浅谈色集中异色色对的匹配

令一开始的所有元素的多重集合（即允许重复元素的集合，下述集合均为多重集合）为 \(\mathbb{S}\) ，开始时 \(|\mathbb{S}| = n\) 。

把每个属性看作一种颜色。开始有 \(m\) 种颜色，分配给 \(n\) 个元素。根据颜色划分集合 \(\mathbb{S} = \bigcup_{i = 1}^{m} \mathbb{X}_i\) 。取 \(\mathbb{A} = \mathbb{X}_k\) 满足 \(\forall i \neq k, |\mathbb{X}_k| \geq |\mathbb{X}_i|\) 。如果对 \(\mathbb{S}\) 中增删改元素，重新选取 \(\mathbb{A}\) 集合。

根据一个好的性质：无论如何修改 \(\mathbb{S}\) ，若 \(|\mathbb{S}| > 0\) ，恒有 \(|\mathbb{A}| > 0\) 。另外显然 \(\mathbb{A}\) 中的元素与 \(\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}\) 中的元素异色。所以我们讨论 \(\mathbb{A}\) 和 \(\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}\) 。

为了证明在色集中每次选取一对不同色对的操作可以进行多少次。

考虑每次操作让 \(\mathbb{A}\) 和 \(\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}\) 减少一个元素。

若 \(|\mathbb{A}| \geq \lceil \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rceil\) ，\(\mathbb{A}\) 不会被重选。因为 \(|\mathbb{S}|\) 减少 \(2\) 且 \(|\mathbb{A}|\) 减少 \(1\) 可以恒保证 \(|\mathbb{A}| \geq \lceil \frac{\mathbb{S}}{2} \rceil\) ，即恒为最大颜色集。当且仅当 \(|\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}| = 0\) 操作不可进行，此时有 \(|\mathbb{A}| \geq 0\) 。

若 \(|\mathbb{A}| < \lceil \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rceil\) ，\(\mathbb{A}\) 一定会被重选，否则会出现 \(|\mathbb{A}| = 0\) 而 \(|\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}| \geq 1\) 的情况，与 \(|\mathbb{A}|\) 的最大性矛盾。设第 \(k\) 次操作后 \(\mathbb{A}\) 第一次被重选成其他集合，则第 \(k - 1\) 次操作后，存在（至少）两个集合大小为 \(|\mathbb{A}|\) 。因为每次操作一定会使 \(|\mathbb{A}|\) 减 \(1\) ，设每次操作后，重新选出的最大集为 \(\mathbb{A}\) 、次大集为 \(\mathbb{B}\) ，从第 \(k + 1\) 从操作起恒有 \(0 \leq |\mathbb{A}| - |\mathbb{B}| \leq 1\) 。当且仅当 \(|\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}| = 0\) 操作不可进行，此时有 \(0 \leq |\mathbb{A}| \leq 1\) ，\(|\mathbb{B}| = 0\)。

上述构造性证明了，若 \(|\mathbb{A}| \geq \lceil \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rceil\) 可以选取 \(|\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|\) 次，否则可以选取 \(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor\) 次。进一步地讲，色集中异色色对的最大匹配数为 \(min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)\) 。

当 \(|\mathbb{A}| < \lceil \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rceil\) 且操作不可进行时若出现 \(\mathbb{A}| = 1\) ，这意味着有且仅有一个元素不能配对。我们开始时枚举这个不能配对的元素先行删除，可以遍历所有方案，\(|\mathbb{A}|\) 不会更大。因为 \(2 \nmid |\mathbb{S}|, \frac{|\mathbb{S}| - 1}{2} = \lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor\) ，最终的操作次数依旧是 \(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor\) 次。

由于每次选取的色对仅保证异色，而选择方案是任选的，但操作数恒定，可以得到一个更强的结论。在色集中以任意方案进行异色色对的匹配，极大匹配数都为 \(min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)\) 。

至此我们完成了我们所需定理的证明。

如果我们将色集中每一个元素拆成两个节点构建完全二部图，我们依然能够得到这个结论。读者有兴趣自己证明吗？

一个应用

首先我们强制一种偏序 \((\mathbb{S}, >)\) ，即若存在大小相等的关系，让它们根据编号的不同强制不相等。（实际上就是把 sort 说得严谨一些）

第 \(i\) 步操作，我们在还未匹配的所有元素中每次选取一个最大的元素 \(x_i\) ，并在 \(x_i\) 的异色元素中选取一个最小的元素 \(y_i\) ，对这两个元素进行匹配。这个操作将可以执行 \(min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)\) 次。

\(wight(x_1) > wight(x_2) > wight(x_3) > \cdots > wight(x_{min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)}) > wight(y_1) > wight(y_2) > wight(y_3) > \cdots > wight(y_{min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)})\) 是显然的。因为如果存在 \(wight(x_h) > wight(y_h) > wight(x_w) > wight(y_w)\) ，那么 \(x_h\) 或者与 \(x_w\) 异色或者与 \(y_w\) 异色，否则 \(x_w\) \(y_w\) 同色，这与 \(y_h\) 的极小性矛盾。

又每次选取的 \(x_i\) 都是当前最大，则 \(wight(x_1), wight(x_2), wight(x_3), \cdots, wight(x_{min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)})\) 取遍前 \(min(\lfloor \frac{|\mathbb{S}|}{2} \rfloor, |\mathbb{S} \setminus \mathbb{A}|)\) 个最大元素。但我们无法对 \(y_i\) 的位置做出精确保证。