FFT（快速傅里叶变换）、NTT（快速数论变换）

1.复数

1.1 复数的引入和定义

1.1.1 略谈数集扩充

略了很多字。

在数学在现实应用领域的发展过程中，我们常需要解类似的方程： $x^2+a=0$ ，然而这在实数集下无解。

1.1.2 虚数单位于的引入与复数的定义

于是虚数单位 "i"被引入，并且有 $i^2=-1$ 。

让复数表示为实数与虚数的符合形式，如 $a+bia,b\in R$ ，让新集“复数集”表示为 C 。

定义复数相等：$z_1=a+bi,z_2=c+di$ ，$z_1=z_2\iff a=c,b=d$ 。

令 $\cdot$ 表示为复数的四则运算加减乘除，则 $(G,\cdot )$ 会是一个阿贝尔群。于是类似 $x^2+a=0$ 可以有复数解 $a{i}^2$ 。自然而然，复数集便可被扩充。

1. 复数通常可以用代数形式表示：$z=a+bi$ ，其中 $a$ 为 $z$ 的实部，读作 $a$ 是 $z$ 的 $realpart$ ，写作 $Re(z)=a$ ；$b$ 为 $z$ 的虚部，读作 $b$ 是 $z$ 的 $Imaginarypart$ ，写作 $Im(z)=b$ 。

2. 一种复数的常见形式为三角形式：$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )s.t.r\in R$ 。$r$ 为复数的模 $|z|$ ，$\theta$ 为辐角 $Argz$ ，$(\cos \theta ,\sin \theta )$ 为直角坐标。

3. 另一种复数的常见形式为指数形式：$z=r\exp (i\theta )=r{e}^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 。最后一步变换为欧拉公式： $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ，后文会提到。

1.1.3 虚数的引入

定义虚数集，它与实数集划分复数集。

在复数的代数形式 $z=a+bi$ 下：

1. 若 $b=0$ ， $z$ 是实数。
2. 若 $b\ne 0$ ，$z$ 是虚数。
   • 特别的，若 $b\ne 0$ 且 $a=0$ ，$z$ 是纯虚数。纯虚数集真包含于虚数集。

1.2 复数的性质与四则运算

1.2.1 复数的几何意义

考虑一根无限长的一维的数轴，定义实数单位 $1$ 为水平正方向，显然“所有实数”与数轴上的“坐标”形成双射。

选取一条无限长的数轴过 $0$ 垂直于原数轴，定义虚数单位 $i$ 为竖直正方向，得到一个二维空间。

对于复数的代数形式 $z=a+bi$ ，显然“所有 $(a,b)$” 与二维空间的“平面直角坐标”形成双射。

对于复数的三角形式 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ，显然“所有 $r(\cos \theta ,\sin \theta )$” 与二维空间的“三角坐标”形成双射。

二维空间的点可以看作向量，比如复数 $z$ 可以看作向量 $\overrightarrow{OZ}$ 。显然地，复数可以相等，但不能比较大小。

所有向量的起点移动到原点即得到一个坐标系。

1.2.2 复数的加法与减法

定义复数加法：$z_1=a+bi,z_2=c+di$ 。则 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$ 。

1. 封闭性：若 $z_1,z_2\in C$ ，则 $z_3=z_1+z_2\in C$ 。
   证明： $z_3=z_1+z_2=ac+bdi$ ，显然 $z_3$ 能表现为复数的代数形式，即 $z_3\in C$ 。$◻$
2. 结合律：若 $z_1,z_2,z_3\in C$ ，则 $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ 。
   证明： $(a+c)+(b+d)i+e+fi=a+bi+(c+e)+(d+f)i=(a+c+e)+(b+e+f)i$ 。$◻$
3. 单位元： $C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $e+z=z+e=z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
   证明： 显然有且仅有 $e=0$ 。$◻$
4. 逆元：$\mathrm{\forall }a\in C$ ，都有且仅有一个 $b$ 满足 $a+b=b+a=e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
   证明： 显然对于任意 $a$ ，有且仅有 $b=-a$ 。$◻$
5. 交换律：若 $z_1,z_2\in C$ ，则 $z_1+z_2=z_2+z_1$ 。
   证明： $a+bi+c+di=c+di+a+bi=(a+c)+(b+d)i$ 。$◻$

由 $1,2,3,4$ ， $(C,+)$ 是个群。再由 $5$ ，$(C,+)$ 是个阿贝尔群。

减法是加法的逆运算，如 $(z_1+z_2)-z_2=z_1$ 。于是 $(C,-)$ 是个阿贝尔群。

1.2.3 复数的乘法与除法

定义复数乘法：$z_1=a+bi,z_2=c+di$ ，则 $z_1{z}_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$ 。(显然复数乘法在几何意义上与向量点积和叉积无关。)

1. 封闭性：若 $z_1,z_2\in C$ ，则 $z_1{z}_2\in C$ 。
   证明： 令 $z_1=a+bi,z_2=c+di,z_3=z_1{z}_2$ ，则 $z_3=z_1{z}_2=(a+bi)(c+di)$ ，继续展开得到 $z_3=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)(ad+bc)i$ ，显然 $z_3$ 能表现成复数的代数形式，即 $z_3\in C$ 。$◻$
2. 结合律：若 $z_1,z_2,z_3\in C$ ，则 $(z_1{z}_2)z_3=z_1(z_2{z}_3)$ 。
   证明： $((a+bi)(c+di))(e+fi)=(a+bi)((c+di)(e+fi))$ 是直观显然的。$◻$
3. 单位元：$C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $ez=ze=z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
   证明： 显然 $C$ 中有且仅有 $e=1$ 。$◻$
4. 逆元：$\mathrm{\forall }a\in C$ ，都有 $ab=ba=e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
   证明： 观察 $(a+bi)(x+yi)=1$ ，当且仅当 $a+bi\ne 0$ 时有解。 $◻$
5. 交换律：若 $z_1,z_2\in C$ ，则 $z_1{z}_2\in C$ 。
   证明： $(a+bi)(c+di)=(c+di)(a+bi)$ 是直观显然的。$◻$

由 $1,2,3,4$ ，$(C\mathrm{\setminus }\{0\},\times )$ 是个群。再由 $5$ ，$(C\mathrm{\setminus }\{0\},\times )$ 是个阿贝尔群。

除法是乘法的逆运算，于是 $(C\mathrm{\setminus }\{0\},/)$ 是个阿贝尔群。

1.2.4 辐角

1.2.4.1 复平面

在几何意义中已经对复数二维空间的方向进行过一个定义，实数单位 $1$ 为水平正方向，虚数单位 $i$ 为竖直正方向。

现在可以补充说明，将所有复数向量的起点移动到原点后，这个复数二维空间即复平面。

1.2.4.2 辐角和辐角主值

一个复数 $z=a+bi$ 可以表示出坐标 $(a,b)$ 。定义 $Argz$ 为 $z$ 的辐角，有 $\tan (Argz)=\frac{b}{a}$ 。

定义 $z$ 的 辐角主值或主辐角 为 $argz$ ，有 $-\pi <argz\le \pi$ 。

需要注意，辐角不值某个角，而是指一个集合。 $Argz=\{argz+2k\pi \mid k\in Z\}$ 。

1.2.4.3 单位圆

1. 所有模小于等于 $1$ 的复数在复平面上构成单位圆。
2. 模为 $1$ 的复数为单位复数。所有单位复数构成构成单位圆周。

1.2.4.4 极坐标

在极坐标的视角下表示复数坐标，则 $(a,b)=(r,\theta )$ 。其中 $r=\sqrt{a^2+b^2},\theta =Argz$ 。

借助极坐标，复数乘法和除法的几何意义非常好理解。

1. 乘法：$z_1{z}_2=(r_1{r}_2,{\theta }_1+{\theta }_2)$ ，即模相乘，辐角相加。
2. 除法：乘法的逆运算，$z_1/z_2=(r_1/r_2,{\theta }_1-{\theta }_2)$ ，即模相除，辐角相减。

1.2.5 共轭复数

共轭复数，即模相等，辐角相反的的两个复数（角相反：即角的绝对值相等，符号相反）。几何意义上关于实轴对称。$z=a+bi$ 的共轭复数写作 $\overline{z}=a-bi$ 。

共轭复数是一种应用数学领域中常见的复数，具有以下性质。

1. $z\overline{z}=|z{|}^2$ 。
   代数证明： $(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2{i}^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2}{)}^2$ 。$◻$
   极坐标证明： $(r,\theta )(r,-\theta )=(r^2,0)=r^2$ 。$◻$
2. $\overline{\overline{z}}=z$ 。
   代数证明： $a+(-(-b))i=a+bi$ 。$◻$
   极坐标证明： $(r,-(-\theta ))=(r,\theta )$ 。$◻$
3. $\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm \overline{w}$ 。
   证明： $\overline{z+w}=\overline{(a+bi)+(c+di)}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i$ ，$\overline{z}+\overline{w}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$ 。于是 $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$。减法是加法逆运算。 $◻$
4. $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$ 。
   代数证明： $\overline{z2}=\overline{(a+bi)(c+di)}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i$ 。$\overline{z}\overline{w}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)+(a(-d)+(-b)c)i=(ac-bd)-(ad+bc)i$ 。于是 $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$◻$
   极坐标证明： $\overline{zw}=\overline{(r_1{r}_2,{\theta }_1+{\theta }_2)}=(r_1{r}_2,-({\theta }_1+{\theta }_2))$ 。$\overline{z}\overline{w}=(r_1,-{\theta }_1)(r_2,{\theta }_2)=(r_1{r}_2,-({\theta }_1+{\theta }_2))$ 。于是 $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$◻$

1.3 欧拉公式、复指数函数、复三角函数

1.3.1 欧拉公式

以欧拉命名的常见公式不止一个，这里指的是最出名的欧拉公式。
欧拉公式是欧拉创造的，被誉为“最美丽的数学公式”的公式，它将实数、虚数、三角函数联系到了一起，是一个数集的桥梁，在后世中应用广泛。
欧拉公式： $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 。
不严谨的说明：
已知泰勒展开为：
$$f(x)\to \sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}{x}^i$$
先确定三个函数的 $Taylor$ 展开式，已知（首先很经典，其次课本上说的）它们的展开式是收敛的：
1. $e^x=\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}{x}^i+o(x^n)$ 。
2. $\cos x=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{2i+2}\frac{1}{(2i)!}{x}^{2i}+o(x^{2n})$ 。
3. $\sin x=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{2i}\frac{1}{(2i+1)!}{x}^{2i+1}+o(x^{2n+1})$ 。
由
$e^{ix}=\frac{x^0}{0!}+i\frac{x^1}{1!}-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}\cdots$
$\cos x=\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$i\sin x=i\frac{1}{1!}-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!}+\cdots$
可以发现 $\cos x+i\sin x=1+i\frac{1}{0!}-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}+\cdots =e^{ix}$ 。
$◻$

特殊的，有 $e^{\pi i}=-1$ 。 这个恒等式较为常用。
证明： $e^{\pi i}=\cos \pi +i\sin \pi =-1+i\times 0=-1$ 。$◻$

1.3.2 复指数函数

复指数函数在实数集上的定义与实指数函数的定义一致。
对于复数 $z=x+iy$ ，定义函数 $\exp z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$ 。
复数函数在复平面上的性质：

1. 模横正：$|\exp z|>0$ 。
   证明： $|\exp z|=|e^x(\cos y+i\sin y)|=e^x>0$ 。$◻$
2. 辐角主值：$arg\exp z=y$ 。
   证明： $\frac{e^x\sin y}{e^x\cos y}=\tan y$ ，于是 $arg\exp z=y$ 。$◻$
3. 加法定理：$\exp (z_1+z_2)=\exp (z_1)\exp (z_2)$ 。
   代数证明：
   令 $z_1=a+bi,z_2=c+di$ ，有
   $$\begin{array}{rl}\exp (a+c+(b+d)i)& =e^{a+c}(\cos (b+d)+i\sin (b+d))\\ \exp (a+bi)\exp (c+di)& =e^a(\cos b+i\sin b)e^c(\cos d+i\sin d)\\ & =e^{a+c}(\cos b\cos d+i\cos b\sin d+i\sin b\cos d+i^2\sin b\sin d)\\ & =e^{a+c}(\cos b\cos d-\sin b\sin d)+i(\cos b\sin d+\sin b\cos d)\\ & =e^{a+c}(\cos (b+d)+i\sin (b+d))\\ \mathbf{\text{于是}}\\ \exp (z_1+z_2)& =\exp (z_1)\exp (z_2)◻\end{array}$$
   极坐标证明：
   $$\begin{array}{rl}\exp z_1\exp z_2& =e^{a+b}(\cos b+i\sin b)(\cos d+i\sin d)\\ & =e^{a+b}(1,b)(1,d)\\ & =e^{a+b}(1,b+d)\\ & =e^{a+b}(\cos (c+d)+i\sin (c+d))\\ & =\exp (z_1+z_2)◻\end{array}$$

4. 周期性：$\exp z$ 是以 $2\pi i$ 为基本周期的周期函数。
   证明： $\exp (z+2\pi i)=\exp (z)\exp (\pi i)\exp (\pi i)=\exp (z)$ 。$◻$

1.3.3 复三角函数

复三角函数在实数集上的定义与实三角函数的定义一致。
然而复三角函数在算法竞赛领域似乎未曾见过应用，暂时只给出复余弦函数与复正弦函数的定义和几个常见性质。

1. $\cos z=\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}$ 。
   显然 $\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}=\frac{\cos z+i\sin z+\cos (-z)+i\sin (-z)}{2}=\cos z$ 。
2. $\sin z=\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}$ 。
   显然 $\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}=\frac{\cos z+i\sin z-\cos (-z)-i\sin (-z)}{2i}=\sin z$ 。
3. 特殊的，若 $z\in R$ ，则：
   1. $\cos z=Re(\exp (iz))$ 。
   2. $\sin z=Im(\exp (iz))$ 。
      显然 $\exp (iz)=\cos z+i\sin z$ 。

复三角函数在复平面上的几个性质：

1. 奇偶性：
   1. $\cos z$ 是复平面上的偶函数。
      证明： $\cos z-\cos (-z)=\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}-\frac{\exp (-iz)+\exp (iz)}{2}=0$ 。$◻$
   2. $\sin z$ 是复平面上的积函数。
      证明： $\sin z+\sin (-z)=\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}+\frac{\exp (-iz)-\exp (iz)}{2i}=0$ 。$◻$
2. 周期性：$\cos z$ 和 $\sin z$ 在复平面上的基本周期为 $2\pi$ 。
   证明： $\exp (w+2\pi )=\exp (w)\exp (2\pi )=\exp (w)$ 。$◻$
3. 值域：不同于实余弦函数与实正弦函数值域为 $[-1,1]$ ，复余弦函数与复正弦函数的值域为 $C\mathrm{\setminus }\{0\}$ 。
   证明： 令 $z=a+bis.t.a,b\in R$ ，记 $u=\exp (-b+ai)=e^{-b}(\cos a+i\sin a)\in C\mathrm{\setminus }\{0\}$ 。显然 $\cos z=\frac{1}{2}(u+\frac{1}{u})\in C\mathrm{\setminus }\{0\}$ 。显然 $\sin z=\frac{1}{2i}(u-\frac{1}{u})\in C\mathrm{\setminus }\{0\}$ 。$◻$
4. 三角恒等式：实际上基本符合实三角恒等式，暂时只给出常见的 ${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=1$ 证明。
   证明： 有复数的几何意义与勾股定理则显然。$◻$

1.4 单位根

复数意义下的解叫做复根。
称 $x^n=1$ 的解叫做 $n$ 次单位复根或 $n$ 次单位根。

可以断言 $n$ 次单位复根有且仅有 $n$ 个，且是从 $1$ 开始将等分单位元的 $n$ 个复数。
证明： 由欧拉公式 $e^{2\pi i}=1$ ，两边做 $k$ 次幂有 $e^{2k\pi i}=1$ ，再取 $n$ 次根 $\sqrt[n]{1}=e^{2\frac{1}{n}k\pi i}=\cos 2\frac{1}{n}k\pi +i\sin 2\frac{1}{n}k\pi$ 。由于 $2\pi$ 是一个周期，于是一个周期内的解集为 $k=\{0,1,2,\cdots ,n-1\}$ 。$◻$

设 $w_n^0=w_n^n=1$ ，逆时针依次为 $w_n^0,w_n^1,w_n^2,\cdots ,w_n^{n-1}$ 。其中 $w_n^1$ 通常直接被写作 $w_n$ 。

$w_1=1$ 是平凡的，不存在扩展性质。

$n\ge 2$ 时具有性质：

1. 互异性：$\mathrm{\forall }0\le i<n,js.t.i\ne j$ 有 $w_n^i\ne w_n^j$ 。
   证明： 复数乘法，考虑极坐标系下， $w_n^k=(1,k\frac{2\pi }{n})$ 在 $k=\{0,1,2,\cdots ,n-1\}$ 互不相同。$◻$
2. 加法定理：$w_n^{a+b}=w_n^a{w}_n^b$ 。
   证明： 极坐标系下 $w_n^k=(1,k\frac{2\pi }{n})$ 。于是 $w_n^{a+b}=(1,(a+b)\frac{2\pi }{n})=(1,a\frac{2\pi }{n})(1,b\frac{2\pi }{n})=w_n^a{w}_n^b$ 。$◻$
3. 可除公约数性： $w_{ln}^{lk}=w_n^k$ 。
   证明： 设极坐标系下 $w_n^k=(1,k\frac{2\pi }{n}),w_{ln}^{lk}=(1,lk\frac{2\pi }{nl})$ 。显然 $(1,lk\frac{2\pi }{nl}=(1,k\frac{2\pi }{n}))$ 即 $w_n^k=w_{ln}^{lk}$ 。$◻$
   特殊的，$w_{2n}^{2k}=w_n^k$ ，又叫折半性。
4. 周期性：$w_n^{k+n}=w_n^k$ 。
   证明： $w_n^{k+n}=w_n^k{w}_n^n=w_n^k$ 。$◻$
5. 对称性：$w_{2n}^{k+n}=-w_{2n}^k$ 。
   证明： 显然地 $w_{2n}^n=-1$ ， $w_{2n}^{k+n}=w_{2n}^k{w}_{2n}^n=-w_{2n}^k$ 。$◻$
6. 一定性：$\sum _{k=0}^{n-1}{w}_n^k=0$ 。
   证明： 由对称性 $w_n^k+w_n^{k+n/2}=0$ ，$\sum _{k=0}^{n-1}{w}_n^k=0$ 。$◻$
7. 逆元存在：$\frac{1}{w_n^k}$ 存在。
   证明： $\frac{1}{w_n^k}=e^{-\theta i}=(\cos (-\theta )+i\sin (-\theta ))=(\cos \theta -i\sin \theta )$ ， $w_n^k=e^{\theta i}=(\cos \theta +i\sin \theta )$ ，于是 $\frac{1}{w_n^k}=\overline{w_n^k}$ 。其中 $\theta =Arg{w}_n^k=\frac{2k\pi }{n}$ 。

1.5 C++ 中的复数类

不同于 C 中需要调用头文件，C++ 中直接有 $complex$ 标准类。

1. $complex$ 类需要定义变量类型为 $complex<float>$ 或 $complex<double>$ 或 $complex<longdouble>$ 。
2. 一个 $complex$ 类可以初始化变量 $complex<T>z(cos(Arg),sin(Arg))$ 。$Arg$ 是 $double$ 类型的辐角。
3. 一个 $complex$ 类有成员函数 $real$ 和 $imag$ ，可以访问实部和虚部。
4. 一个 $complex$ 类有常见的非成员函数 $real$ 、$imag$ 、$abs$ 、$arg$ ，返回复数的实部、虚部、模长、辐角。

2.多项式

2.1 多项式简介

2.1.1 多项式定义

对于常数系数乘以幂函数的和式 $\sum a_i{x}^i$ 。
如果是有限项相加，称为多项式，写作 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^{i}s.t.a_i\in Z$ 。
如果是无限项相加，成为幂级数，写作 $f(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^{i}s.t.a_i\in Z$ 。幂级数可以列项相消。

2.1.2 多项式的阶和度

对于多项式 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ ，可以详细称作：关于 $x$ 的 $n$ 阶多项式。

$x$ 的最高次项的系数称为 $\mathrm{deg}f$ ，也可以叫做 $f(x)$ 的阶。形式上 $\mathrm{deg}\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=n$ 。

2.2 多项式表示

2.2.1 多项式系数表示

多项式的系数表示即：$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ 。计算复杂度为 $O(n)$ 。

2.2.2 多项式点值表示

先断言：一组横坐标不同的 $n+1$ 个点对可以表示一个 $n$ 阶多项式。
即 $f(x)$ 的点值表示为： $f(x)=\{(p_0,f(p_0)),(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),\cdots ,(p_n,f(p_n))\}$ 。

证明：
不妨让 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ ，将横坐标不同的 $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 带入 $f(x)$ 得到 $y_0,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 。

1. 唯一性证明：
   将方程组写成矩阵形式：

$$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_0^1& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1^1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2^1& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n^1& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

即

$$VA=B$$

显然 $V$ 是个 $Vandermonde$ 矩阵，是给个经典的满秩矩阵。矩阵满秩是个描述性名词，实际上和下述两个性质满足充要关系：

• 矩阵可逆（即有逆元）
• 行列式不为 $0$（即行向量线性无关、列向量线性无关，即有唯一解）

详见：https://www.cnblogs.com/zsxuan/p/18057134 。

于是

$$A=V^{-1}B$$

且 $A$ 有唯一解。
$◻$

2. 正确性证明：
   唯一性证明完毕的基础下，正确性构造一下就成立了。
   显然将一组不同的 $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 与 $y_0,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 代入方程组，得到的 $A$ 是唯一的且和 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}_i$ 中的系数相等。
   $◻$

2.2.3 多项式系数表示与点值表示的朴素转化

朴素的系数表示转点值表示：求出 $n+1$ 个点即可，时间复杂度 $O(n^2)$ 。
朴素的点值表示转系数表示：横坐标非连续的情况下，通过拉格朗日插值 $O(n^2)$ 得到。

2.3 多项式加法与等差前缀和升阶定理

多项式加法：
系数表示下：若 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ ，$g(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i$ ，则 $f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)x^i$ 。
点值表示下： $f(x)+g(x)=\{(p_0,f(p_0)+g(p_0)),(p_1,f(p_1)+g(p_1)),(p_2,f(p_2)+g(p_2)),\cdots ,(p_n,f(p_n)+g(p_n))\}$
时间复杂度 $O(n)$ 。

只讨论系数表示意义下的多项式等差前缀和：
多项式等差前缀和：$\sum _{x=0}^m\sum _{i=0}^n{a}_i(u+vx{)}^i=\sum _{j=0}^{n+1}{b}_j{m}^j$ 。
等差前缀和升阶：$f(x)$ 经过等差前缀和后成为了 $g(m)$ ，$\mathrm{deg}g=\mathrm{deg}f+1$ 。前缀和是平凡的等差前缀和。
时间复杂度 $O(m)$ 。
如果有必要，多项式点值表示可以转化为多项式系数表示再进行前缀和。

2.4 多项式卷积

2.4.1 多项式乘法

多项式卷积即多项式乘法

定义 $h$ 是 $f$ 和 $g$ 的卷积，即 $h(x)=f(x)g(x)$ 。
显然地 $\mathrm{deg}h=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g=n+m$ 。

2.4.2 多项式系数表示下的卷积：

不考虑类似生成函数的角度，只考虑朴素的系数卷积。
定义 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i,g(x)=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i$ 。
从 DP 的角度考虑转移方程：$c_k=a_i{x}^i{b}_{k-i}$ 。
则有：

$$h(x)=\sum _{i=0}^{n+m}\sum _{j=0}^i{a}_j{b}_{i-j}{x}^i$$

算法的时间复杂度是 $O(n+m{)}^2$ 的。

2.4.3 多项式点值表示下的卷积：

让 $f$ 和 $g$ 取相同的横坐标，不妨定义 $n\ge m$ ，若否等同 $swap(f,g)$ 。$g$ 在升阶后只需要在空缺位补 $0$ 。
定义 $f(x)=\{(p_0,f(p_0)),(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),\cdots ,(p_n,f(p_n))\}$ ，$g(x)=\{(p_0,f(p_0)),(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),\cdots ,(p_m,f(p_n))\}$ 。
则 $g(x)=f(x)+g(x)=(p_0,f(p_0)+g(p_0)),(p_1,f(p_1)+g(p_1)),(p_2,f(p_2)+g(p_2)),\cdots ,(p_n,f(p_n)+g(p_n))$ 。
算法的时间复杂度是 $O(n)$ 的。

2.4.4 多项式快速卷积

可以提出爆论： 现实中遇到的需要处理的某个多项式几乎都是系数表示。且很多时候需要计算多项式在系数表示下的卷积。

是否可以避开系数卷积？即将系数转为点值，在点值意义下计算卷积，再转回系数？
显然这个做法的卷积复杂度为 $O(n)$ ，但变换复杂度为 $O(n^2)$ ，于是 $O(n^2)$ 成为瓶颈。

这时候需要引入多项式快速变换算法。

2.4.5 常见多项式卷积

3.DFT

$DFT$ 即离散傅里叶变换，可以快速将多项式系数表示变换成点值表示。

对于一个 $n$ 阶多项式 $f(x)$ ，不妨让 $len$ 为 $2^{\lceil {\log }_2(n+1)\rceil }$ ，并让多项式升阶至 $len-1$ ，空缺位补 $0$ 。

1. $\lfloor {\log }_{2}x\rfloor =31-\mathrm{\_}\mathrm{\_}builtin\mathrm{\_}clz(x)s.t.0<x\le 2^{32}$ 。
2. $\lceil {\log }_{2}x\rceil =31-\mathrm{\_}\mathrm{\_}builtin\mathrm{\_}clz(x)+e(\mathrm{\_}\mathrm{\_}bulitin\mathrm{\_}popcount(x)>1)s.t.0<x\le 2^{32}$ 。

证明：

1. __builtin_clz 和 __builtin_popcount 传入 unsigned int 。
2. 2^{31 - 31} = 1。
3. 当且仅当 __built_popcount(x) >= 2 时有进位。
   $◻$

于是 $f(x)$ 的项数为 $2^k$ ，显然地可以分治。

$$\begin{array}{rl}F(x)& =a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n\\ & =(a_0{x}^0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1})+(a_1{x}^1+a_3{x}^3+a_5{x}^5+\cdots +a_n{x}^n)\\ & =(a_0{x}^0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1})+x(a_1{x}^0+a_3{x}^2+a_5{x}^4+\cdots +a_n{x}^{n-1})\\ \mathbf{\text{令}}\\ G(x)& =(a_0{x}^0+a_2{x}^1+a_4{x}^2+\cdots a_{n-1}{x}^{(n-1)/2})\\ H(x)& =(a_1{x}^0+a_3{x}^1+a_5{x}^2+\cdots a_n{x}^{(n-1)/2})\\ \mathbf{\text{则有}}\\ F(x)& =G(x^2)+xH(x^2)\end{array}$$

其中 $\mathrm{deg}G=\mathrm{deg}H=\frac{1}{2}\mathrm{deg}F$ 。可以令 $G=F^{{}^{\prime }},H=F^{{}^{″}}$ 继续分治。
考虑计算复杂度，每次向下递归，需要计算的函数都会倍增。
于是可以 $T(1+2+4+\cdots +n)=O(l\log l)$ 计算出 $F(x)$ 。
然而这个分治有什么意义？

考虑将 $x$ 替换成 $w_l^k$ ，则有：

$$\begin{array}{rl}F(w_l^k)& =G(w_l^{2k})+w_l^{k}H(w_l^{2k})\\ & =G(w_{l/2}^k)+w_l^{k}H(w_{l/2}^k)\\ F(w_l^{k+l/2})& =H(w_l^{2k+l})+w_l^{k+l/2}G(w_l^{2k+l})\\ & =G(w_l^{2k})+(-w_l^k)H(w_l^{2k})\\ & =G(w_{l/2}^k)-w_l^{k}H(w_{l/2}^k)\end{array}$$

其中 $l$ 为大于 $1$ 的 $2$ 的幂次。

这意味着我们只需要求出 $G(w_{l/2}^{}k),H(w_{l/2}^k)$ 即可得到 $F(w_l^k),F(w_l^{k+l/2})$ 。

于是 $n$ 个 $F(w_l)$ 可以由 $l/2$ 个 $G(w_{l/2})$ 和 $l/2$ 个 $H(w_{l/2})$ 得到。然后继续分治。

考虑基于特列来模拟理解这个过程，列举每个递归层的单位根折半情况：

$$\begin{array}{rl}& \{w_8^0,w_8^1,w_8^2,w_8^3,w_8^4,w_8^5,w_8^6,w_8^7\}\\ & \{w_4^0,w_4^1,w_4^2,w_4^3\}\{w_4^0,w_4^1,w_4^2,w_4^3\}\\ & \{w_2^0,w_2^1\}\{w_2^0,w_2^1\}\{w_2^0,w_2^1\}\{w_2^0,w_2^1\}\\ & \{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\{w_1^0\}\end{array}$$

显然 $m$ 次单位根的函数 $Y_{w_m}$ 可以由 $m/2$ 次单位根的函数 $Y_{w_{m/2}}$ 算出。

1. 枚举 $m\in \{2,4,8,\cdots ,l\}$ 表示正在计算 $m$ 次单位根的函数 $Y_{w_m}$ 。
2. 计算 $m$ 次单位根 $w_m^1=(\cos Arg,\sin Arg)$ 。辐角 $Arg=\frac{2\pi }{m}$ 。
3. 显然数组会被分为 $l/m$ 段，每段长度为 $m$ ，代表一个函数。于是枚举 $0\le j<l,j:=j+m$ 表示每段函数的起点。
4. 对于每段长度为 $m$ 的函数，枚举 $j\le k<j+m/2$ 计算 $f(w_m^k)$ 与 $f(w_m^{k+m/2})$ 。

代码类似

for (int m = 2; m <= l; m *= 2) { // 枚举需要计算的 m 次单位根函数
	double Arg = 2 * PI / m;
	CD wm(cos(Arg), sin(Arg));
	for (int j = 0; j < l; j += m) { // 枚举起点
		CD wmi = 1;
		for (int k = j; k < j + m / 2; k++) { // 折半计算
			// f[k] = xxx, f[k + m / 2] = xxx;
			wmi *= wm;
		}
	}
}

4.FT 蝶变

4.1 蝶变复写算法

观察
$F(w_m^k)=G(w_{m/2}^k)+w_m^{k}H(w_{m/2}^k)$ 。
$F(w_m^{k+m/2})=G(w_{m/2}^k)-w_m^{k}H(w_{m/2}^k)$ 。

分析单位根的折半图：

1. $G(w_{m/2}^k)$ 和 $H(w_{m/2}^k)$ 的两个位置只能影响到 $F(w_m^k)$ 和 $F(w_m^{k+m/2})$ 的两个位置。
2. $F(w_m^k)$ 的位置与下层 $G(w_{m/2}^k)$ 的位置一样。
3. $F(w_m^{k+m/2})$ 的位置与下层 $H(w_{m/2}^k)$ 的位置一样。
   于是这四个位置可以直接复写，而不需要开额外空间。
   代码类似

complex<double> u = a[k], v = wmi * a[k + m / 2];
a[k] = u + v; a[k + m / 2] = u - v;

4.2 FT 蝶变定理

显然单位根的折半不会打乱顺序，但常数系数的折半会。
这里进行一些模拟

$$\begin{array}{rl}& \{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7\}\\ & \{x_0,x_2,x_4,x_6\}\{x_1,x_3,x_5,x_7\}\\ & \{x_0,x_4\}\{x_2,x_6\}\{x_1,x_5\}\{x_3,x_7\}\\ & \{x_0\}\{x_4\}\{x_2\}\{x_6\}\{x_1\}\{x_5\}\{x_3\}\{x_7\}\end{array}$$

基于这个模拟，提出一个爆论：
一个排列 $p$ 分治地进行奇偶拆分后，得到的最终排列 $q$ ，满足 $q_i=p_{R(i)}$ 。
$R(i)$ 是 $i$ 的二进制逆序后得到的数。

证明这个爆论正确的方法是，找不到模拟的反例。
于是该爆论可以视为定理。

需要先将常数系数置换到终点位置，才能从终点倍增回答案。于是有位逆序置换算法。

4.3 位逆序置换

4.3.1 位逆序变换算法

设二进制长度为 $k$ ，$x$ 的位逆序为 $R(x)s.t.0\le x\le 2^k-1$ 。
考虑一件事：$x$ 右移一位 等于 $x>>1$ 。$R(x)$ 左移一位 等于 $R(x>>1)$ 。
于是 $x$ 右移一位，再逆序，再右移一位，便可得到 $x\mathrm{\&}(2^k-2)$ 的位逆序。即 $x$ 的第一位与上 $0$ 后的位逆序。
于是将结果或上 $(x\mathrm{\&}1)\times 2^{k-1}$ 即可得到 $x$ 的位逆序。
写成公式即

$$R(x)=R(x>>1)>>1+(x\mathrm{\&}1)\mid 2^{k-1}$$

当 $2^k=len$ ，有

$$R(x)=R(x>>1)>>1+(x\mathrm{\&}1)\mid (len>>1)$$

显然 $x>>1<x$ ，于是可以递推。枚举复杂度 $O(n)$ ，转移复杂度 $O(\log n)$ ，于是递推复杂度为 $O(n\log n)$ 。

4.3.2 位逆序置换算法

考虑如何将权值 $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1}$ 换成 $a_{R(0)},a_{R(1)},a_{R(2)},\cdots ,a_{R(n-1)}$ 。

不开额外空间的置换只能使用 $swap$ 。当 $swap(a_i,a_{R(i)})$ 后，$i$ 和 $R(i)$ 位置成为答案。

观察到性质 $R(R(i))=i$ 。即数组中二元组 $(i,R(i))$ 和 $(R(i),i)$ 成对。则若线性遍历 $i$ 执行 $swap(a_i,a_{R(i)})$ ，算法结束后数组不变。

一个朴素的想法是开一份空间 $vis$ 。正向线性遍历 $i$ ，若 $vi{s}_i=0$ ，则修改 $a_i=b_{R(i)}$ ，并令 $vi{s}_i=vi{s}_{R(i)}=1$ 。

有不开额外空间的办法吗？

正向遍历，借助 $vis$ 数组观察算法特性。

1. 若 $i=R(i)$ ，已经是答案。不妨默认为 $vi{s}_i=1$ 。
2. 若$vi{s}_i\ne 1$ ， $swap(a_i,a_{R(i)})$ ，并 $vi{s}_i=vi{s}_{R(i)}=1$ 。

可以断言若 $vi{s}_i\ne 1$ ，则 $i<R(i)$ 。

1. $i\ne R(i)$ 显然。
2. 若 $i>R(i)$ ，则 $R(i)<R(R(i))$ ，即 $R(i)$ 会先于 $i$ 被标记，与 $vi{s}_i\ne 1$ 矛盾。

这意味着只有 $i<R(i)$ 的部分需要操作。

于是位逆序置换算法为，正向线性遍历 $i$ ，若 $i<R(i)$ 则 $swap(a_i,a_{R(i)})$ 。

5.IDFT

$IDFT$ 即离散傅里叶逆变换，可以快速将多项式点值表示变换成系数表示。

一般 $DFT$ 和 $IDFT$ 合称 $FDFT$ ，快速（离散）傅里叶变换。在计算机领域中通常直接称作 $FFT$ 。

6. 原根在 NTT 中的性质

详见：https://www.cnblogs.com/zsxuan/p/18099744

7.NTT