乘法逆元

一 乘法逆元

若线性同余方程 \(ax \equiv 1 (\bmod b)\) 有解，则 \(x\) 是 \(a \bmod b\) 的乘法逆元。

于是利用扩展欧几里得算法 \(exgcd\) 解线性同余方程即可得到 \(a \bmod b\) 的乘法逆元。

1.1 “1” 的逆元

\[1 \cdot 1^{-1} \equiv 1 (\bmod m)\ s.t.\ m > 1 \]

显然 \(\forall m > 1\) 有 \(1 \bmod m\) 的逆元为 \(1\) 。

1.2 逆元的运算法则

不难证明三个运算

\[\begin{aligned} a^{-1} \cdot a &\equiv 1 \\ a^{-1} \cdot b^{-1} &\equiv b^{-1} \cdot a^{-1} \\ a^{-1} \cdot b^{-1} &\equiv (ab)^{-1} \\ \end{aligned} \]

1.3 同余

设整数 \(m \equiv 0\) ，若 \(\exists m \mid (a - b)\) ，称作 \(a\) 同余于 \(b\) 模 \(m\) ，记作 \(a \equiv b (\bmod m)\) 。

没有特殊说明时认为 \(m\) 是正整数。在模 \(m\) 意义下的前提下，简写成 \(a \equiv b\) 或 \(a = b\) 。

否则称作 \(a\) 不同余于 \(b\) 模 \(m\) ，记作 \(a \not \equiv b (\bmod m)\) 。

1.3.1 整除

若存在整数 \(a, b, q\) 有 \(a q = b\) ，则称作 \(a\) 整除 \(b\) ，写作 \(a \mid b\) 。

否则称作 \(a\) 不整除 \(b\) ，写作 \(a \nmid b\) 。

1.3.1.1 整除的意义

若 \(a \mid b\) ，则称 \(a\) 为 \(b\) 的约数（因数、因子），\(b\) 为 \(a\) 的倍数。

否则 \(a\) 不为 \(b\) 的因子，\(b\) 不为 \(a\) 的倍数。

1.3.1.2 整除的性质

1. 传递性：若 \(a \mid b,\ b \mid c\) ，则 \(a \mid c\) 。
   证明： 若 \(\exists q_1\) 有 \(a q_1 = b\) ，\(\exists q_2\) 有 \(b q_2 = c\) ，则 \(\exists q_3 = q_1 \cdot q_2\) 有 \(a q_3 = c\) 。\(\square\)

2. \(a \mid b \Leftrightarrow a \mid -b\) 。
   证明： 若 \(\exists q\) 有 \(aq = b\) ，则 \(\exists q' = -q\) 有 \(aq' = b\) 。\(\square\)

3. 若 \(a \mid b,\ b \mid a\) ，则 \(b = \pm a\) 。
   证明： 若 \(aq_1 = b, bq_2 = a\) ，则 \(aq_1q_2 = a\) ，于是 \(q_1 = q_2 = \pm 1\) ，则 \(b = \pm a\) 。\(\square\)

4. 若 \(a \mid b,\ a \mid c\) ，则 \(a\) 整除 \(b, c\) 的线性表示。
   证明： 若 \(a q_1 = b,\ a q_2 = c\) ，则 \(a(q_1 x + q_2 y) = xb \pm yc\) ，则 \(a \mid xb + yc\) 。\(\square\)

5. 若 \(a \mid b + c\) 或 \(aq + c = b\) ，有若 \(a \mid b \Leftrightarrow a \mid c\) 。
   证明： 若 \(q a = b + c\) ，如果 \(\exists q_1,\ q_1 a = b \Leftrightarrow (q - q_1)a = c\) ，即如果有 \(a \mid b\) ，则 \(a \mid b \Leftarrow a \mid c\) 。\(\square\)

6. 若 \(a \mid b\) ，则 \(|a| \leq |b|\) 。
   证明： 若 \(a q = b\) ，则 \(\exists l > 0\) 有 \(|a| l = |b|\) ，则 \(|a| \leq |b|\) 。\(\square\)

7. 若 \(a \mid c,\ b \mid c,\ gcd(a, b) = 1\) ，则 \(ab \mid c\) 。
   证明：
   一种证明：若 \(a \mid c,\ b \mid c\) ，则 \(a, b\) 的质因子集的交集为空，由唯一分解定理 \(ab \mid c\) 。
   另一种证明：若 \(a \mid c,\ b \mid c\) ，则 \(lcm(a, b) \mid c\) 。又 \(gcd(a, b) = 1\) 则 \(lcm(a, b) = a b\) 于是 \(a b \mid c\) 。
   \(\square\)

8. 若 \(a \mid bc\) ，则 \(\frac{a}{gcd(a, b)} \mid c\) 。
   证明： 若 \(a \mid bc\) ，则 \(\frac{a}{gcd(a, b)} \mid \frac{b}{gcd(a, b)} c\) ，于是 \(\frac{a}{gcd(a, b)} \mid c\) 。\(\square\)
   特殊的，若 \(a \mid bc,\ s.t.\ gcd(a, b) = 1\) ，显然 \(gcd(a, c) = a\) ，有 \(a \mid c\) 。

9. 若 \(a \mid b c\ s.t.\ a \in P\) ，则 \(a \mid b\) 或 \(a \mid c\) 。
   证明： 若质数 \(a\ s.t.\ a \in P\) 在 \(bc\) 的因子集内，则 \(a\) 至少在 \(b\) 或 \(c\) 的质因子集内。\(\square\)

10. 若 \(a \mid b c\ s.t.\ gcd(a, b) = 1\) ，则 \(a \mid c\) 。
    证明： 若 \(gcd(a, b) = 1\) ，则 \(a \mid b\) 。又 \(a \mid b c\) ，则 \(a \mid c\) 。\(\square\)

1.3.1.3 取整相关

1. 定义：\(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\) 。\(\lfloor x \rfloor\) 称作 \(\leq x\) 的最大整数。
2. 定义：\(\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil\) 。\(\lceil x \rceil\) 称作 \(\geq x\) 的最大整数。
3. 定义\(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor\) 。\(\{x\}\) 称作 \(x\) 的分数部分。
4. \(\lfloor n + x \rfloor = n + \lfloor x \rfloor\ s.t.\ n \in N, x \in R\) 。
   证明：已知 \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\) ，于是 \(n + \lfloor x \rfloor \leq n + x < n + \lfloor x \rfloor + 1\) 。于是 \(n + \lfloor x \rfloor x\) 是 \(\leq n + x\) 的最大整数，于是有 \(n + \lfloor x \rfloor = \lfloor n + x \rfloor\) 。\(\square\)
5. \(\lceil n + x \rceil = n + \lceil x \rceil\ s.t.\ n \in N, x \in R\) 。
   证明：已知 \(\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil\) ，于是 \(n + \lceil x \rceil - 1 < n + x \leq n + \lceil x \rceil\) 。于是 \(n + \lceil x \rceil\) 是 \(\geq n + x\) 的最大整数，于是有 \(\lceil n + x \rceil = n + \lceil x \rceil\) 。\(\square\)
   注：可以提取整数，但显然不能提取正负号。
6. \(a - b < \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b \leq a\ s.t.\ b > 0\) 。（分数下取整转区间限制）
   证明：已知 \(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \leq \frac{a}{b} < \lfloor \frac{a}{b} \rfloor + 1\) ，于是有
   6.1) \(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor b \leq a\) 。
   6.2) \(a < \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b + b\) ，即 \(\frac{a}{b} b > a - b\) 。
   于是有 $ a - b < \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b \leq a$ 。\(\square\)
   然后可放缩成 \(a - b + 1 \leq \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b \leq a\ s.t. b > 0\) 。
7. \(a \leq \lceil \frac{a}{b} \rceil b < a + b\ s.t.\ b > 0\) 。（分数上取整转区间限制）
   证明：已知 \(\lceil \frac{a}{b} \rceil - 1 < \frac{a}{b} \leq \lceil \frac{a}{b} \rceil\) ，于是有
   7.1) \(\lceil \frac{a}{b} \rceil b - b < a\) ，即 \(\lceil \frac{a}{b} \rceil b < a + b\) 。
   7.2) \(a \leq \lceil \frac{a}{b} \rceil b\) 。
   于是有 \(a \leq \lceil \frac{a}{b} \rceil b < a + b\) 。\(\square\)
   然后可放缩成 \(a \leq \lceil \frac{a}{b} \rceil b \leq a + b - 1\ s.t.\ b > 0\) 。
   注 1 ：若 \(b < 0\) 按上述证明方式也可以推出某个两个公式。
   注 2 ：注意放缩过程中若存在浮点数比较，大于、小于号不能朝大于等于、小于等于号方向放缩。
8. 若 \(a \leq 0, b > 0\) ，\(l \leq a b \leq r \Rightarrow \frac{l}{b} \leq a \leq \frac{r}{b} \Rightarrow \lceil \frac{l}{b} \rceil \leq a \leq \lfloor \frac{r}{b} \rfloor\) 。（分数区间限制转取整）
   证明： 显然经过一步放缩可以得到。\(\square\)
9. 若 \(m > 0\) ，则 \(\lfloor \frac{a - 1}{m} \rfloor + 1 = \lceil \frac{a}{m} \rceil\) 。（ \(0\) 取整转上取整）
   证明： 令 \(a = km + t\ s.t.\ 0 \leq t \leq m - 1\) ，要证 \(\lfloor \frac{a - 1}{m} \rfloor + 1 = \lceil \frac{a}{m} \rceil\) ，则需证 \(\lfloor \frac{km + t - 1}{m} \rfloor + 1 = \lceil \frac{km + t}{m} \rceil\) ，则需证 \(k + \lfloor \frac{t - 1}{m} \rfloor + 1 = k + \lceil \frac{t}{m} \rceil\) 。
   当 \(t = 0\) ， \(-1 < \frac{0 - 1}{m} < 0\) 于是 \(\lfloor \frac{0 - 1}{m} \rfloor = -1\) ， \(\frac{0 + t}{m} = 0\) 。左边为 \(k + \lfloor \frac{0 - 1}{m} \rfloor + 1 = k - 1 + 1 = k\) ，右边为 \(k + \lceil \frac{0 + t}{m} \rceil = k\) 。等式成立。
   当 \(1 \leq t \leq m - 1\) ，\(0 \leq \frac{t - 1}{m} < 1\) 于是 \(\lfloor \frac{t - 1}{m} \rfloor = 0\) ，\(0 < \frac{t}{m} < 1\) 于是 \(\lceil \frac{t}{m} \rceil = 1\)。左边为 \(k + \lfloor \frac{t - 1}{m} \rfloor + 1 = k + 0 + 1\) 。右边为 \(k + \lceil \frac{t}{m} \rceil = k + 1\) 。等式成立。
   \(\square\)
10. 若 \(m < 0\) ，则 \(\lceil \frac{a - 1}{m} \rceil - 1 = \lfloor \frac{a}{m} \rfloor\) 。（ \(0\) 取整转下取整）
    证明： 令 \(a = km + t\ s.t.\ 0 \leq t \leq 1 - m\) ，要证 \(\lceil \frac{a - 1}{m} \rceil - 1 = \lfloor \frac{a}{m} \rfloor\) ，则需证 \(\lceil \frac{km + t - 1}{m} \rceil - 1 = \lfloor \frac{km + t}{m} \rfloor\) ，则需证 \(k + \lceil \frac{t - 1}{m} \rceil - 1 = k + \lfloor \frac{t}{m} \rfloor\) 。
    当 \(t = 0\) ，\(0 < \frac{0 - 1}{m} < 1\) 于是 \(\lceil \frac{0 - 1}{m} \rceil = 1\) ， \(\frac{0}{m} = 0\) 于是 \(\lfloor \frac{0}{m} \rfloor = 0\) 。左边为 \(k + \lceil \frac{0 - 1}{m} \rceil - 1 = k + 1 - 1\) ，右边为 \(k + \lfloor \frac{0}{m} \rfloor = k + 0\) 。等式成立。
    当 \(1 \leq t \leq 1 - m\) ， \(0 \leq \frac{t - 1}{m} \leq 1\) 于是 \(\lceil \frac{t - 1}{m} \rceil = 1\) ， \(-1 < \frac{t}{m} < 0\) 于是 \(\lfloor \frac{t}{m} \rfloor = -1\) 。左边为 \(k + \lceil \frac{t - 1}{m} \rceil - 1 = k + 0 - 1\) ，右边为 \(k + \lfloor \frac{t}{m} \rfloor = k + (-1)\) 。等式成立。
    \(\square\)
    注：令 \(x = a - 1\) 会得到另外两个公式，但在计算机实现中并不重要。因为计算机零取整的性质，确保了 \(m > 0\) 时使用下取整，\(m < 0\) 时使用上取整。
11. 若 \(m > 0\) ，\(\lfloor \frac{a}{m} \rfloor + \lfloor \frac{b}{m} \rfloor \leq \lfloor \frac{a}{m} + \frac{b}{m} \rfloor\) 。
    证明： 根据 \(\frac{a}{b}b + a \bmod b = a\) ，要证 \(\lfloor \frac{a}{m} \rfloor + \lfloor \frac{b}{m} \rfloor \leq \lfloor \frac{a + b}{m} \rfloor\) ，则需证 \(\frac{a - a \bmod m}{m} + \frac{b - b \bmod m}{m} \leq \frac{a + b - (a + b) \bmod m}{m}\) ，则需证 \(a \bmod m + b \bmod m \geq (a + b) \bmod m\) 。由模意义下的运算法则，当 \(m > 0\) 有 \(a \bmod m + b \bmod m \geq (a \bmod m + b \bmod m) \bmod m = (a + b) \bmod m\) 。\(\square\)
12. 若 \(m > 0\) ，\(\lceil \frac{a + b}{m} \rceil \leq \lceil \frac{a}{m} \rceil + \lceil \frac{a}{m} \rceil\) 。
    证明： 根据 \(\lceil \frac{a}{b} \rceil b - b + a \bmod b\) ，要证 \(\lceil \frac{a + b}{m} \rceil \leq \lceil \frac{a}{m} + \frac{b}{m} \rceil\) ，则需证 $ \frac{(a + b) + m - (a + b) \bmod m}{m} \leq \frac{a + m - a \bmod m}{m} + \frac{b + m - b \bmod m}{m}$ ，则需证 \((a + b) \bmod m \geq a \bmod m + b \bmod m - m\) ，由模意义下的运算法则，当 \(m > 0\) 有 \((a + b) \bmod m = (a \bmod m + b \bmod m) \bmod m \geq (a \bmod m + b \bmod m) - m\) 。\(\square\)
    注：若 \(m < 0\) ，用上述证明方式也可推得不等号要取反。

1.3.2 同余的性质

1. 自反性：\(a\) 同余于 \(a\) 模 \(m\) 。
   证明： 显然 \(m \mid (a - a)\) ，则 \(a \equiv a (\bmod m)\) 。\(\square\)

2. 对称性：若 \(a\) 同余于 \(b\) 模 \(m\) ，则 \(b\) 同余于 \(a\) 模 \(m\) 。
   证明： 若 \(a \equiv b (\bmod m)\) ，则 \(m \mid (a - b) = -(b - a)\) ，于是 \(m \mid (b - a)\) ，则 \(b \equiv a (\bmod m)\) 。\(\square\)

3. 传递性：若 \(a\) 同余于 \(b\) 模 \(m\) ，\(b\) 同余于 \(c\) 模 \(m\) 。
   证明： 若 \(a \equiv b (\bmod m), b \equiv c (\bmod m)\) ，则 \(m \mid (a - b), m \mid (b - c)\) ，于是 \(m \mid (a - b + b - c) = (a - c)\) ，则 \(a \equiv c (\bmod m)\) 。\(\square\)

4. 线性运算：若 \(a \equiv b (\bmod m),\ c \equiv d (\bmod m)\) ，则有
   1). \(a x + c y \equiv b x + d y (\bmod m)\)
   证明: 若 \(m \mid a - b,\ m \mid c - d\) ，则 \(m \mid x(a - b) + y (c - d) = ax + cy - bx - dy\) ，于是 \(a x + cy \equiv bx + d y (\bmod m)\) 。\(\square\)
   2). \(a \times c \equiv b \times d (\bmod m)\)
   证明: 若 \(m \mid a - b,\ m \mid c - d\) ，则 \(m \mid c (a - b) + b (c - d) = ac - bc + bc - bd = ac - bd\) ，于是 \(ac \equiv bd (\bmod m)\) 。注意可以结合同余方程的自反性。\(\square\)

5. 若 \(da \equiv db (\bmod m)\) ，则 \(a \equiv b (\bmod \frac{m}{gcd(m, d)})\) 。
   证明： 若 \(da \equiv db (\bmod m)\) ，则 \(\frac{d}{gcd(m, d) a \equiv \frac{d}{gcd(m, d)} b (\bmod \frac{m}{d})}\) ，于是 \(a \equiv b (\bmod \frac{m}{gcd(m, d)})\) 。\(\square\)
   这个性质的启发是，同余式两边可以同时乘以一个 \(d\) ，但是只能除去 \(gcd(m, d)\) 。
   推论：若同余式两边存在因子 \(d\) 满足 \(gcd(m, d) = 1\) ，则同余式可以免费提出 \(d\) 。
   证明： 这个推论可以用另一种方法证明，若 \(gcd(a, m) = 1\) ，则 \(a, m\) 没有公共质因子，于是对于方程 \(da \equiv db (\bmod m)\) ，由唯一分解定理有 \(a \equiv b (\bmod m)\) 。\(\square\)

6. 若 \(a \equiv b (\bmod m) \wedge d \mid m\) ，则 \(a \equiv b (\bmod d)\) 。
   证明： 若 \(m \mid a - b,\ d \mid m\) ，显然 \(d \mid a - b\) ，于是 \(a \equiv b (\bmod d)\) 。\(\square\)

1.4 线性同余方程

形如

\[ax \equiv b (\bmod m) \]

方程被称为线性同余方程。

\(ax \equiv b (\bmod m)\) 可以写作方程 \(ax + my = b\) 。

由裴蜀定理，方程有解的充要条件为 \(gcd(a, m) \mid b\) 。

1.4.1 裴蜀定理

裴蜀定理说明了对于任意不同时为 \(0\) 的整数 \(a, b\) 和它们的最大公约数 \(g\) ，关于未知数 \(x, y\) 的不定方程。

裴蜀定理：对于任意 \(a, b\) 为不同时为 \(0\) 的整数，有 \(\forall x, y\) 满足 \(gcd(a, b) \mid ax + by\) ，\(\exists x, y\) 满足 \(ax + by = gcd(a, b)\) 。

它的重要推论为：\(gcd(a, b) = 1 \ s.t.\ a \cdot b \neq 0 \Leftrightarrow \exists x,y,\ ax + by = 1\) 。

裴蜀定理 1 的证明：
由于 \(gcd(a, b) \mid a,\ gcd(a, b) \mid b\) ，显然有 \(gcd(a, b)\) 整除 \(a, b\) 的现行表示，即 \(gcd(a, b) \mid ax + by\) 。

裴蜀定理 2 的证明：
若 \(a, b\) 中有一个为 \(0\) ，\(gcd(a, b) \mid ax + by\) 显然成立。

若 \(a, b > 0\) 。设 \(a > b > 0,\ gcd(a, b) = g\) 。要证 \(ax + by = gcd(a, b)\) 有解，只需证 \(\frac{a}{g} x + \frac{b}{g} y = 1\) 有解，且显然解集相同。

令 \(a_1 = \frac{a}{g},\ b_1 = \frac{b}{g}\) ，构造有

\[\begin{aligned} a_1 x + b_1 y &= 1 \\ \lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor b_1 x + (a_1 \bmod b_1) x + b_1 y &= 1 \\ b_1 (\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor x + y) + (a_1 \bmod b_1) x &= 1 \end{aligned} \]

再令 \(a_2 = b_1, b_2 = (a_1 \bmod b_1)\) \(, x_1 = b_1 (\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor x + y),\ y_1 = x\) 。

则有 \(f(a_1, b_1, x, y) = f(b_1, a_1 \bmod b_1, x_1, y_1)\) ，可以递归执行。

当 \(a_n x_{n - 1} + 0 \cdot y_{n - 1} = 1\) ，此时有 \(gcd(a_n, 0) = 1\) ，显然此时 \(a_n = 1\) 且解得 \(x_{n - 1} = 1\) 。

可以定义一个 \(y_{n - 1}\) ，然后递归向上可以解得一组 \(x, y\) 。

\(\square\)

这部分构造性证明也被用来作为 \(exgcd\) 的步骤，并在递归结束时定义 \(x_{n - 1} = 1, y_{n - 1} = 1\) 。

裴蜀定理重要推论的证明：

正向：由裴蜀定理，若 \(gcd(a, b) = 1\) ，则 \(ax + by = gcd(a, b) = 1\) 有解。

逆向：由裴蜀定理，若 \(ax + by = 1\) 有解，则 \(gcd(a, b) \mid 1\) ，显然 \(gcd(a, b) = 1\) 。

\(\square\)

实现上，只解决裴蜀定理的重要推论，经过解集调整后可以解决任意线性同余方程。而裴蜀定理重要的是它的数学意义。

1.4.2 裴蜀定理推广（证略）

对于 \(n\) 个不全为 \(0\) 的整数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 。

1. \(\forall x_1, x_2, \cdots, x_n\) 有 \(gcd(a_1, a_2, \cdots, a_n) \mid a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n\)
2. \(\exists x_1, x_2, \cdots, x_n\) 有 \(a_1 x_2 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n = gcd(a_1, a_2, \cdots, a_n)\)

重要推论：不全为 \(0\) 的 \(n\) 个数有 \(gcd(a_1, a_2, \cdots, a_n) = 1 \Leftrightarrow \exists x_1, x_2, \cdots, x_n \ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1\)

1.5 欧几里得算法相关

基于欧几里德算法，可以得到多种算法和定理。

1.5.1 因数和倍数

\(\forall x \mid a\) 的集合 \(A_1\) 为 \(a\) 的因数集合，\(\forall y = a q\) 的集合 \(A_2\) 为 \(a\) 的倍数集合。

对于两个数 \(a, b\) ，\(A_1 \cap B_1\) 为 \(a, b\) 的公因数，\(A_2 \cap B_2\) 为 \(a, b\) 的公倍数。

特别的：
\(A_1 \cap B_1\) 的极大元为 \(a, b\) 的最大公因数，写作 \(gcd(a, b)\) 或 \((a, b)\) 。
\(A_2 \cap B_2\) 的极小元为 \(a, b\) 的最小公倍数，写作 \(lcm(a, b)\) 或 \([a, b]\) 。

一般对因数的研究更侧重于质因数和最大公因数。质因数分解唯一和最大公因数具有许多良好性质，常见于许多公式推导中。

一般倍数的研究侧重于最大公倍数。最常见的应用如：循环节长度的推导。

1.5.2 最大公因数和最小公倍数常见性质

通常认为 \(gcd(a, b) = a,\ s.t.\ a \neq 0\) 。

性质 1 （gcd 的唯一分解定理）：

\[gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) = p_1^{min\{e_{1_1}, e_{1_2}, e_{1_3}, \cdots, e_{1_m}\}} p_2^{e_{min\{e_{2_1}, e_{2_2}, e_{2_3}, \cdots, e_{2_m}\}}} p_3^{min\{e_{3_1}, e_{3_2}, e_{3_3}, \cdots, e_{3_m}\}} \cdots p_k^{min\{e_{k_1}, e_{k_2}, e_{k_3}, \cdots, e_{k_m}\}} \]

推论：gcd 的本质是质因子的交集
性质 2 ：\(gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b) c)\) 。（常见的递推性质）
证明：由唯一分解定理，则显然。\(\square\)
性质 3 ：\(gcd(a, b, c, d) = gcd( gcd(a, b), gcd(c, d) )\) 。（特殊情形下的分组性质）
证明：由唯一分解定理，则显然。\(\square\)
性质 4 ：\(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 提取掉 \(gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 后，\(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 质因子集的交集为空。且仍是整数。（常见于多种情形，公式化简、最强约束、使互质）
证明：由唯一分解定理，对 \(\forall p_x\) ，\(\exists a_i\) 的 \(e_x\) 被提掉，即 \(p_x\) 被提掉。于是所有数的质因子交集为空集。\(\square\)
推论：\(a, b\) 提调 \(gcd(a, b)\) 没有公共质因子。且仍是整数。
性质 5 ：\(1 \leq gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) \leq min(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k),\ max(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) \leq lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) \leq a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_k\) 。（gcd 和 lcm 的直观约束）
证明：由唯一分解定理，则显然。\(\square\)
性质 6 ：\(gcd(a, b) = gcd(b, a - b)\ s.t. a \geq b\) 。
证明：在欧几里得算法中将会证明。
性质 7 ：\(gcd(a, b)\) 的质因子集为 \(a, b\) 的公共质因子集。\(GCD_{i = 1}^{k} a_i\ s.t.\ k > 2\) 的质因子集为 \(a_i\) 的质因子交集而非公共质因子集。
这个性质意味着不是所有双元 gcd 都能扩展到高元 gcd 。
性质 8 ：\(d \mid a_1,\ d \mid a_2,\ d \mid a_2,\ \cdots,\ d \mid a_k \Leftrightarrow d \mid gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 。
一种证明：\(\forall i,\ d \mid a_i\) 即 \(d\) 是所有 \(a_i\) 的公因子。又由唯一分解定理，\(d\) 的多重质因子集包含于 \(gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 的多重质因子集，于是 \(d \mid gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 。反之若 \(d \mid gcd(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 的多重质因子集，则 \(d\) 是 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 的因子\(\square\)
另一种证明： 由裴蜀定理，\(g\) 的所有倍数 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 构成了的线性表示。又 \(d\) 整除 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 的所有线性表示，于是有 \(d \mid g\) 。\(\square\)

性质 1 （lcm 的唯一分解定理）：

\[lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k) = p_1^{max\{e_{1_1}, e_{1_2}, e_{1_3}, \cdots, e_{1_m}\}} p_2^{e_{max\{e_{2_1}, e_{2_2}, e_{2_3}, \cdots, e_{2_m}\}}} p_3^{max\{e_{3_1}, e_{3_2}, e_{3_3}, \cdots, e_{3_m}\}} \cdots p_k^{max\{e_{k_1}, e_{k_2}, e_{k_3}, \cdots, e_{k_m}\}} \]

推论：lcm 的本质是质因子的并集。
性质 2 （乘法意义的唯一分解定理）

\[a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_k = p_1^{\sum e_{1_i}} p_2^{\sum e_{2_i}} p_3^{\sum e_{3_i}} \cdots p_k^{\sum e_{k_i}} \]

性质 3 ：\(lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b) c)\) 。(常见的递推性质)
性质 4 ：\(lcm(a, b, c, d) = lcm( lcm(a, b), lcm(c, d) )\) 。(特殊情形下的分组性质)
性质 5 ：\(x \mid a_1, x \mid a_2, x \mid a_3, \cdots, x \mid a_k \Rightarrow x \mid lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 。
一种证明： \(x\) 属于 \(\forall a_i\) 的质因子集，则 \(x\) 属于 \(\forall a_i\) 的质因子并集。反之不成立。
另一种证明： 若 \(x \mid a_i\) ，由 \(a_i \mid lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) ，则 \(x \mid lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k)\) 。
\(\square\)
性质 6 ：\(x_1 \mid m, x_2 \mid m, x_3 \mid m,\cdots, x_k \mid m \Leftrightarrow lcm(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_k) \mid m\) 。
证明： \(\forall x_i\) 属于 \(m\) 的质因子集，则 \(\forall x_i\) 的质因子并集属于 \(m\) 的质因子集。反之若 \(\forall x_i\) 的质因子并集属于 \(m\) 的质因子集，则 \(\forall x_i\) 的质因子集属于 \(m\) 的质因子集。\(\square\)
性质 7 ：\(A = \{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\},\ \bigcup x_i \in A \Rightarrow lcm(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_m) \mid lcm(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n)\) 。
证明： 显然 \(A\) 的子集的质因子并集属于 \(A\) 的质因子并集。\(\square\)
性质 8 ：\(gcd(a, b) = 1 \Leftrightarrow lcm(a, b) = a b\) 。
证明： \(a, b\) 的公共质因子集为空，则 \(a b\) 的任意一个 \(p_x^{max\{e_{x_a}, e_{x_b}\}}\) 一定有一个为 \(0\) 而另一个非 \(0\) ，于是 \(p_x^{max\{e_{x_a}, e_{x_b}\}} = p_x^{e_{x_a} + e_{x_b}}\) 。\(\square\)
而超过两个数时 gcd 与公共质因子集无关，于是也没有上述性质。
性质 9 ：\(gcd(a, b) \cdot lcm(a, b) = a b\) 。
证明： 由唯一分解定理，\(a b\) 的任意一个 \(p_x\) 的系数 \(e\) 满足 \(e_x = max\{e_{x_a}, e_{x_b}\} + min\{e_{x_a}, e_{x_b}\}\) 。\(\square\)
显然若超过两个数则没有这种性质。

两个数讨论公共质因子，多个数讨论质因子交集。

1.5.2.1 模意义下的运算法则

模意义下运算法则定义：

1. \((a + b) \bmod m = (a \bmod m + b \bmod m) \bmod m\)

2. \((a \cdot b) \bmod m = (a \bmod m \cdot (b \bmod m)) \bmod m\)

3. \(\frac{a}{b} \bmod m = a \cdot b^{-1} \bmod m\)

1.5.2.2 模意义下的线性函数

模 \(m\) 意义下的形如

\[f(x) = ax + b \]

的数论函数，比较常见。

数论函数即定义域在整数上的函数，离散数学中的函数基本都是数论函数。

解的取值 \(f(x) \in [0, m - 1]\) ，令 \(f(x) \textbf{的集合为} S\) 。

1. \(|S| = \frac{lcm(a, m)}{a}\) 。
   证明： 设 \(g(x) = ax\) ，令 \(g(x) \textbf{的集合为} S'\) 。第一个 \(k\) 满足 \(g(k) \equiv g(0) (\bmod m)\) 时有 \(g(k) = lcm(a, m)\) ，于是 \(g(x)\) 在 \(x \geq 0\) 处有一个长度为 \(k = \frac{lcm(a, m)}{a}\) 的循环节。由于 \(\forall x \neq y \in [0, lcm(a, m) - 1]\) 有 \(g(x) \not \equiv g(y)\) ，由同余线性运算 \(\forall x \neq y \in [0, lcm(a, m) - 1]\) 有 \(f(x) \not \equiv f(y)\) ，于是 \(|S| = \frac{lcm(a, m)}{a}\) 。
   \(\square\)

   循环节：若 \(h(x)\) 在 \(x \geq v\) 处有一个长为 \(l\) 的循环节，则在 \(x \geq v\) 处任选长为 \(l\) 的区间，往左往右的连续段长为 \(l\) 的区间（如果不越界），解集一样。

2. \(\textbf{相邻} y \in S\) 差值 \(d = gcd(a, m)\) 。
   证明： 设 \(g(x) = ax\) ，令 \(g(x) \textbf{的集合为} S'\) 。显然有 \(gcd(a, m) \mid g(x_i) = ax_i - my\) 。可以构造性证明出，只有 \(g(x) = gcd(a, m) \cdot x\ s.t.\ x \geq 0\) 才满足 \(g(x)\) 在模 \(m\) 意义下有 \(|S'| = \frac{m}{gcd(a, m)} = \frac{lcm(a, m)}{a}\) ，且 \(\forall x,\ gcd(a, m) \mid g(x)\) 。于是 \(\textbf{相邻} y \in S'\) 差值 \(d' = gcd(a, m)\) 。在模 \(m\) 意义下线性偏移 \(b\) 后，有 \(\textbf{相邻} y \in \{ax + b\} = S\) 的差值为 \(gcd(a, m)\) 。\(\square\)

3. \(ax + b (\bmod m) \Rightarrow ((a \bmod m)x + (b \bmod gcd(a, m))) (\bmod m)\) 。
   证明：

   1. 根据模意义下的运算法则显然可以有 \(ax + b \equiv (a \bmod m)x + (b \bmod m)\) 。
   2. 已知解的差值为 \(gcd(a, m)\) ，则 \(b = b - l \cdot gcd(a, m) \geq 0 \Leftrightarrow b = b \bmod gcd(a, m)\) 。\(\square\)

1.5.3 欧几里得算法相关

重要性质1：\(gcd(a, b) = gcd(b, a - b)\ s.t.\ a \geq b\) 。
证明：
当 \(a = b\) ，显然 \(gcd(a, b) = gcd(b, 0) = a\) 。
当 \(a > b\) 。

1. 设 \(g_1 = gcd(a, b)\) ，则 \(g_1 \mid a,\ g_1 \mid b\) 。由线性关系有 \(g_1 \mid a - b\) 。于是 \(g_1 = gcd(a, b) \mid gcd(b, a - b)\) 。
2. 设 \(g_2 = gcd(b, a - b)\) ，则 \(g_2 \mid b,\ g_2 \mid a - b\) 。由线性关系有 \(g_2 \mid a\) 。于是 \(g_2 = gcd(b, a - b) \mid gcd(a, b)\) 。
   于是 \(gcd(a, b) = gcd(b, a - b)\) 。

当 \(a < b\) ，\(swap(a, b)\) 。\(\square\)

上述性质的证明，同时得到了一个得到最大公约数的算法，但并不非常关键。

这个算法叫做更相减损术，当 \(a, b\) 有一个为 \(1\) 时，最坏复杂度可以达到 \(O(max{a, b})\) 。

\(gcd(a, b) = gcd(b, a - b)\) 的其中一个关键作用，在于推出 \(gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)\) 。

推论：\(gcd(a, b) = gcd(b, a - k b)\ s.t.\ a \geq k b\) 。同理可以由线性关系证明。

于是得到了重要性质2：\(gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)\) 。

由重要性质 2 可得到一个求 \(gcd\) 的算法，此算法即辗转相除法，亦叫欧几里得算法。

\(gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)\) ，令 \(a_1 = b, b_1 = a \bmod b\) 并递归计算即可。不难发现 \(a_k \bmod b_k\) 会递减到 \(0\) ，此时 \(gcd(a_{k + 1}, b_{k + 1}) = gcd(a_{k + 1}, 0) = a_{k + 1}\) 。

时间复杂度分析：
若 \(a \geq 2 b\) ，显然 \(a \bmod b < b \leq \frac{a}{2}\) 。\(a\) 至少减少一半。
若 \(b \leq a < 2 b\) ，则 \(b > \frac{a}{2}\) ，于是 \(a \bmod b = a - b < \frac{a}{2}\) 。\(a\) 至少减少一半。
若 \(a < b\) ，\(gcd(b, a \bmod b) = gcd(b, a)\) 。即经过一次递归后即可 \(O(1)\ swap(a, b)\) 。

于是复杂度为 \(T(c \log max\{a, b\}) = O(\log max\{a, b\})\) 。

1.5.4 扩展欧几里得算法 exgcd 及应用

1.5.4.1 exgcd 的算法流程

令 \(g = gcd(a, b)\) 。

exgcd 算法用来求解方程

\[ax + by = g \]

由裴蜀定理，这种方程有解。

令 \(a_1 = \frac{a}{g},\ b_1 = \frac{b}{g}\) 。

执行过程中我们常求解

\[a_1 x + b_1 y = 1 \]

此时可以用裴蜀定理证明中的方法，构造性求解得到一组 \(x, y\) 。

并且在递归终止时会选取 \(x = 1, y = 0\) 。

利用 exgcd 得到的解最多经过一次调整可得到方程的最小非负解 \(x_0\) 。

时间复杂度分析的形式与 gcd 的分析完全相同，即时间复杂度为 \(O(\log max{a, b})\) 。

1.5.4.2 exgcd 算法的通解

令 \(gcd(a, b) = g\)

对于

\[ax + by = g \]

假设一组解是 \(x_0, y_0\) 。

根据四则运算法则，直观上可发现一个显然的约束 \(a(x_0 + t \cdot b) + b(y_0 - t \cdot a) = g\) 。

容易证明，对这个约束，提取 \(a, b\) 的因子将依旧成立。

根据最大公因子性质：\(a, b\) 提取掉最大公因子后不再有公因子。

于是直接提取最大公因子后可以得到一个最强的约束， \(a (x_0 + t \cdot \frac{b}{g} + b (y_0 - t \cdot \frac{a}{g}) = g)\) 。

于是 \(ax + by = g\) 的通解为

\[\begin{cases} x = x_0 + t \frac{b}{g} \\ y = y_0 - t \frac{a}{g} \\ \end{cases} \]

1.5.4.3 exgcd 算法的值域分析

对于 \(ax + by = g\) ，利用 \(exgcd\) 求解过程中，结束层之前的所有 \(x, y\) 满足 \(|x| \leq b,\ |y| \leq a\) 。

证明：

观察

\[\begin{aligned} ax + by &= g \\ a_1 x_1 + b_1 y_1 &= g \\ \end{aligned} \]

显然过程中 \(a, b \geq 0\) ，于是作为前提。

1. 当 \(a = 1, b = 0\) 。
   此时递归为结束层，我们会定义 \(x = 1, y = 0\) 。

2. 当 \(a = b\ s.t.\ b \neq 0\) ，递归会在下一层结束。
   此时有 \(b_1 = a \bmod b = 0, a_1 = 1\) ，定义 \(x_1 = 1, y_1 = 0\) 。
   由 \(x_1 = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor x + y,\ y_1 = x\) ，可得 \(x = y_1,\ y = x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1\) 。
   于是 \(x = 0, y = 1\) ，满足 \(|x| \leq b, |y| \leq a\) 。

3. 当 \(a \neq b\) 。
   此时我们设 \(x_1 \leq b_1, y_1 \leq a_1\) 。
   由 \(x = y_1 \leq a_1 = b\) ，有 \(|x| = |y_1| \leq |a_1| = |b|\) （已知 \(a,b \leq 0\)）。
   由 \(y = x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1\) ，有

\[\begin{aligned} |y| &= |x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1| \\ \textbf{由绝对值不等式} \\ &\leq |x_1| + |\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1| \\ &\leq b_1 + \lfloor \frac{a}{b} \rfloor |y_1| \\ &= a \bmod b + \lfloor \frac{a}{b} \rfloor |y_1| \\ &= a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b + \lfloor \frac{a}{b} \rfloor |y_1| \\ &= a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor (b - |y_1|) \\ &\leq a \end{aligned} \]

然后可以向上归纳。

由 \(1, 2, 3\) ，所有递归层都满足条件。

推论：由 exgcd 的通解与值域分析， exgcd 解出的解是一定最小但不一定非负的。

#绝对值不等式

\[\begin{aligned} ||a| - |b|| \leq |a + b| \leq |a| + |b| \\ ||a| - |b|| \leq |a - b| \leq |a| + |b| \\ \end{aligned} \]

证明：
通过几何向量的概念有
左边：两边之差小于第三边
右边：两边之和大于第三边
\(\square\)

1.5.4.4 用 exgcd 解决非平凡问题

ecgcd 真正在使用时往往解的是非平凡方程

\[ax + by = d \]

由裴蜀定理若 \(g \mid d\) 有解。

令 \(a_1 = \frac{a}{g},\ b = \frac{b}{g},\ d_1 = \frac{d}{g}\) ，等于解方程

\[a_1 x + b_1 y = d_1 \]

可以通过 \(exgcd\) 解出

\[a_1 x + b_1 y = 1 \]

的最小非负解 \(x^{'}_0\) 。通解为 \(x^{'} = x^{'}_0 + t \frac{b_1}{1} = x^{'}_0 + t \cdot b_1\)

然后原方程的最小非负解为 \(x_0 = x^{'}_0 \cdot (d_1 \bmod b_1) \bmod b_1\) 。

由一个显然的约束 \(a_1 (x + t \cdot \frac{b_1}{1}) + b_1 (y - t \cdot \frac{a_1}{1}) = d_1\) ，于是通解为 \(x = x_0 + t \frac{b_1}{1} = x_0 + t \cdot b_1\) 。

更明确地，两个未知数可以直接算出一个，另一个间接算出。

即有

\[\begin{cases} x = (x_0 \cdot d_1) \bmod b_1 + t \cdot b_1 \\ y = (d_1 - a_1 \cdot x_1) / b_1 \\ \end{cases} \]

或

\[\begin{cases} y = (y_0 \cdot d_1) \bmod a_1 + t \cdot a_1 \\ x = (d_1 - b_1 \cdot y_1) / a_1 \\ \end{cases} \]

在解同余方程时通常只关系一维情况，于是不关心 \(y\) 的结果。

但在针对二维问题时，\(y\) 的结果也将变得重要。

1.5.4.5 用 exgcd 解 ax - by = d

只需解 \(ax + by = d\) 得到 \(x_0\) ，于是 \(y_0 = \frac{ax - d}{b}\) 。

1.5.5 类欧几里得算法

类欧几里得算法是一类问题的解决方法，会在其他地方单独介绍。

1.5.6 gcd 与 同余方程 相关的几何问题

这是一类问题，在其他文章中提出。

1.6 CRT

对于一类方程组

\[\begin{cases} X \equiv a_1 (\bmod m_1) \\ X \equiv a_2 (\bmod m_2) \\ X \equiv a_3 (\bmod m_3) \\ \cdots \\ X \equiv a_k (\bmod m_k) \\ \end{cases} \]

若 \(\forall i, m_i\) 两两互质，则 \(X\) 在 \([0, \prod m_i - 1]\) 有唯一解。

证明：
解的存在性：
若两个方程有解，则由 EXCRT 可合并为一个方程。于是最终所有方程可合并，即方程组有解。

于是只需证两个方程有解。

若 \(gcd(m, n) = 1\) 且方程组。

\[\begin{cases} X \equiv a (\bmod m) \\ X \equiv b (\bmod n) \\ \end{cases} \]

有解。

则 \(\equiv p\) 有 \(X = a + p m\) 且 \(\equiv q\) 有 \(X = b + q n\) 。

• 引理：\(n\) 个数 \(a, a + m, a + 2m, \cdots, a + (n - 1)m\) 是 \(\bmod n\) 的完全剩余系。
  证明： 若 \(\exists 0 \leq i < j \leq n - 1\) 有 \(a + i m \equiv a + j m (\bmod n)\) ，则 \(n \mid (j - i) m\) 。由 \(gcd(n, m) = 1\) ，则 \(n \mid j - i\) 。又 \(1 \leq j - i \leq n - 1\) ，矛盾。于是可以断言这 \(n\) 个数 \(\bmod n\) 两两不同，由鸽巢原理，这 \(n\) 个数取遍 \(0 \sim n - 1\) ，即是 \(\bmod n\) 的完全剩余系。 \(\square\)

由引理，\(\exists 0 \leq p \leq n - 1\) 使 \(a + p m \equiv b (\bmod n)\) 有解。

有解时，令 \(X = a + p m\) ，于是 \(\exists p\) 有 \(b + q n = a + p m = X\) 。

\(\square\)

解的唯一性：

对于单个方程，显然除数除以被除数的余数小于被除数。

对于方程组，由 EXCRT ，方程组最终为 \(X \equiv a_1 + \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{i} m_j x_j (\bmod \prod_{i = 1}^{k} m_i)\) 。

显然在 \([0, \prod m_i - 1]\) 由唯一解 \(X_0\) 。
\(\square\)

CRT 的另一个构造性证明同时给出了 CRT 的算法。但CRT 在解同余方程组时不具有普适性，于是 CRT 的算法不需要掌握。

1.6.1 CRT 的意义

CRT 的意义在于描述同余方程的解是否存在。

启发式推论：

解同余方程

\[X \equiv a (\bmod m) \]

可以转化为解

\[\begin{cases} X \equiv a (\bmod p_1^{e_1}) \\ X \equiv a (\bmod p_2^{e_2}) \\ \cdots \\ X \equiv a (\bmod p_k^{e_k}) \\ \end{cases} \]

其中 \(m = \prod p_i^{e_i}\) ，即 \(m\) 的唯一分解。

证明：
考虑顺序合并方程组，前两个有 \(X = a + t_1 \cdot p_1^{e_1} = a + t_2 \cdot p_2^{e_2}\) ，不难得到 \(X = a + t \cdot lcm(p_1^{e_1}, p_2^{e_2})\) 。
继续合并有 \(X = a + t \cdot m\) ，于是方程组等价于 \(X \equiv a (\bmod m)\) 。
qed

这个启发式推论有一些常见典例。

1.6.2 EXCRT

对于方程

\[\begin{cases} X \equiv a (\bmod b) \\ X \equiv c (\bmod d) \\ \end{cases} \]

若 \(gcd(b, d) \mid (c - a)\) 则，由裴蜀定理上述方程组有解，且可以通过 EXCRT 合并为

\[X \equiv a^{'} (\bmod b^{'}) \]

EXCRT 的合并计算如下：

首先有

\[X = a + x \cdot b = c + y \cdot d \]

于是

\[bx - dy = c - a \]

只需解 \(x\) ，于是只需解

\[bx + dy = c - a \]

令 \(g = gcd(b, d),\ b^{'} = b / g,\ d^{'} = d / g,\ l = \frac{c - a}{g}\) 。由裴蜀定理若 \(l \not \in N\) 则无解。
于是只需解

\[b^{'} x + d^{'} y = l \]

此时可以通过 exgcd 解 \(b^{'} x + d^{'} y = 1\) 得到最小非负解 \(x^{'}_0\) 。于是求得原式的最小非负解为 \(x_0 = x^{'}_0 \times (l \bmod d^{'} / 1) \bmod d^{'} / 1\) 。

此时解集为 \(x = x_0 + t \cdot d^{'} / 1\) ，于是有

\[\begin{aligned} X &= a + b \cdot x \\ &= a + b \cdot (x_0 + t \cdot d^{'}) \\ &= a + b \cdot x_0 + t \cdot b \cdot d / g \\ &= a + b \cdot x_0 + t \cdot lcm(b, d) \end{aligned} \]

整理成同余方程为

\[X \equiv a + b \cdot x_0 (\bmod lcm(b, d)) \]

时间复杂度瓶颈由 exgcd 贡献，复杂度为 \(\log M\) （\(M\) 为值域）。

于是合并 \(n\) 个同余方程的时间复杂度为 \(n \log M\) 。

二 线性逆元

2.2.1 由带余整除法线性递推逆元

当保证 \(i \bmod m\) 有逆元。

在模 \(m\) 意义下，可以构造出 \(i^{-1}\) 可以被 \((m \bmod i)^{-1}\) 递推，只需从 \(m\) 除以 \(i\) 的带余整除法角度进行构造。

观察模 \(m\) 意义下， \(m\) 除以 \(i\) 的带余整除法：

\[\begin{aligned} &m \equiv \lfloor \frac{m}{i} \rfloor * i + (m \bmod i) \\ &0 \equiv \lfloor \frac{m}{i} \rfloor * i + (m \bmod i) \\ &\textbf{两边乘以} i^{-1} \times (m \bmod i)^{-1} \\ &0 \equiv \lfloor \frac{m}{i} \rfloor * (m \bmod i)^{-1} + i^{-1} \\ &i^{-1} \equiv - \lfloor \frac{m}{i} \rfloor * (m \bmod i)^{-1} \\ \end{aligned} \]

显然 \(m \bmod i \in [0, i - 1]\) 于是有递推式

\[i^{-1} = (m - \lfloor \frac{m}{i} \rfloor) \cdot (m \bmod i)^{-1} \]

初始化最小元 \(1^{-1} = 1\) 。

2.2.2 由阶乘线性处理逆元

上述两种做法作用相同，可以 \(O(n)\) 预处理出逆元然后 \(O(1)\) 使用。

三 欧拉定理

欧拉定理：若 \(gcd(a, b) = 1\) ，则 \(a^{\phi(b)} \equiv 1 (\mod b)\) 。

特殊的，若 \(gcd(a, b) = 1, b \in \mathop{Prime}\) ，则 \(a^{b - 1} \equiv 1 (\mod b)\) 。这也叫费马小定理。

3.1 欧拉函数

\[\phi(n) = \sum_{i = 1}^{n} [gcd(i, n) = 1] \]

代表 \(\leq n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

显然朴素计算时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ，这并不是欧拉函数最终的公式。

欧拉函数

\[\phi(n) = n \prod (1 - \frac{1}{p_i}) \]

$p1 < p2 < p3 \cdots $ 为 \(n\) 的所有质因子。

证明：
\(gcd(x, n) = 1\) 可以看作 \(x\) 和 \(n\) 互相没有对方的因子，于是 \(\leq n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数即可看作 \(\leq n\) 中不被 \(n\) 的质因子整除的数的个数。

由一个逆向思维，被 \(n\) 的质因子整除的数的个数显然更好求。即求 \(n\) 减去 \(1 \sim n\) 中被 \(n\) 的质因子整除的数的个数。

由容斥原理

\[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} [gcd(i, n) = 1] &=n - (\sum \frac{n}{p_i} - \sum \frac{n}{p_ip_j} + \sum \frac{n}{p_i p_j p_k} - \sum \frac{n}{p_i p_j p_k p_l} + \cdots) \\ &= n(1 - \sum \frac{1}{p_i} + \sum \frac{1}{p_ip_j} - \sum \frac{1}{p_i p_j p_k} + \sum \frac{1}{p_i p_j p_k p_l} + \cdots) \\ \textbf{由二项式定理逆用} \\ &= n \prod (1 - \frac{1}{p_i}) \\ \end{aligned} \]

\(\square\)

注意到若求

\[f(n, m) = \sum_{i = 1}^{m} [gcd(i, n) = 1] \]

的式子只能直接容斥，因为不保证 \(n = m\) ，不能套用二项式定理。

\(\varphi(n)\) 的时间复杂度与 \(n\) 的质因子有关，显然单次计算的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 。
、同时 \(\varphi(n)\) 可以被线性预处理并 \(O(1)\) 调用。

3.1.1 欧拉函数的计算

欧拉函数的计算与求逆元无关，但在此可以顺带说明。

3.1.1.1 单次欧拉函数计算

唯一分解定理：\(n \geq 2\ \in N_+\) 可以唯一分解为 \(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}\) ，\(p_1 < p_2 < \cdots < p_m\) 。\(p_i\) 是 \(n\) 的质因子，\(\alpha_i \geq 1\) 。

证明： 一个有趣的反证是，如果唯一分解定理不成立，那么存在一个 \(n\) 即被某个质数整除又不被它整除。\(\square\)

定理： \(n\) 的质因子最多只有一个因子 \(\sqrt{n}\) 。
证明：
存在性：构造性证明，\(\exists n\) 具有 \(> \sqrt{n}\) 的质因子。

选择 \(\forall p, q \in \mathop{P} \ s.t.\ p < q\) ，显然有 \(q > \sqrt{p \times p}\) 。

正确性： \(\forall n\) 中 \(> \sqrt{n}\) 的质因子数量 \(\leq 1\) 。

显然 \(\nexists n\) 有两个质因子 \(> \sqrt{n}\) ，否则 \(n > \sqrt{n}^2\) 。
\(\square\)

定理：任意 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}\) ，由上述定理有\(p_{m} \leq \sqrt{n}\) 或 \(p_{m} > \sqrt{n}\ \wedge \alpha_{m} = 1\) 。
这个定理可递推，于是有 推论：\(n' = p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_m^{\alpha_m}\) ，有 \(p_m \leq \sqrt{n'}\) 或 \(p_{m} > \sqrt{n'} \wedge \alpha_{m} = 1\) 。 显然这个推论是可逆的，即定理和推论是充分必要的。

根据上述推论，可以得到一个更强的结论：

对 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}\) 。

1. 若 \(\alpha_m > 1\) ，\(\alpha_m \leq \sqrt{n}\) ，这是显然的。

2. 若 \(\alpha_m = 1\) ，\(\alpha_m > \sqrt{n}\) 。
   证明：
   如果 \(n\) 是质数，显然 \(p_m > \sqrt{p_m}\) 。
   如果 \(n\) 不是质数，则 \(n\) 可以由 \(p_m\) 逆推得到，于是 \(p_m > \sqrt{n}\) 。
   qed

于是可以得到质因子分解算法：

枚举 \(2 \sim \sqrt{n}\) ，当枚举到一个 \(n\) 的因子 \(x\) ，由唯一分解定理 \(x\) 是 \(n\) 的质因子，让 \(n\) 除尽 \(x\) 的幂次得到 \(n'\) 。递推地枚举 \(x + 1 \sim n'\) ，便可得到质因子 \(p_1, p_2, \cdots, p_{m - 1}\) 。

最后有 \(n' = p_m^{\alpha_{m}}\) 。

若 \(\alpha_{m} > 1\) ，有 \(p_m \leq \sqrt{n'} = \sqrt{p_m^{\alpha_m}}\) ，于是 \(p_m\) 可以被得到。

若 \(\alpha_{m} = 1\) ，有 \(p_m > \sqrt{n'} = \sqrt{p_m}\) ，算法会被中断。

于是最后判断若 \(n' > 1\) ，则 \(n' = p_m\) ，此时 \(n'\) 需要加入质因子集。

在 \(n\) 的质因子分解过程中计算 \(\varphi(n)\) 即可。

时间复杂度：

复杂度不太好证明，显然比严格 \(\sqrt{n}\) 快不少。当 \(n\) 为素数，瓶颈是严格 \(\sqrt{n}\) ，不妨断言它与 \(\sqrt{n}\) 同阶。于是复杂度是 \(O(\sqrt{n})\) 的。

优化：
质因子分解算法，通常能提前筛出 \(\leq n\) 的质数，由质数定理，质因子分解算法将加速到 \(O(\sqrt{\frac{n}{\ln n}})\) 。
存在优化更好的质因子分解算法，但并不能达到线性。

3.1.1.2 线性筛欧拉函数

不难证明欧拉函数是一个完全积性函数。

证明：

当 \(a = 1,\ \varphi(a) = 1\) 。

当 \(gcd(a, b) = 1\) ，显然 \(a, b\) 没有公共质因子，于是 \(\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)\) 。

\(\square\)

在线性筛欧拉函数的过程中。

定义 \(p[x]\) 为 \(x\) 的最小质数。

初始化 \(\varphi(1) = 1\) 。

若遍历到 \(i\) 为质数，有 \(\varphi(i) = i - 1\) 。

利用质数 \(i\) 筛去以 \(i\) 为最小质数的合数，不妨定义 \(i\) 为 \(p_1\) 即最小质数：
若 \(p[j] < p_1\) ，显然 \(j\) 的最小质因子比 \(p_1\) 大，于是 \(gcd(j, p_1) = 1\) 。于是有

\[\varphi(p_i \times j) = (p_1 - 1) \times \varphi(j) \]

若 \(p[j] = p_1\) ，显然 \(j\) 的最小质因子是 \(p_1\) ，于是 \(p_1 \times j\) 的质因子集合和 \(j\) 的质因子集合相同，于是有：

\[\begin{aligned} \varphi(p_1 \times j) &= p_1 \times j \prod (1 - \frac{1}{p_k}) \\ &= p_1 \times (j \times \prod (1 - \frac{1}{p_k})) \\ &= p_1 \times \varphi(j) \end{aligned} \]

3.2 欧拉定理证明

证明：
前提为 \(gcd(a, b) = 1\) ，在 \(\bmod b\) 意义下考虑。

已经证明了欧拉函数的正确性，于是假设 \(x_1, x_2, \cdots, x_{\phi(b)}\) 为 \(\leq b\) 中与 \(b\) 互质的 \(\phi(b)\) 个数。

观察另外 \(\phi(b)\) 个数 \(a \cdot x_1, a \cdot x_2, \cdots , a \cdot x_{\phi{b}}\) ，得到两个性质。

1. \(\forall i\) 有 \(gcd(a \cdot x_i \bmod b, b) = 1\) 。
   证明 因为 \(a\) 和 \(x_i\) 都与 \(b\) 互质，即都没有 \(b\) 的因子，于是它 \(a \cdot x_i\) 也不会有 \(b\) 的因子，于是 \(gcd(a \cdot x_i, b) = 1\) ，于是 \(gcd(a \cdot x_i \bmod b, b) = 1\) 。\(\square\)

2. \(\forall i, j\) 有 \(a \cdot x_i \not \equiv a \cdot x_j\) 。
   证明： 考虑反证，假设 \(\exists i,j\) 有 \(a \cdot x_i \equiv a \cdot x_j\) ，则有 \(x_i \equiv x_j (\bmod \frac{b}{gcd(a, b)} = b)\) ，显然矛盾。\(\square\)

由 \(1, 2\) 可以证明 \(a \cdot x_1, a \cdot x_2, \cdots, a \cdot x_{\phi(b)}\) 在 \(\bmod b\) 意义下是 \(x_1， x_2, \cdots, x_{\phi(b)}\) 的一个排列。
于是

\[\begin{aligned} a^{\varphi(b)} \prod_{i = 1}^{\varphi(b)} x_i \equiv \prod_{i = 1}^{\varphi(b)} x_i \\ a^{\varphi(b)} \equiv 1 (\bmod b) \end{aligned} \]

\(\square\)

3.3 欧拉定理得到逆元

若 \(gcd(a, b) = 1\) ，根据欧拉定理有

\[\begin{aligned} &a^{\varphi(b)} \equiv 1 (\bmod b) \\ &a^{\varphi(b) - 1} \equiv a^{-1} (\bmod b) \\ \end{aligned} \]

离散数学中的 \(a^{-1}\) 即 \(a\) 的逆元。

通常题目保证 \(b\) 为 \(p\) 。于是保证了 \(a \in [0, p - 1]\) 一定有 \(gcd(a, b) = 1\) 。

于是有 \(a^{b - 2} \equiv a^{-1} (\bmod b) \ s.t.\ b \in \mathop{Prim}\) 。基于欧拉定理，便可使用快速幂得到逆元。

根据裴蜀定理也保证了 \(ax \equiv 1 (\bmod b)\) 一定有解。

3.4线性逆元和直接逆元的应用场景

线性逆元和直接求逆元各给出了两种方法。

线性逆元可以 \(O(n)\) 预处理出 \(1 \sim n\) 的逆元后以 \(O(1)\) 调用，直接逆元可以以 \(O(\log n)\) 求得。在 \(n\) 对时间复杂度的贡献不同时有不同选择。