一般椭圆方程和平移椭圆方程

以前确实背过，但没推过。现在恰好在计算几何类问题中遇见与椭圆相关的题目，也有能力推导公式了，就补充以前没推导过的过程。

椭圆定义：到两定点之和为定长的点的轨迹。

朴素的椭圆为两定点在坐标轴上且中点为原点。

于是不妨设这两个定点为 \((0, -c), (0, c)\) ，不妨设该定长为 \(2b\) 。

于是朴素椭圆的方程为

\[\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2a \]

考虑使用复杂度更低的计算方法。

\[\begin{aligned} &\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2a \\ &\overset{\textbf{移项}}{\Leftrightarrow} \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2a - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} \\ &\overset{\textbf{两边平方}}{\Leftrightarrow} 4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} - 4cx \quad \underbrace{(2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}})}_{\textbf{可以平方的条件}} \\ &\overset{\textbf{两边除以}\ 4 a}{\Leftrightarrow} \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = a - \frac{c}{a} x \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}) \\ &\overset{\textbf{两边平方}}{\Leftrightarrow} x^{2} + y^{2} + c^{2} = a^{2} + \frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\ &\Leftrightarrow \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} x^{2} + y^{2} = a^{2} - c^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\ &\Leftrightarrow \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} x^{2} + y^{2} = a^{2} - c^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\ &\overset{\textbf{两边除以}\ a^{2} - c^{2}}{\Leftrightarrow} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\ &\overset{\textbf{由几何证明}}{\Leftrightarrow} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \\ \end{aligned} \]

容易发现 \(\sqrt{a^{2} - c^{2}}\) 是朴素椭圆在 \(y\) 轴上的轴长，如果设其为 \(b\) ，有

\[\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \]

如果这个方程确实是一个椭圆定义的轨迹而非点，则 \(a^{2} > b^{2} > c^{2}\) 是显然的。

又称定点为焦点，若焦点在 \(y\) 轴上，变换坐标即可。

考虑椭圆可以平移，若平移后椭圆中点为 \((x_0, y_0)\) ，显然有平移后的朴素椭圆方程

\[\frac{(x - x_0)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_0)^{2}}{b^{2}} = 1 \]

同时椭圆可以绕中点旋转，这个方程这里不讨论。