一个有意思的悖论：生日悖论

假设一年有 $N$ 天，不考虑润年的 $2/29$ 。假设有 $K(K\le N)$ 个人的生日是随机分布。

设 $\mathcal{P}(K)$ 是前 $K$ 个人中没有人生日相同的概率。这是一个有限概率问题，可以转化为组合方案数：

样本空间是 $K$ 个人都有 $N$ 种可能的生日，总可能的方案是 $N^K$ 。

$N$ 天中，$K$ 个人生日不同的方案是 $N$ 的 $K$ 排列 $P_N^K=\prod _{i=0}^{K}N-i$。

于是概率为：

$$\mathcal{P}(K)=\frac{\prod _{i=0}^{K}N-i}{{365}^K}=\prod _{i=0}^K\frac{N-i}{N}$$

存在两个人生日相同的概率为：

$$\bar{\mathcal{P}}(K)=1-\mathcal{P}(K)=1-\prod _{i=0}^K\frac{N-i}{N}$$

使用一个经典放缩式：

$$1+x\le e^x=exp(x)$$

（$exp(x)$ 是 $e^x$ 的另一种写法）
有

$$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(K)& =\prod _{i=0}^K\frac{N-i}{N}\\ & =\prod _{i=0}^{K}1+\frac{-i}{N}\\ & \le \prod _{i=0}^{K}exp(\frac{-i}{N})\\ & =exp(\sum _{i=0}^K\frac{-i}{N})\\ & =exp(-\frac{\sum _{i=0}^{K}i}{N})\\ & =exp(-\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{K+1}{2})}{N})\\ & =exp(-\frac{(K+1)K}{2N})\end{array}$$

令

$$F(K)=exp(-\frac{(K+1)K}{2N})=e^{-\frac{(K+1)K}{2N}}$$

由

$$F(K{)}^{{}^{\prime }}=\frac{\mathrm{\Delta }F(K)}{\mathrm{\Delta }K}=\frac{\mathrm{\Delta }exp(-\frac{(K+1)K}{2N})}{\mathrm{\Delta }x}=-exp(-\frac{(K+1)K}{2N})$$

恒为负数。
于是 $F(K)$ 是单调递减函数。

接下来是一些有趣的例子

设 $N=365$ 。

由 $F(24)>\frac{1}{2}>F(23)$ ，则 $\mathcal{P}(26)\le F(23)<\frac{1}{2}$ ，有 $\bar{\mathcal{P}}(23)=1-\mathcal{P}(23)>\frac{1}{2}$ 。

于是得到了生日悖论的基础形式：不考虑 $2$ 月 $29$ 日的情况下，随机 $23$ 个人中，生日同一天的概率大于 $50\mathrm{\%}$ 。

更进一步地，由 $F(57)>\frac{99}{100}>F(56)$ ，则 $\mathcal{P}(56)\le F(56)<\frac{99}{100}$ ，有 $\bar{\mathcal{P}}(56)=1-\mathcal{P}(56)>\frac{99}{100}$ 。
可以得到了生日悖论的扩展形式：不考虑 $2$ 月 $29$ 日的情况下，随机 $56$ 个人中，存在两个人生日是同一天的概率大于 $99\mathrm{\%}$ 。
另一个断言（伪的断言）是：一个 $\ge 56$ 人的普通教学班中，一定存在两个人的生日是同一天。

最后是实用性的技巧
$P$ 个位置中给 $n$ 个位置随机，不存在冲突的概率为：

$$e^{-\frac{n(n-1)}{P}}$$

这个性质在算法问题中非常实用。