Daimayuan Online Judge 线段树2

给 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 。
支持 \(q\) 个操作：

1. 1 x d ，修改 \(a_x = d\) 。
2. 2 l r ，查询 \([l, r]\) 中的最大子段和。

一：确定需要维护的信息。根据分治中线讨论，哪些信息可以合并出所需信息。递归讨论新信息如何合并。直至完全拆解。

1. 不越过分治中线：\([l, r]\) 的最大子段和，要么是 \([l, mid]\) 的最大子段和，要么是 \([mid + 1, r]\) 的最大子段和。
2. 越过分治中线：\([l, mid]\) 的最大后缀和 + \([mid + 1, r]\) 的最大前缀和。
3. 递归讨论 \([l, r]\) 的最大后缀和最大前缀如何维护：
   1. 不越过分治中线：\([l, r]\) 的最大后缀和为 \([mid + 1, r]\) 的最大后缀和；\([l, r]\) 的最大前缀和为 \([l, mid]\) 的最大前缀和。
   2. 越过分治中线：\([l, r]\) 的最大后缀和为 \([l, mid]\) 的最大后缀和 + \([mid + 1, r]\) 的和；\([l, r]\) 的最大前缀和为 \([mid + 1, r]\) 的最大前缀和 + \([l, mid]\) 的和。
   3. 递归讨论 \([l, r]\) 的和如何维护：
      1. \([l, r]\) 的和显然越过分治中线，为 \([l, mid + 1]\) 的和 + \([mid + 1, r]\) 的和。不再产生新信息。
4. 补充： \(update\) 时 \([l, r]\) 信息与 \([l, mid]\) 和 \([mid + 1, r]\) 的信息独立，不需要考虑 \([l, r]\) 信息更新的顺序。

struct Info {
	long long mss, mpre, msuf, s; // 最大子段和，最大前缀和，最大后缀和，区间和 
};

struct Node {
	Info f;
} seg[N * 4];

Info operator + (const Info &l, const Info &r) {
	Info ret;
	ret.mss = std::max({l.mss, r.mss, l.sufs + r.pres});
	ret.pres = std::max(l.mpre, l.s + r.mpre);
	ret.sufs = std::max(r.msuf, l.msuf + r.s);
	ret.s = l.s + r.s;
	return ret;
}

void update(int id) {
	seg[id].f = seg[ id * 2 ].f + seg[ id * 2 + 1 ].f;
}

二：完成主程序框架

int main() {
	int n, q;
	std::cin >> n >> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		int typ; std::cin >> typ;
		if ( typ == 1 ) {
			int x, d; std::cin >> x >> d;
			change(1, 1, n, x, d);
		}
		else {
			int l, r; std::cin >> l >> r;
			auto ans = query(1, 1, n, l, r);
			std::cout << ans.mss << '\n';
		}
	}
	return 0;
}

三：完成建树、查询、单点修改（实际上只有建树递归到点上初始化信息、单点修改递归到点上修改信息的代码有变化）

void build(int id, int l, int r) {
	if (l == r) {
		seg[id].f = {a[l], a[l], a[l], a[l]};
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		build( id * 2, l, mid );
		build (id * 2 + 1, mid + 1, r );
		update(id);
	}
}

Info query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
	if ( l == ql && r == qr ) {
		return seg[id].f;
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		if (qr <= mid) return query( id * 2, l, mid, ql, qr );
		else if (ql > mid) return query( id * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr );
		else return query( id * 2, l, mid, ql, mid ) + query( id * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, qr );
	}
}

void change(int id, int l, int r, int pos, int d) {
	if ( l == r ) {
		seg[id].f = {d, d, d, d};
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		if ( pos <= mid ) change( id * 2, l, mid, pos, d );
		else change( id * 2 + 1, mid + 1, r, pos, d );
		update(id);
	}
}

完整代码

view

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 200005;

int a[N]; 

struct Info {
	long long mss, mpre, msuf, s; // 最大子段和，最大前缀和，最大后缀和，区间和 
};

struct Node {
	Info f;
} seg[N * 4];

Info operator + (const Info &l, const Info &r) {
	Info ret;
	ret.mss = std::max({l.mss, r.mss, l.msuf + r.mpre});
	ret.mpre = std::max(l.mpre, l.s + r.mpre);
	ret.msuf = std::max(r.msuf, l.msuf + r.s);
	ret.s = l.s + r.s;
	return ret;
}

void update(int id) {
	seg[id].f = seg[ id * 2 ].f + seg[ id * 2 + 1 ].f;
}

void build(int id, int l, int r) {
	if (l == r) {
		seg[id].f = {a[l], a[l], a[l], a[l]};
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		build( id * 2, l, mid );
		build (id * 2 + 1, mid + 1, r );
		update(id);
	}
}

Info query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
	if ( l == ql && r == qr ) {
		return seg[id].f;
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		if (qr <= mid) return query( id * 2, l, mid, ql, qr );
		else if (ql > mid) return query( id * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr );
		else return query( id * 2, l, mid, ql, mid ) + query( id * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, qr );
	}
}

void change(int id, int l, int r, int pos, int d) {
	if ( l == r ) {
		seg[id].f = {d, d, d, d};
	}
	else {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		if ( pos <= mid ) change( id * 2, l, mid, pos, d );
		else change( id * 2 + 1, mid + 1, r, pos, d );
		update(id);
	}
}

int main() {
	int n, q;
	std::cin >> n >> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		int typ; std::cin >> typ;
		if ( typ == 1 ) {
			int x, d; std::cin >> x >> d;
			change(1, 1, n, x, d);
		}
		else {
			int l, r; std::cin >> l >> r;
			auto ans = query(1, 1, n, l, r);
			std::cout << ans.mss << '\n';
		}
	}
	return 0;
}