多重背包（含二进制拆分）

 

今天终于整理完了堆积了好几天的多重背包了，一开始研究多重背包的时候开着解题思路很简单就是01背包稍微变化一下就行，但是我做了半天却是TimeLimited，查过之后才知道为了缩减时间开销需要二进制拆分，也没来得及弄，今天终于整理完了

 

多重背包就是变形的01背包，多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，只是把一样的物品拆分一下就好了，关键是一个叫二进制拆分的算法，感觉这个算法很好，在以后的时候能够用的着，所以有必要好好说说理解一下

把它的件数C 用分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C  的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释比如：

7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成7以内任意一个数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于13的数，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

 

 

案例：POJ 1014 dividing

一开始的没有用二进制拆分的算法，超时~~~

#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
 int a[6],count=1;
 int vol[20010],f[20010*6];
 while ( scanf("%d %d %d %d %d %d",&a[0],&a[1],&a[2],&a[3],&a[4],&a[5]))
 {
  if( a[0]==0 && a[1]==0 && a[2]==0 && a[3]==0 && a[4]==0 && a[5]==0 )
   break;
  int sum = a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5];
  if((a[0]+a[1]*2+a[2]*3+a[3]*4+a[4]*5+a[5]*6)%2)//如果总数为奇数，就直接判断
  {
   printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",count++); 
   continue;
  }
  int divideAllValue = (a[0]+a[1]*2+a[2]*3+a[3]*4+a[4]*5+a[5]*6)/2;
  int w=0;
  int i,j;
  
  for( i=0; i<=5 ;i++)
   for( j=1 ; j<=a[i] ; j++)//把这a[i]件物品全部放进数组中
    vol[w++] =  i+1 ;     

      memset(f,0,sizeof(f));

  for(i = 0 ; i < sum ; i++)  //遍历i件物品   
  {  
   for(j = divideAllValue ; j >=  vol[i] ; j--)  
   {  
    int tem = f[  j-vol[i]  ] + vol[i];  
    if( f[j] < tem )  
     f[j] = tem;       
   }  
   
  }
  if(f[divideAllValue]==divideAllValue)
   printf("Collection #%d:\nCan be divided.\n\n",count++);
  else
   printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",count++);
 }
 
 return 0;
}

 

 含二进制拆分的经典算法：

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
int a[6],allcase=1;
int vol[20010],f[20010*6];
int count;
void divide(){
 for(int i=0;i<6;i++)
 {
  for (int k=1; k<=a[i]; k<<=1) { //<<右移 相当于乘二   
   vol[count++] = k*(i+1);  
   a[i] =a[i] - k;  
  }
  if (a[i] > 0)  
            vol[count++] = a[i] * (i+1);    
  }
}
/*
for( i=0; i<=5 ;i++)
for( j=1 ; j<=a[i] ; j++)//把这a[i]件物品全部放进数组中
vol[w++] =  i+1 ;     

*/

int main ()
{
 
 while (scanf("%d %d %d %d %d %d",&a[0],&a[1],&a[2],&a[3],&a[4],&a[5]))
 {
  count = 0; 
  if( a[0]==0 && a[1]==0 && a[2]==0 && a[3]==0 && a[4]==0 && a[5]==0 )
   break;
  int sum = a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5];

  if(  (a[0]+a[1]*2+a[2]*3+a[3]*4+a[4]*5+a[5]*6)%2==1  )//如果总数为奇数，就直接判断
  {
   printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",allcase++);
   continue;
  } 
  int divideAllValue = (a[0]+a[1]*2+a[2]*3+a[3]*4+a[4]*5+a[5]*6)/2;
  int i,j;
  
  memset(f,0,sizeof(f));
        divide();

  for(i = 0 ; i < count ; i++)  //遍历i件物品   
  {  
   for(j = divideAllValue ; j >=  vol[i] ; j--)  
   {  
    int tem = f[  j-vol[i]  ] + vol[i];  
    if( f[j] < tem )  
     f[j] = tem;       
   }  
   
  }
  if(f[divideAllValue]==divideAllValue)
   printf("Collection #%d:\nCan be divided.\n\n",allcase++);
  else
   printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",allcase++);
  
 }
 
 return 0;
}