阶、原根、指数方程

1 阶

1.1 阶的定义

若 \(gcd(a, b) = 1\) ，最小的 \(n \ (n > 0)\) 满足 \(a^{n} \equiv 1 (\bmod b)\) 为阶，写作 \(\delta_{b}(a)\) ，称作 \(\delta_{b}(a)\) 是 \(a\) 模 \(m\) 的阶，。

1.2 阶的常用性质

以下性质常用于作其他结论的证明引理。

1. \(1, a, a^2, \cdots, a^{\delta_{b}(a) - 1}\) \(\bmod b\) 得到一个 \(\bmod \delta_{b}(a)\) 的完全剩余系。
   • 反证显然。若 \(\exists 0 \leq i < j \leq \delta_{b}(a), a^{i} \equiv a^{j} (\bmod b)\) 则 \(a^{j - i} \equiv (\bmod b) \wedge 0 < j - i < \delta_{b}(a)\) 。则 \(\delta_{b}(a)\) 不是 \(a \bmod b\) 的阶。
   • 实际意义。刻画了互质下，模意义的剩余。
2. 若 \(gcd(a, b) = 1\) ，\(a^{n} \equiv 1 (\bmod b) \Leftrightarrow \delta_{b}(a) \mid n\) 。
   • 必要性显然
   • 充分性。反证显然。若 \(n < \delta_{b}(a)\) 则 \(\delta_{b}(a)\) 不是 \(a \bmod b\) 的阶。若 \(n > \delta_{b}(a)\) 且 \(n = q \delta_{b}(a) + r (0 < r < \delta_{b}(a))\) 则 \(\delta_{b}(a)\) 不是 \(a \bmod b\) 的阶。
   • 实际意义。刻画了互质下，模意义的循环。
3. 若 \(gcd(a, b) = 1\) 。若 \(a \bmod b\) 的阶是 \(nm\) ，则 \(a^{n} \bmod b\) 的阶是 \(m\) 。
   • 实际意义。若 \(a\) 模 \(b\) 的阶可以用指数函数形式拆分。
4. 若 \(gcd(a, c) = 1, gcd(b, c) = 1\) 且 \(gcd(\delta_{c}(a), \delta_{c}(b)) = 1\) ，则 \(\delta_{c}(a) \cdot \delta_{c}(b) = \delta_{c}(ab)\) 。
   • 实际意义。若模 \(c\) 意义下，两个阶互质。则阶的乘积是乘积的阶。
5. 若 \(gcd(a, b) = 1\) 。若 \(\lambda \geq 1\) ，则 \(\delta_{b}(a^{\lambda}) = \frac{\delta_{b}(a)}{gcd(\delta_{b}(a), \lambda)}\) 。
   • 实际意义。刻画了模 \(b\) 意义下，\(a\) 的阶与 \(a\) 的高次的阶之间的联系。
   • 证明。这个定理在直觉上还是挺神秘的。

1.2.1 小练习

例 1：给定 \(a, b, N, M\) 。若 \(gcd(a, b) = 1, a^{p} \equiv a^{q} (\bmod b)\) 。询问 \([N, M]\) 中 \(p - q\) 的最小和最大可能值。
解：不妨让 \(p \geq q\) ，则

\[gcd(a, b) = 1, a^{p} \equiv a^{q} (\bmod b) \Rightarrow a^{p - q} \equiv 1 (\bmod b) \Rightarrow \delta_{b}(a) \mid p - q \]

最小和最大可能值分别为 \(\lceil \frac{N}{\delta_{b}(a)} \rceil \delta_{b}(a)\) 和 \(\lfloor \frac{M}{\delta_{b}(a)} \rfloor \delta_{b}(a)\) 。

1.3 阶的计算

容易注意到：若 \(gcd(a, b) = 1\) 有 \(\delta_{b}(a) \mid \varphi(b)\) 。

直观的想法是分解 \(\varphi(b)\) 的约数，其中最小约数 \(d\) 符合 \(a^{d} \bmod 1 (\bmod b)\) 为阶。

再注意到：

\[\begin{aligned} a^{n} \equiv 1 (\bmod b) \Rightarrow n = q \delta_{b}(a) \Rightarrow \forall \delta_{b}(a) \leq p \delta_{b}(a) \leq \varphi(b), a^{p \delta_{b}(a)} \equiv 1 (\bmod b) \end{aligned} \]

于是找到任意一个满足条件的 \(n\) ，不妨是 \(\varphi(b)\) 。令 \(n = \prod p_i^{e_i}\) ，\(\forall i\) 在保证 \(n\) 满足 \(a^{\frac{n}{p_i}} \equiv 1 (\bmod b)\) 的情况下反复除以 \(p_i\) 。

更进一步，可以 \(O(\sqrt{\varphi(b)})\) 分解 \(\varphi(b)\) 。然后 \(O(\log \varphi(b))\) 回答 \(\forall a, \delta_{b}(a)\) 。

这个算法可以抽象为：若 \(q B (q \geq 1)\) 都满足某条件，\(\forall A\) 满足 \(B \mid A\) 可以反复剔除 \(A\) 的质因子找到 \(B\) 。对 \(A\) 预处理的复杂度为 \(O(\sqrt{A})\) 。

2 原根

2.1 原根定义

若 \(gcd(a, b) = 1\) 。若 \(\varphi(b) = \delta_{b}(a)\) 或 \(a^{\varphi(a)} \equiv a^{\delta_{b}(a)} (\bmod b)\) ，则 \(a\) 是 \(\bmod b\) 的原根。这样的 \(a\) 常用 \(g\) 字母表示。

2.2 原根的常用性质

1. \(0, g, g^{1}, \cdots, g^{\varphi(b) - 1}\) \(\bmod b\) 为一个 \(\bmod b\) 的完全剩余系。
   • 由 \(\delta_{b}(a)\) 的性质显然。
   • 能更深刻的对 \(\bmod b\) 的剩余系进行刻画。

2.3 原根存在定理

模意义下的原根具有超无脑的超能力，只需要存在，而通常不关心是哪个。

2.4 原根个数

2.5 原根的随机期望与最小原根

原根的随机期望和最小原根的证明非常无聊，对计算机科学本身几乎没有帮助。最好暂且当作公理。

最小原根通常可以看作 \(g < p^{0.25}\) 。当 \(p > e^{e^{24}}\) 有 \(g < p^{0.499}\) 。

随机找到原根的次数在最坏情况下的期望是 \(O(\log p)\) 。

计算机中通常随机找原根，无论如何期望上是更优的。

人工通常枚举找最小原根，至少是更利于人类计算的。

3 指数方程