FFT（快速傅里叶变换）、NTT（快速数论变换）

1.复数

1.1 复数的引入和定义

1.1.1 略谈数集扩充

略了很多字。

在数学在现实应用领域的发展过程中，我们常需要解类似的方程： $x^2 + a = 0$ ，然而这在实数集下无解。

1.1.2 虚数单位于的引入与复数的定义

于是虚数单位 "i"被引入，并且有 $i^2 = -1$ 。

让复数表示为实数与虚数的符合形式，如 $a + bi\ a,b \in R$ ，让新集“复数集”表示为 C 。

定义复数相等：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，$z_1 = z_2 \Leftrightarrow a = c, b = d$ 。

令 $\cdot$ 表示为复数的四则运算加减乘除，则 $(G, \cdot)$ 会是一个阿贝尔群。于是类似 $x^2 + a = 0$ 可以有复数解 $a i^2$ 。自然而然，复数集便可被扩充。

复数通常可以用代数形式表示：$z = a + bi$ ，其中 $a$ 为 $z$ 的实部，读作 $a$ 是 $z$ 的 $real\ part$ ，写作 $Re(z) = a$ ；$b$ 为 $z$ 的虚部，读作 $b$ 是 $z$ 的 $Imaginary\ part$ ，写作 $Im(z) = b$ 。
一种复数的常见形式为三角形式：$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\ s.t.\ r \in R$ 。$r$ 为复数的模 $|z|$ ，$\theta$ 为辐角 $Arg\ z$ ，$(\cos \theta, \sin \theta)$ 为直角坐标。
另一种复数的常见形式为指数形式：$z = r \exp(i \theta) = r e^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 。最后一步变换为欧拉公式： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ ，后文会提到。

1.1.3 虚数的引入

定义虚数集，它与实数集划分复数集。

在复数的代数形式 $z = a + bi$ 下：

若 $b = 0$ ， $z$ 是实数。
若 $b \neq 0$ ，$z$ 是虚数。
- 特别的，若 $b \neq 0$ 且 $a = 0$ ，$z$ 是纯虚数。纯虚数集真包含于虚数集。

1.2 复数的性质与四则运算

1.2.1 复数的几何意义

考虑一根无限长的一维的数轴，定义实数单位 $1$ 为水平正方向，显然“所有实数”与数轴上的“坐标”形成双射。

选取一条无限长的数轴过 $0$ 垂直于原数轴，定义虚数单位 $i$ 为竖直正方向，得到一个二维空间。

对于复数的代数形式 $z = a + bi$ ，显然“所有 $(a, b)$” 与二维空间的“平面直角坐标”形成双射。

对于复数的三角形式 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ，显然“所有 $r(\cos \theta, \sin \theta)$” 与二维空间的“三角坐标”形成双射。

二维空间的点可以看作向量，比如复数 $z$ 可以看作向量 $\vec{OZ}$ 。显然地，复数可以相等，但不能比较大小。

所有向量的起点移动到原点即得到一个坐标系。

1.2.2 复数的加法与减法

定义复数加法：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 。则 $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$ 。

封闭性：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_3 = z_1 + z_2 \in C$ 。
证明： $z_3 = z_1 + z_2 = ac + bdi$ ，显然 $z_3$ 能表现为复数的代数形式，即 $z_3 \in C$ 。$\square$
结合律：若 $z_1, z_2, z_3 \in C$ ，则 $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ 。
证明： $(a + c) + (b + d)i + e + fi = a + bi + (c + e) + (d + f)i = (a + c + e) + (b + e + f)i$ 。$\square$
单位元： $C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $e + z = z + e = z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
证明： 显然有且仅有 $e = 0$ 。$\square$
逆元：$\forall a \in C$ ，都有且仅有一个 $b$ 满足 $a + b = b + a = e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
证明： 显然对于任意 $a$ ，有且仅有 $b = -a$ 。$\square$
交换律：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ 。
证明： $a + bi + c + di = c + di + a + bi = (a + c) + (b + d)i$ 。$\square$

由 $1, 2, 3, 4$ ， $(C, +)$ 是个群。再由 $5$ ，$(C, +)$ 是个阿贝尔群。

减法是加法的逆运算，如 $(z_1 + z_2) - z_2 = z_1$ 。于是 $(C, -)$ 是个阿贝尔群。

1.2.3 复数的乘法与除法

定义复数乘法：$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，则 $z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$ 。(显然复数乘法在几何意义上与向量点积和叉积无关。)

封闭性：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 z_2 \in C$ 。
证明： 令 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di, z_3 = z_1 z_2$ ，则 $z_3 = z_1 z_2 = (a + bi)(c + di)$ ，继续展开得到 $z_3 = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd)(ad + bc)i$ ，显然 $z_3$ 能表现成复数的代数形式，即 $z_3 \in C$ 。$\square$
结合律：若 $z_1, z_2, z_3 \in C$ ，则 $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$ 。
证明： $((a + bi)(c + di))(e + fi) = (a + bi)((c + di)(e + fi))$ 是直观显然的。$\square$
单位元：$C$ 中有且仅有一个 $e$ 满足 $e z = z e = z$ ，则 $e$ 是 $G$ 的单位元。
证明： 显然 $C$ 中有且仅有 $e = 1$ 。$\square$
逆元：$\forall a \in C$ ，都有 $a b = b a = e$ ，则 $b$ 是 $a$ 的逆元。
证明： 观察 $(a + bi)(x + yi) = 1$ ，当且仅当 $a + bi \neq 0$ 时有解。 $\square$
交换律：若 $z_1, z_2 \in C$ ，则 $z_1 z_2 \in C$ 。
证明： $(a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)$ 是直观显然的。$\square$

由 $1, 2, 3, 4$ ，$(C \backslash \{0\}, \times)$ 是个群。再由 $5$ ，$(C \backslash \{0\}, \times)$ 是个阿贝尔群。

除法是乘法的逆运算，于是 $(C \backslash \{0\}, /)$ 是个阿贝尔群。

1.2.4 辐角

1.2.4.1 复平面

在几何意义中已经对复数二维空间的方向进行过一个定义，实数单位 $1$ 为水平正方向，虚数单位 $i$ 为竖直正方向。

现在可以补充说明，将所有复数向量的起点移动到原点后，这个复数二维空间即复平面。

1.2.4.2 辐角和辐角主值

一个复数 $z = a + bi$ 可以表示出坐标 $(a, b)$ 。定义 $Arg\ z$ 为 $z$ 的辐角，有 $\tan (Arg\ z) = \frac{b}{a}$ 。

定义 $z$ 的 辐角主值或主辐角 为 $arg\ z$ ，有 $-\pi < arg\ z \leq \pi$ 。

需要注意，辐角不值某个角，而是指一个集合。 $Arg\ z = \{ arg\ z + 2 k \pi \mid k \in Z \}$ 。

1.2.4.3 单位圆

所有模小于等于 $1$ 的复数在复平面上构成单位圆。
模为 $1$ 的复数为单位复数。所有单位复数构成构成单位圆周。

1.2.4.4 极坐标

在极坐标的视角下表示复数坐标，则 $(a, b) = (r, \theta)$ 。其中 $r = \sqrt{a^2 + b^2}, \theta = Arg\ z$ 。

借助极坐标，复数乘法和除法的几何意义非常好理解。

乘法：$z_1 z_2 = (r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)$ ，即模相乘，辐角相加。
除法：乘法的逆运算，$z_1 / z_2 = (r_1 / r_2, \theta_1 - \theta_2)$ ，即模相除，辐角相减。

1.2.5 共轭复数

共轭复数，即模相等，辐角相反的的两个复数（角相反：即角的绝对值相等，符号相反）。几何意义上关于实轴对称。$z = a + bi$ 的共轭复数写作 $\bar{z} = a - bi$ 。

共轭复数是一种应用数学领域中常见的复数，具有以下性质。

$z \bar{z} = |z|^2$ 。
代数证明： $(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2$ 。$\square$
极坐标证明： $(r, \theta) (r, -\theta) = (r^2, 0) = r^2$ 。$\square$
$\bar{\bar{z}} = z$ 。
代数证明： $a + (-(-b))i = a + bi$ 。$\square$
极坐标证明： $(r, -(-\theta)) = (r, \theta)$ 。$\square$
$\overline{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}$ 。
证明： $\overline{z + w} = \overline{(a + bi) + (c + di)} = \overline{(a + c) + (b + d)i} = (a + c) - (b + d)i$ ，$\bar{z} + \bar{w} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i$ 。于是 $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$。减法是加法逆运算。 $\square$
$\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。
代数证明： $\overline{z 2} = \overline{(a + bi)(c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i$ 。$\bar{z} \bar{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) + (a(-d) + (-b)c)i = (ac - bd) - (ad + bc)i$ 。于是 $\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$\square$
极坐标证明： $\overline{z w} = \overline{(r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)} = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))$ 。$\bar{z} \bar{w} = (r_1, -\theta_1)(r_2, \theta_2) = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))$ 。于是 $\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}$ 。除法是乘法的逆运算。$\square$

1.3 欧拉公式、复指数函数、复三角函数

1.3.1 欧拉公式

以欧拉命名的常见公式不止一个，这里指的是最出名的欧拉公式。
欧拉公式是欧拉创造的，被誉为“最美丽的数学公式”的公式，它将实数、虚数、三角函数联系到了一起，是一个数集的桥梁，在后世中应用广泛。
欧拉公式： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 。
不严谨的说明：
已知泰勒展开为：
$$
f(x) \to \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} x^{i}
$$
先确定三个函数的 $Taylor$ 展开式，已知（首先很经典，其次课本上说的）它们的展开式是收敛的：
1. $e^x = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} x^i + o(x^{n})$ 。
2. $\cos x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i + 2} \frac{1}{(2i)!} x^{2i} + o(x^{2n})$ 。
3. $\sin x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i} \frac{1}{(2i + 1)!} x^{2i + 1} + o(x^{2n + 1})$ 。
由
$e^{ix} = \frac{x^0}{0!} + i\frac{x^1}{1!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^{6}}{6!} - i\frac{x^7}{7!} \cdots$
$\cos x = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
$i \sin x = i \frac{1}{1!} - i\frac{x^3}{3!} + i\frac{x^5}{5!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots$
可以发现 $\cos x + i \sin x = 1 + i\frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots = e^{ix}$ 。
$\square$

特殊的，有 $e^{\pi i} = -1$ 。 这个恒等式较为常用。
证明： $e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \times 0 = -1$ 。$\square$

1.3.2 复指数函数

复指数函数在实数集上的定义与实指数函数的定义一致。
对于复数 $z = x + iy$ ，定义函数 $\exp z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)$ 。
复数函数在复平面上的性质：

模横正：$|\exp z| > 0$ 。
证明： $|\exp z| = |e^x(\cos y + i \sin y)| = e^x > 0$ 。$\square$
辐角主值：$arg\ \exp z = y$ 。
证明： $\frac{e^x \sin y}{e^x \cos y} = \tan y$ ，于是 $arg\ \exp z = y$ 。$\square$
加法定理：$\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)$ 。
代数证明：
令 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ ，有
\[\begin{aligned} \exp(a + c + (b + d)i) &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i \sin (b + d)) \\ \exp(a + bi) \exp(c + di) &= e^{a}(\cos b + i\sin b) e^{c}(\cos d + i\sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d + i \cos b \sin d + i \sin b \cos d + i^2 \sin b \sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d - \sin b \sin d) + i(\cos b \sin d + \sin b \cos d) \\ &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i\sin (b + d)) \\ \textbf{于是} \\ \exp(z_1 + z_2) &= \exp(z_1) \exp(z_2) \quad \square \end{aligned} \]
极坐标证明：
\[\begin{aligned} \exp z_1 \exp z_2 &= e^{a + b}(\cos b + i \sin b)(\cos d + i \sin d) \\ &= e^{a + b}(1, b)(1, d) \\ &= e^{a + b}(1, b + d) \\ &= e^{a + b}(\cos (c + d) + i\sin(c + d)) \\ &= \exp(z_1 + z_2) \quad \square \end{aligned} \]
周期性：$\exp z$ 是以 $2 \pi i$ 为基本周期的周期函数。
证明： $\exp (z + 2 \pi i) = \exp(z) \exp(\pi i) \exp(\pi i) = \exp(z)$ 。$\square$

1.3.3 复三角函数

复三角函数在实数集上的定义与实三角函数的定义一致。
然而复三角函数在算法竞赛领域似乎未曾见过应用，暂时只给出复余弦函数与复正弦函数的定义和几个常见性质。

$\cos z = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2}$ 。
显然 $\frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} = \frac{\cos z + i \sin z + \cos (-z) + i \sin (-z)}{2} = \cos z$ 。
$\sin z = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2 i}$ 。
显然 $\frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} = \frac{\cos z + i \sin z - \cos (-z) - i\sin (-z)}{2i} = \sin z$ 。
特殊的，若 $z \in R$ ，则：
1. $\cos z = Re(\exp (iz))$ 。
2. $\sin z = Im(\exp (iz))$ 。
  显然 $\exp (iz) = \cos z + i \sin z$ 。

复三角函数在复平面上的几个性质：

奇偶性：
1. $\cos z$ 是复平面上的偶函数。
  证明： $\cos z - \cos (-z) = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} - \frac{\exp(-iz) + \exp(iz)}{2} = 0$ 。$\square$
2. $\sin z$ 是复平面上的积函数。
  证明： $\sin z + \sin (-z) = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} + \frac{\exp(-iz) - \exp(iz)}{2i} = 0$ 。$\square$
周期性：$\cos z$ 和 $\sin z$ 在复平面上的基本周期为 $2 \pi$ 。
证明： $\exp(w + 2 \pi) = \exp(w) \exp(2 \pi) = \exp(w)$ 。$\square$
值域：不同于实余弦函数与实正弦函数值域为 $[-1, 1]$ ，复余弦函数与复正弦函数的值域为 $C \backslash \{0\}$ 。
证明： 令 $z = a + bi\ s.t. a,b \in R$ ，记 $u = \exp(-b + ai) = e^{-b}(\cos a + i \sin a) \in C \backslash \{0\}$ 。显然 $\cos z = \frac{1}{2}(u + \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}$ 。显然 $\sin z = \frac{1}{2i} (u - \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}$ 。$\square$
三角恒等式：实际上基本符合实三角恒等式，暂时只给出常见的 $\cos^2 z + \sin^2 z = 1$ 证明。
证明： 有复数的几何意义与勾股定理则显然。$\square$

1.4 单位根

复数意义下的解叫做复根。
称 $x^n = 1$ 的解叫做 $n$ 次单位复根或 $n$ 次单位根。

可以断言 $n$ 次单位复根有且仅有 $n$ 个，且是从 $1$ 开始将等分单位元的 $n$ 个复数。
证明： 由欧拉公式 $e^{2 \pi i} = 1$ ，两边做 $k$ 次幂有 $e^{2k \pi i} = 1$ ，再取 $n$ 次根 $\sqrt[n]{1} = e^{2 \frac{1}{n} k \pi i} = \cos 2 \frac{1}{n} k \pi + i \sin 2 \frac{1}{n} k \pi$ 。由于 $2 \pi$ 是一个周期，于是一个周期内的解集为 $k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1\}$ 。$\square$

设 $w_{n}^{0} = w_{n}^{n} = 1$ ，逆时针依次为 $w_{n}^{0}, w_{n}^{1}, w_{n}^{2}, \cdots, w_{n}^{n - 1}$ 。其中 $w_{n}^{1}$ 通常直接被写作 $w_n$ 。

$w_1 = 1$ 是平凡的，不存在扩展性质。

$n \geq 2$ 时具有性质：

互异性：$\forall 0 \leq i < n,j\ s.t. i \neq j$ 有 $w_n^{i} \neq w_{n}^j$ 。
证明： 复数乘法，考虑极坐标系下， $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})$ 在 $k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1 \}$ 互不相同。$\square$
加法定理：$w_{n}^{a + b} = w_{n}^{a} w_{n}^{b}$ 。
证明： 极坐标系下 $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})$ 。于是 $w_{n}^{a + b} = (1, (a + b) \frac{2 \pi}{n}) = (1, a \frac{2 \pi}{n}) (1, b \frac{2 \pi}{n}) = w_{n}^{a} w_{n}^{b}$ 。$\square$
可除公约数性： $w_{ln}^{lk} = w_{n}^{k}$ 。
证明： 设极坐标系下 $w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n}), w_{ln}^{lk} = (1, lk \frac{2 \pi}{nl})$ 。显然 $(1, lk \frac{2 \pi}{nl} = (1, k \frac{2 \pi}{n}))$ 即 $w_{n}^{k} = w_{ln}^{lk}$ 。$\square$
特殊的，$w_{2n}^{2k} = w_{n}^{k}$ ，又叫折半性。
周期性：$w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k}$ 。
证明： $w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k} w_{n}^{n} = w_{n}^{k}$ 。$\square$
对称性：$w_{2n}^{k + n} = -w_{2n}^{k}$ 。
证明： 显然地 $w_{2n}^{n} = -1$ ， $w_{2n}^{k + n} = w_{2n}^{k} w_{2n}^{n} = -w_{2n}^{k}$ 。$\square$
一定性：$\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0$ 。
证明： 由对称性 $w_{n}^{k} + w_{n}^{k + n/2} = 0$ ，$\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0$ 。$\square$
逆元存在：$\frac{1}{w_{n}^{k}}$ 存在。
证明： $\frac{1}{w_{n}^{k}} = e^{- \theta i} = (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta)) = (\cos \theta - i \sin \theta)$ ， $w_{n}^{k} = e^{\theta i} = (\cos \theta + i \sin \theta)$ ，于是 $\frac{1}{w_{n}^{k}} = \overline{w_{n}^{k}}$ 。其中 $\theta = Arg\ w_{n}^{k} = \frac{2 k \pi}{n}$ 。

1.5 C++ 中的复数类

不同于 C 中需要调用头文件，C++ 中直接有 $complex$ 标准类。

$complex$ 类需要定义变量类型为 $complex<float>$ 或 $complex<double>$ 或 $complex<long\ double>$ 。
一个 $complex$ 类可以初始化变量 $complex<T> z(cos(Arg), sin(Arg))$ 。$Arg$ 是 $double$ 类型的辐角。
一个 $complex$ 类有成员函数 $real$ 和 $imag$ ，可以访问实部和虚部。
一个 $complex$ 类有常见的非成员函数 $real$ 、$imag$ 、$abs$ 、$arg$ ，返回复数的实部、虚部、模长、辐角。

2.多项式

2.1 多项式简介

2.1.1 多项式定义

对于常数系数乘以幂函数的和式 $\sum a_i x^i$ 。
如果是有限项相加，称为多项式，写作 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i \quad s.t. \quad a_i \in Z$ 。
如果是无限项相加，成为幂级数，写作 $f(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_i x^i \quad s.t. \quad a_i \in Z$ 。幂级数可以列项相消。

2.1.2 多项式的阶和度

对于多项式 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i$ ，可以详细称作：关于 $x$ 的 $n$ 阶多项式。

$x$ 的最高次项的系数称为 $\deg f$ ，也可以叫做 $f(x)$ 的阶。形式上 $\deg \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i = n$ 。

2.2 多项式表示

2.2.1 多项式系数表示

多项式的系数表示即：$f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^{i}$ 。计算复杂度为 $O(n)$ 。

2.2.2 多项式点值表示

先断言：一组横坐标不同的 $n + 1$ 个点对可以表示一个 $n$ 阶多项式。
即 $f(x)$ 的点值表示为： $f(x) = \{ (p_0, f(p_0)), (p_1, f(p_1)), (p_2, f(p_2)), \cdots, (p_n, f(p_n)) \}$ 。

证明：
不妨让 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i$ ，将横坐标不同的 $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n$ 带入 $f(x)$ 得到 $y_0, y_1, y_2, \cdots, y_n$ 。

唯一性证明：
将方程组写成矩阵形式：

\[V = \begin{bmatrix} 1 & x_{0}^{1} & x_{0}^{2} & \cdots & x_{0}^{n}\\ 1 & x_{1}^{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2}^{1} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n}^{1} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n}\\ \end{bmatrix} \qquad A = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{bmatrix} \]

即

\[VA = B \]

显然 $V$ 是个 $Vandermonde$ 矩阵，是给个经典的满秩矩阵。矩阵满秩是个描述性名词，实际上和下述两个性质满足充要关系：

矩阵可逆（即有逆元）
行列式不为 $0$（即行向量线性无关、列向量线性无关，即有唯一解）

详见：https://www.cnblogs.com/zsxuan/p/18057134 。

于是

\[A = V^{-1} B \]

且 $A$ 有唯一解。
$\square$

正确性证明：
唯一性证明完毕的基础下，正确性构造一下就成立了。
显然将一组不同的 $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n$ 与 $y_0, y_1, y_2, \cdots, y_n$ 代入方程组，得到的 $A$ 是唯一的且和 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x_i$ 中的系数相等。
$\square$

2.2.3 多项式系数表示与点值表示的朴素转化

朴素的系数表示转点值表示：求出 $n + 1$ 个点即可，时间复杂度 $O(n^2)$ 。
朴素的点值表示转系数表示：横坐标非连续的情况下，通过拉格朗日插值 $O(n^2)$ 得到。

2.3 多项式加法与等差前缀和升阶定理

多项式加法：
系数表示下：若 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i$ ，$g(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i$ ，则 $f(x) + g(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_i + b_i) x^i$ 。
点值表示下： $f(x) + g(x) = \{(p_0, f(p_0) + g(p_0)), (p_1, f(p_1) + g(p_1)), (p_2, f(p_2) + g(p_2)), \cdots, (p_n, f(p_n) + g(p_n)) \}$
时间复杂度 $O(n)$ 。

只讨论系数表示意义下的多项式等差前缀和：
多项式等差前缀和：$\sum_{x = 0}^{m} \sum_{i = 0}^{n} a_i (u + vx)^{i} = \sum_{j = 0}^{n + 1} b_j m^j$ 。
等差前缀和升阶：$f(x)$ 经过等差前缀和后成为了 $g(m)$ ，$\deg g = \deg f + 1$ 。前缀和是平凡的等差前缀和。
时间复杂度 $O(m)$ 。
如果有必要，多项式点值表示可以转化为多项式系数表示再进行前缀和。

2.4 多项式卷积

2.4.1 多项式乘法

多项式卷积即多项式乘法

定义 $h$ 是 $f$ 和 $g$ 的卷积，即 $h(x) = f(x) g(x)$ 。
显然地 $\deg h = \deg f + \deg g = n + m$ 。

2.4.2 多项式系数表示下的卷积：

不考虑类似生成函数的角度，只考虑朴素的系数卷积。
定义 $f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i, g(x) = \sum_{i = 0}^{m} b_i x^i$ 。
从 DP 的角度考虑转移方程：$c_k = a_i x^i b_{k - i}$ 。
则有：

\[h(x) = \sum_{i = 0}^{n + m} \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} x^{i} \]

算法的时间复杂度是 $O(n + m)^2$ 的。

2.4.3 多项式点值表示下的卷积：

让 $f$ 和 $g$ 取相同的横坐标，不妨定义 $n \geq m$ ，若否等同 $swap(f, g)$ 。$g$ 在升阶后只需要在空缺位补 $0$ 。
定义 $f(x) = \{ (p_0, f(p_0)), (p_1, f(p_1)), (p_2, f(p_2)), \cdots, (p_n, f(p_n)) \}$ ，$g(x) = \{ (p_0, f(p_0)), (p_1, f(p_1)), (p_2, f(p_2)), \cdots, (p_m, f(p_n)) \}$ 。
则 $g(x) = f(x) + g(x) = { (p_0, f(p_0) + g(p_0)), (p_1, f(p_1) + g(p_1)), (p_2, f(p_2) + g(p_2)), \cdots, (p_n, f(p_n) + g(p_n)) } $ 。
算法的时间复杂度是 $O(n)$ 的。

2.4.4 多项式快速卷积

可以提出爆论： 现实中遇到的需要处理的某个多项式几乎都是系数表示。且很多时候需要计算多项式在系数表示下的卷积。

是否可以避开系数卷积？即将系数转为点值，在点值意义下计算卷积，再转回系数？
显然这个做法的卷积复杂度为 $O(n)$ ，但变换复杂度为 $O(n^2)$ ，于是 $O(n^2)$ 成为瓶颈。

这时候需要引入多项式快速变换算法。

2.4.5 常见多项式卷积

3.DFT

$DFT$ 即离散傅里叶变换，可以快速将多项式系数表示变换成点值表示。

对于一个 $n$ 阶多项式 $f(x)$ ，不妨让 $len$ 为 $2^{\lceil \log_2 (n + 1) \rceil}$ ，并让多项式升阶至 $len - 1$ ，空缺位补 $0$ 。

$\lfloor \log_2 x \rfloor = 31 - \_\_builtin\_clz(x)\ s.t.\ 0 < x \leq 2^{32}$ 。
$\lceil \log_2 x \rceil = 31 - \_\_builtin\_clz(x) + e(\_\_bulitin\_popcount(x) > 1)\ s.t.\ 0 < x \leq 2^{32}$ 。

证明：

__builtin_clz 和 __builtin_popcount 传入 unsigned int 。
2^{31 - 31} = 1。
当且仅当 __built_popcount(x) >= 2 时有进位。
$\square$

于是 $f(x)$ 的项数为 $2^k$ ，显然地可以分治。

\[\begin{aligned} F(x) &= a_0 x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \\ &= (a_0 x^0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1}) + (a_1 x^1 + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots + a_n x^n) \\ &= (a_0 x^0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1}) + x (a_1 x^0 + a_3 x^2 + a_5 x^4 + \cdots + a_n x^{n - 1}) \\ \textbf{令} \\ G(x) &= (a_0 x^0 + a_2 x^1 + a_4 x^2 + \cdots a_{n - 1} x^{(n - 1) / 2}) \\ H(x) &= (a_1 x^0 + a_3 x^1 + a_5 x^2 + \cdots a_n x^{(n - 1) / 2}) \\ \textbf{则有} \\ F(x) &= G(x^2) + x H(x^2) \end{aligned} \]

其中 $\deg G = \deg H = \frac{1}{2} \deg F$ 。可以令 $G = F^{'}, H = F^{''}$ 继续分治。
考虑计算复杂度，每次向下递归，需要计算的函数都会倍增。
于是可以 $T(1 + 2 + 4 + \cdots + n) = O(l \log l)$ 计算出 $F(x)$ 。
然而这个分治有什么意义？

考虑将 $x$ 替换成 $w_{l}^k$ ，则有：

\[\begin{aligned} F(w_{l}^k) &= G(w_{l}^{2k}) + w_{l}^{k} H(w_{l}^{2k}) \\ &= G(w_{l/2}^{k}) + w_{l}^{k} H(w_{l/2}^{k}) \\ F(w_{l}^{k + l/2}) &= H(w_{l}^{2k + l}) + w_{l}^{k + l/2} G(w_{l}^{2k + l}) \\ &= G(w_{l}^{2k}) + (-w_{l}^{k}) H(w_{l}^{2k}) \\ &= G(w_{l/2}^{k}) - w_{l}^{k} H(w_{l/2}^{k}) \end{aligned} \]

其中 $l$ 为大于 $1$ 的 $2$ 的幂次。

这意味着我们只需要求出 $G(w_{l/2}^{}k), H(w_{l/2}^{k})$ 即可得到 $F(w_{l}^{k}), F(w_{l}^{k + l/2})$ 。

于是 $n$ 个 $F(w_{l})$ 可以由 $l/2$ 个 $G(w_{l/2})$ 和 $l/2$ 个 $H(w_{l/2})$ 得到。然后继续分治。

考虑基于特列来模拟理解这个过程，列举每个递归层的单位根折半情况：

\[\begin{aligned} &\{w_{8}^{0},\ w_{8}^{1},\ w_{8}^{2},\ w_{8}^{3},\ w_{8}^{4},\ w_{8}^{5},\ w_{8}^{6},\ w_{8}^{7}\} \\ &\{w_{4}^{0},\ w_{4}^{1},\ w_{4}^{2},\ w_{4}^{3}\} \{\ w_{4}^{0},\ w_{4}^{1},\ w_{4}^{2},\ w_{4}^{3}\} \\ &\{w_{2}^{0},\ w_{2}^{1}\} \{\ w_{2}^{0},\ w_{2}^{1}\} \{\ w_{2}^{0},\ w_{2}^{1}\} \{\ w_{2}^{0},\ w_{2}^{1}\} \\ &\{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \{w_{1}^{0}\} \\ \end{aligned} \]

显然 $m$ 次单位根的函数 $Y_{w_m}$ 可以由 $m/2$ 次单位根的函数 $Y_{w_{m/2}}$ 算出。

枚举 $m \in \{2, 4, 8, \cdots, l\}$ 表示正在计算 $m$ 次单位根的函数 $Y_{w_m}$ 。
计算 $m$ 次单位根 $w_{m}^{1} = (\cos Arg, \sin Arg)$ 。辐角 $Arg = \frac{2 \pi}{m}$ 。
显然数组会被分为 $l / m$ 段，每段长度为 $m$ ，代表一个函数。于是枚举 $0 \leq j < l, j := j + m$ 表示每段函数的起点。
对于每段长度为 $m$ 的函数，枚举 $j \leq k < j + m/2$ 计算 $f(w_{m}^{k})$ 与 $f(w_{m}^{k + m/2})$ 。

代码类似

for (int m = 2; m <= l; m *= 2) { // 枚举需要计算的 m 次单位根函数
	double Arg = 2 * PI / m;
	CD wm(cos(Arg), sin(Arg));
	for (int j = 0; j < l; j += m) { // 枚举起点
		CD wmi = 1;
		for (int k = j; k < j + m / 2; k++) { // 折半计算
			// f[k] = xxx, f[k + m / 2] = xxx;
			wmi *= wm;
		}
	}
}

4.FT 蝶变

4.1 蝶变复写算法

观察
$F(w_{m}^{k}) = G(w_{m/2}^{k}) + w_{m}^{k}H(w_{m/2}^{k})$ 。
$F(w_{m}^{k + m/2}) = G(w_{m/2}^{k}) - w_{m}^{k}H(w_{m/2}^{k})$ 。

分析单位根的折半图：

$G(w_{m/2}^{k})$ 和 $H(w_{m/2}^{k})$ 的两个位置只能影响到 $F(w_{m}^{k})$ 和 $F(w_{m}^{k + m/2})$ 的两个位置。
$F(w_{m}^{k})$ 的位置与下层 $G(w_{m/2}^{k})$ 的位置一样。
$F(w_{m}^{k + m/2})$ 的位置与下层 $H(w_{m/2}^{k})$ 的位置一样。
于是这四个位置可以直接复写，而不需要开额外空间。
代码类似

complex<double> u = a[k], v = wmi * a[k + m / 2];
a[k] = u + v; a[k + m / 2] = u - v;

4.2 FT 蝶变定理

显然单位根的折半不会打乱顺序，但常数系数的折半会。
这里进行一些模拟

\[\begin{aligned} &\{x_0,\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ x_5,\ x_6,\ x_7\} \\ &\{x_0,\ x_2,\ x_4,\ x_6\} \{\ x_1,\ x_3,\ x_5,\ x_7\} \\ &\{x_0,\ x_4\} \{\ x_2,\ x_6\} \{\ x_1,\ x_5\} \{\ x_3,\ x_7\} \\ &\{x_0\} \{x_4\} \{x_2\} \{x_6\} \{x_1\} \{x_5\} \{x_3\} \{x_7\} \\ \end{aligned} \]

基于这个模拟，提出一个爆论：
一个排列 $p$ 分治地进行奇偶拆分后，得到的最终排列 $q$ ，满足 $q_i = p_{R(i)}$ 。
$R(i)$ 是 $i$ 的二进制逆序后得到的数。

证明这个爆论正确的方法是，找不到模拟的反例。
于是该爆论可以视为定理。

需要先将常数系数置换到终点位置，才能从终点倍增回答案。于是有位逆序置换算法。

4.3 位逆序置换

4.3.1 位逆序变换算法

设二进制长度为 $k$ ，$x$ 的位逆序为 $R(x)\ s.t.\ 0 \leq x \leq 2^k - 1$ 。
考虑一件事：$x$ 右移一位等于 $x\ >>\ 1$ 。$R(x)$ 左移一位等于 $R(x\ >>\ 1)$ 。
于是 $x$ 右移一位，再逆序，再右移一位，便可得到 $x\ \&\ (2^k - 2)$ 的位逆序。即 $x$ 的第一位与上 $0$ 后的位逆序。
于是将结果或上 $(x\ \&\ 1) \times 2^{k - 1}$ 即可得到 $x$ 的位逆序。
写成公式即

\[R(x) = R(x\ >>\ 1)\ >>\ 1 + (x\ \&\ 1) \mid 2^{k - 1} \]

当 $2^k = len$ ，有

\[R(x) = R(x\ >>\ 1)\ >>\ 1 + (x\ \&\ 1) \mid (len\ >>\ 1) \]

显然 $x\ >>\ 1 < x$ ，于是可以递推。枚举复杂度 $O(n)$ ，转移复杂度 $O(\log n)$ ，于是递推复杂度为 $O(n \log n)$ 。

4.3.2 位逆序置换算法

考虑如何将权值 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n - 1}$ 换成 $a_{R(0)}, a_{R(1)}, a_{R(2)}, \cdots, a_{R(n - 1)}$ 。

不开额外空间的置换只能使用 $swap$ 。当 $swap(a_{i}, a_{R(i)})$ 后，$i$ 和 $R(i)$ 位置成为答案。

观察到性质 $R(R(i)) = i$ 。即数组中二元组 $(i, R(i))$ 和 $(R(i), i)$ 成对。则若线性遍历 $i$ 执行 $swap(a_i, a_{R(i)})$ ，算法结束后数组不变。

一个朴素的想法是开一份空间 $vis$ 。正向线性遍历 $i$ ，若 $vis_{i} = 0$ ，则修改 $a_i = b_{R(i)}$ ，并令 $vis_{i} = vis_{R(i)} = 1$ 。

有不开额外空间的办法吗？

正向遍历，借助 $vis$ 数组观察算法特性。

若 $i = R(i)$ ，已经是答案。不妨默认为 $vis_i = 1$ 。
若$vis_i \neq 1$ ， $swap(a_{i}, a_{R(i)})$ ，并 $vis_i = vis_{R(i)} = 1$ 。

可以断言若 $vis_i \neq 1$ ，则 $i < R(i)$ 。

$i \neq R(i)$ 显然。
若 $i > R(i)$ ，则 $R(i) < R(R(i))$ ，即 $R(i)$ 会先于 $i$ 被标记，与 $vis_i \neq 1$ 矛盾。

这意味着只有 $i < R(i)$ 的部分需要操作。

于是位逆序置换算法为，正向线性遍历 $i$ ，若 $i < R(i)$ 则 $swap(a_i, a_{R(i)})$ 。

5.IDFT

$IDFT$ 即离散傅里叶逆变换，可以快速将多项式点值表示变换成系数表示。

一般 $DFT$ 和 $IDFT$ 合称 $FDFT$ ，快速（离散）傅里叶变换。在计算机领域中通常直接称作 $FFT$ 。

6. 原根在 NTT 中的性质

详见：https://www.cnblogs.com/zsxuan/p/18099744

7.NTT

posted @ 2024-03-06 17:49 zsxuan 阅读(23) 评论(0) 编辑收藏举报

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