(一)欧拉函数
用途:对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
(二)欧拉定理
互质:若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质。
在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则:
a^[φ(n)]≡1 (mod n)
其中: φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数)
我们考虑这么一些数:
m1=a*x1; m2=a*x2; m3=a*x3 …… mφ(n)=a*xφ(n)
1)这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xR<n,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数。
2)这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么a*xi=pn+qr=r(……),a*xi与n不互质,而这是不可能的。那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n.
由1)和2)可知,数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
( 公式: a=b(mod n) <=> a+c=b+c(mod n)
<=> a-b=0 (mod n) )
或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}(mod n)≡0 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质,所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除,即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n),即a^[φ(n)]≡1 (mod n),得证。
(三)费马小定理
a是不能被质数p整除的正整数,则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单,由于p是质数,所以有φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p),因为a能被p整除时结论显然成立。
(四)费马大定理
n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
(五)中国剩余定理
中国剩余定理(CRT)的表述如下
设正整数两两互素,则同余方程组
有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为
其中,而
为
模
的逆元。
int CRT(int a[],int m[],int n) { int M = 1; int ans = 0; for(int i=1; i<=n; i++) M *= m[i]; for(int i=1; i<=n; i++) { int x, y; int Mi = M / m[i]; extend_Euclid(Mi, m[i], x, y); ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M; } if(ans < 0) ans += M; return ans; }
(六)鸽巢原理(抽屉原理)
鸽巢原理,又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。
其中一种简单的表述法为:
若有n个笼子和n+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种为:
若有n个笼子和kn+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。
如果要把n个物件分配到m个容器中,必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。(⌈x⌉大于等于x的最小的整数)
(七)容斥原理
容斥原理又称排容原理,在组合数学里,其说明若,
...,
为有限集,则
其中表示
的基数。例如在两个集的情况时,我们可以透过将
和
相加,再减去其交集的基数,而得到其并集的基数。
也可以写成:
- 特殊情况:
-
如果在容斥原理的概率形式中,交集AI的概率只与I中元素的个数有关,也就是说,对于{1, ..., n}中的每一个k,都存在一个ak,使得:
,对于每一个
则以上的公式可以简化为:
(八)欧几里得
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }
(九)扩展欧几里得
基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
证明:设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
代码实现:
递归:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }非递归:
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) { int x1,y1,x0,y0; x0=1; y0=0; x1=0; y1=1; x=0; y=1; int r=m%n; int q=(m-r)/n; while(r) { x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; x0=x1; y0=y1; x1=x; y1=y; m=n; n=r; r=m%n; q=(m-r)/n; } return n; }
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:
(1)求解不定方程;
(2)求解模线性方程(线性同余方程);
(3)求解模的逆元;
(1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:
对于不定整数方程ax+by=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到a * x+ b * y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,a * x+ b * y = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
x' = x0 + b/Gcd(a, b) * t
y' = y0 - a/Gcd(a, b) * t (其中t为任意整数) (也就是无数个解)
至于ax+by=c的整数解,只需将a * x+ b * y = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。
在找到a*x+ b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,应该是得到ax+by=c 的一组解为:
x'' = x0*(c/Gcd(a,b)),
y'' = y0*(c/Gcd(a,b))
ax+by=c的其他整数解满足:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; } bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=exgcd(a,b,x,y); ///d是gcd(a,b); if(c%d) return false; ///无解 int k=c/d; x*=k; y*=k; ///求得的只是其中一组解 也就是上面的x'',y''!!! return true; }
模线性方程组定理概述:
定理一:设d = gcd(a, n), 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny', 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足:、
x0 = x'(b / d)(mod n)
定理二:假设方程ax = b(mod n)有解, x0是方程的任意一个解, 则方程对模n恰有d个不同的解, 分别为: xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b(|表示整除)。且方程有解时,方程有gcd(a,n)个解。(这里由于规定同于方程组的解是同余类的个数,也就是在模m的一组完全剩余系中解的个数,术语有点多,还是有点懵!!!)
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ny=b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d|b,则方程
a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d,
y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax=b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x*(b/d)mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+i*(n/d))mod n {i= 0... d-1}。
设s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小正整数解为:(x%s+s)%s; 其中x为ax+by=b的解
相关证明:
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi=x0+i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子:
5x=4(mod3)
解得x=2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢?
如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减,得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设gcd(a,n)=d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d. (每个解之间的最小间隔)
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下:
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) ///求解模线性方程 { int x,y,x0,i; int d=exgcd(a,n,x,y); if(b%d) return false; x0=x*(b/d)%n; ///特解 这里解是取余的! for(i=1;i<d;i++) printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); ///一共gcd(a,n)=d个解,除了x0外的其他解 return true; }
(3)用欧几里德算法求模的逆元:
同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。
在这种情况下,如果 b== 1,也及时同余方程是 ax≡1 (mod n ),gcd(a,n)= 1的情况下。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
我们经常在做题时会看到这样一句话:由于答案较大,请输出答案mod m的结果。(其中m一般为一个大质数)
我们经常会使用以下几个等式:
(a+b)≡(amodm+bmodm)(modm)
(a−b)≡(amodm−bmodm+m)(modm)(a>b)
(a×b)≡(amodm×bmodm)(modm)
我们定义若
并且有
(十一)高斯消元
(十二)莫比乌斯
(十三)线性同余