqrt{a^2 + b^2}, \theta = Arg\ z$ 。

借助极坐标，复数乘法和除法的几何意义非常好理解。

乘法：$z_1 z_2 = (r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)$ ，即模相乘，辐角相加。
除法：乘法的逆运算，$z_1 / z_2 = (r_1 / r_2, \theta_1 - \theta_2)$ ，即模相除，辐角相减。

1.2.5 共轭复数

共轭复数，即模相等，辐角相反的的两个复数（角相反：即角的绝对值相等，符号相反）。几何意义上关于实轴对称。$z = a + bi$ 的共轭复数写作 $\bar{z} = a - bi$ 。

共轭复数是一种应用数学领域中常见的复数，具有以下性质。

$z \bar{z} = |z|^2$ 。
代数证明： $(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2$ 。$\square$
极坐标证明： $(r, \theta) (r, -\theta) = (r^2, 0) = r^2$ 。$\square$
$\bar{\bar{z}} = z$ 。
代数证明： $a + (-(-b))i = a + bi$ 。$\square$
极坐标证明： $(r, -(-\theta)) = (r, \theta)$ 。$\square$
$\overline{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}$ 。
证明： $\overline{z + w} = \overline{(a + bi) + (c + di)} = \overline{(a + c) + (b + d)i} = (a + c) - (b + d)i$ ，$\bar{z} + \bar{w} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i$ 。于是 $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$。减法是加法逆运算。 $\square$
$\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。
代数证明： $\overline{z 2} = \overline{(a + bi)(c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i$ 。$\bar{z} \bar{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) + (a(-d) + (-b)c)i = (ac - bd) - (ad + bc)i$ 。于是 $\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$\square$
极坐标证明： $\overline{z w} = \overline{(r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)} = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))$ 。$\bar{z} \bar{w} = (r_1, -\theta_1)(r_2, \theta_2) = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))$ 。于是 $\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$\square$

1.3 欧拉公式、复指数函数、复三角函数

1.3.1 欧拉公式

以欧拉命名的常见公式不止一个，这里指的是最出名的欧拉公式。
欧拉公式是欧拉创造的，被誉为“最美丽的数学公式”的公式，它将实数、虚数、三角函数联系到了一起，是一个数集的桥梁，在后世中应用广泛。
欧拉公式： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 。
不严谨的说明：
已知泰勒展开为：
$$
f(x) \to \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} x^{i}
$$
先确定三个函数的 $Taylor$ 展开式，已知（首先很经典，其次课本上说的）它们的展开式是收敛的：
1. $e^x = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} x^i + o(x^{n})$ 。
2. $\cos x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i + 2} \frac{1}{(2i)!} x^{2i} + o(x^{2n})$ 。
3. $\sin x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i} \frac{1}{(2i + 1)!} x^{2i + 1} + o(x^{2n + 1})$ 。
由
$e^{ix} = \frac{x^0}{0!} + i\frac{x^1}{1!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^{6}}{6!} - i\frac{x^7}{7!} \cdots$
$\cos x = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
$i \sin x = i \frac{1}{1!} - i\frac{x^3}{3!} + i\frac{x^5}{5!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots$
可以发现 $\cos x + i \sin x = 1 + i\frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots = e^{ix}$ 。
$\square$

特殊的，有 $e^{\pi i} = -1$ 。 这个恒等式较为常用。
证明： $e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \times 0 = -1$ 。$\square$

1.3.2 复指数函数

复指数函数在实数集上的定义与实指数函数的定义一致。
对于复数 $z = x + iy$ ，定义函数 $\exp z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)$ 。
复数函数在复平面上的性质：

模横正：$|\exp z| > 0$ 。
证明： $|\exp z| = |e^x(\cos y + i \sin y)| = e^x > 0$ 。$\square$
辐角主值：$arg\ \exp z = y$ 。
证明： $\frac{e^x \sin y}{e^x \cos y} = \tan y$ ，于是 $arg\ \exp z = y$ 。$\square$
加法定理：$\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)$ 。
代数证明：
令 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，有
\[\begin{aligned} \exp(a + c + (b + d)i) &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i \sin (b + d)) \\ \exp(a + bi) \exp(c + di) &= e^{a}(\cos b + i\sin b) e^{c}(\cos d + i\sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d + i \cos b \sin d + i \sin b \cos d + i^2 \sin b \sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d - \sin b \sin d) + i(\cos b \sin d + \sin b \cos d) \\ &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i\sin (b + d)) \\ \textbf{于是} \\ \exp(z_1 + z_2) &= \exp(z_1) \exp(z_2) \quad \square \end{aligned} \]
极坐标证明：
\[\begin{aligned} \exp z_1 \exp z_2 &= e^{a + b}(\cos b + i \sin b)(\cos d + i \sin d) \\ &= e^{a + b}(1, b)(1, d) \\ &= e^{a + b}(1, b + d) \\ &= e^{a + b}(\cos (c + d) + i\sin(c + d)) \\ &= \exp(z_1 + z_2) \quad \square \end{aligned} \]
周期性：$\exp z$ 是以 $2 \pi i$ 为基本周期的周期函数。
证明： $\exp (z + 2 \pi i) = \exp(z) \exp(\pi i) \exp(\pi i) = \exp(z)$ 。$\square$

1.3.3 复三角函数

复三角函数在实数集上的定义与实三角函数的定义一致。
然而复三角函数在算法竞赛领域似乎未曾见过应用，暂时只给出复余弦函数与复正弦函数的定义和几个常见性质。

$\cos z = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2}$ 。
显然 $\frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} = \frac{\cos z + i \sin z + \cos (-z) + i \sin (-z)}{2} = \cos z$ 。
$\sin z = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2 i}$ 。
显然 $\frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} = \frac{\cos z + i \sin z - \cos (-z) - i\sin (-z)}{2i} = \sin z$ 。
特殊的，若 $z \in R$ ，则：
1. $\cos z = Re(\exp (iz))$ 。
2. $\sin z = Im(\exp (iz))$ 。
  显然 $\exp (iz) = \cos z + i \sin z$ 。

复三角函数在复平面上的几个性质：

奇偶性：
1. $\cos z$ 是复平面上的偶函数。
  证明： $\cos z - \cos (-z) = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} - \frac{\exp(-iz) + \exp(iz)}{2} = 0$ 。$\square$
2. $\sin z$ 是复平面上的积函数。
  证明： $\sin z + \sin (-z) = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} + \frac{\exp(-iz) - \exp(iz)}{2i} = 0$ 。$\square$
周期性：$\cos z$ 和 $\sin z$ 在复平面上的基本周期为 $2 \pi$ 。
证明： $\exp(w + 2 \pi) = \exp(w) \exp(2 \pi) = \exp(w)$ 。$\square$
值域：不同于实余弦函数与实正弦函数值域为 $[-1, 1]$ ，复余弦函数与复正弦函数的值域为 $C \backslash \{0\}$ 。
证明： 令 $z = a + bi\ s.t. a,b \in R$ ，记 $u = \exp(-b + ai) = e^{-b}(\cos a + i \sin a) \in C \backslash \{0\}$ 。显然 $\cos z = \frac{1}{2}(u + \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}$ 。显然 $\sin z = \frac{1}{2i} (u - \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}$ 。$\square$
三角恒等式：实际上基本符合实三角恒等式，暂时只给出常见的 $\cos^2 z + \sin^2 z = 1$ 证明。
证明： 有复数的几何意义与勾股定理则显然。$\square$

1.4 单位根

复数意义下的解叫做复根。
称 $x^n = 1$ 的解叫做 $n$ 次单位复根或 $n$ 次单位根。

可以断言 $n$ 次单位复根有且仅有 $n$ 个，且是从 $1$ 开始将等分单位元的 $n$ 个复数。
证明： 由欧拉公式 $e^{2 \pi i} = 1$ ，两边做 $k$ 次幂有 $e^{2k \pi i} = 1$ ，再取 $n$ 次根 $\sqrt[n]{1} = e^{2 \frac{1}{n} k \pi i} = \cos 2 \frac{1}{n} k \pi + i \sin 2 \frac{1}{n} k \pi$ 。由于 $2 \pi$ 是一个周期，于是一个周期内的解集为 $k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1\}$ 。$\square$

设 $w_{n}^{0} = w_{n}^{n} = 1$ ，逆时针依次为 $w_{n}^{0}, w_{n}^{1}, w_{n}^{2}, \cdots, w_{n}^{n - 1}$ 。其中 $w_{n}^{1}$ 通常直接被写作 $w_n$ 。

$w_1 = 1$ 是平凡的，不存在扩展性质。

$n \geq 2$ 时具有性质：

互异性：$\forall 0 \leq i < n,j\ s.t. i \neq j$ 有 $w_n^{i} \neq w_{n}^j$ 。
证明： 复数乘法，考虑极坐标系下， $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})$ 在 $k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1 \}$ 互不相同。$\square$
加法定理：$w_{n}^{a + b} = w_{n}^{a} w_{n}^{b}$ 。
证明： 极坐标系下 $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})$ 。于是 $w_{n}^{a + b} = (1, (a + b) \frac{2 \pi}{n}) = (1, a \frac{2 \pi}{n}) (1, b \frac{2 \pi}{n}) = w_{n}^{a} w_{n}^{b}$ 。$\square$
可除公约数性： $w_{ln}^{lk} = w_{n}^{k}$ 。
证明： 设极坐标系下 $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n}), w_{ln}^{lk} = (1, lk \frac{2 \pi}{nl})$ 。显然 $(1, lk \frac{2 \pi}{nl} = (1, k \frac{2 \pi}{n}))$ 即 $w_{n}^{k} = w_{ln}^{lk}$ 。$\square$
特殊的，$w_{2n}^{2k} = w_{n}^{k}$ ，又叫折半性。
周期性：$w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k}$ 。
证明： $w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k} w_{n}^{n} = w_{n}^{k}$ 。$\square$
对称性：$w_{2n}^{k + n} = -w_{2n}^{k}$ 。
证明： 显然地 $w_{2n}^{n} = -1$ ， $w_{2n}^{k + n} = w_{2n}^{k} w_{2n}^{n} = -w_{2n}^{k}$ 。$\square$
一定性：$\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0$ 。
证明： 由对称性 $w_{n}^{k} + w_{n}^{k + n/2} = 0$ ，$\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0$ 。$\square$
逆元存在：$\frac{1}{w_{n}^{k}}$ 存在。
证明： $\frac{1}{w_{n}^{k}} = e^{- \theta i} = (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta)) = (\cos \theta - i \sin \theta)$ ， $w_{n}^{k} = e^{\theta i} = (\cos \theta + i \sin \theta)$ ，于是 $\frac{1}{w_{n}^{k}} = \overline{w_{n}^{k}}$ 。其中 $\theta = Arg\ w_{n}^{k} = \frac{2 k \pi}{n}$ 。

1.5 C++ 中的复数类

不同于 C 中需要调用头文件，C++ 中直接有 $complex$ 标准类。

$complex$ 类需要定义变量类型为 $complex<float>$ 或 $complex<double>$ 或 $complex<long\ double>$ 。
一个 $complex$ 类可以初始化变量 $complex<T> z(cos(Arg), sin(Arg))$ 。$Arg$ 是 $double$ 类型的辐角。
一个 $complex$ 类有成员函数 $real$ 和 $imag$ ，可以访问实部和虚部。
一个 $complex$ 类有常见的非成员函数 $real$ 、$imag$ 、$abs$ 、$arg$ ，返回复数的实部、虚部、模长、辐角。

2. 原根

2.1 原根定义和分布

2.2 单位原根

2.3 单位原根和单位根的相同点

posted @ 2024-08-28 12:37 zsxuan 阅读(202) 评论(0) 编辑收藏举报

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