HLG 1126 Final Destination II （转化为矩阵）（水题）

题目很水，但是思想很重要

 

是递推啊......是递推啊......

没错真的是非常简单的递推，你没有判断错误!

你每次可以上1个台阶，上2个台阶，上3个台阶，给出n级台阶。问你有几种走法？

我强迫症范的时候，会一次上一个台阶，走错了，会重新走一遍。

那么递推公式非常简单的出来了：

an=an-1+an-2+an-3

当n=1的时候为1，当n=2的时候为2，当n=3的时候为4；

即a[1]=1,a[2]=2,a[3]=4;

当n的时候，将规模缩小到n-1，即最后一步走一个台阶，那么有a[n-1]种方法;

若最后一次走两个台阶，那么有a[n-2]种方法，最后一次走三个台阶,那么有a[n-3]种方法。

递推公式就这么出来了。

一般情况，我们都会使用数组存储，一次性算完，然后直接输出。显然，n的规模10^9

显然数组是做不到的。若是循环算的话，那时间想想也是醉了。

因此这里引入了一个新的方法，优化递推公式（应该只适用于一阶方程）:

 

/**本题为递推公式的优化**/
#include <iostream>
using namespace std;
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mod 1000000007
///递推公式为an=an-1+an-2+an-3
void mul(long long a[][3],long long b[][3])
{
    long long c[3][3];
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++){
            c[i][j]=0;
            for(int k=0;k<3;k++)
                c[i][j]+=((a[i][k]%mod)*(b[k][j]%mod))%mod;
        }
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            b[i][j]=c[i][j]%mod;
}
long long quickPow(long long n,long long a[][3],long long b[][3])
{
    while(n)
    {
        if(n&1)
            mul(a,b);
        n=n>>1;
        mul(a,a);
    }
    return b[0][0];
}
int main()
{
    long long T,k,n;
    scanf("%lld",&T);
    for(k=1;k<=T;k++)
    {
        scanf("%lld",&n);
        long long stairs[3][3]={4,0,0,2,0,0,1,0,0};///初始化更新还有什么清空的都要注意
        long long co[3][3]={1,1,1,1,0,0,0,1,0};
        printf("Case %lld:\n",k);
        switch(n){
        case 0:printf("1\n");break;
        case 1:printf("1\n");break;
        case 2:printf("2\n");break;
        case 3:printf("4\n");break;
        default:printf("%lld\n",quickPow(n-3,co,stairs));break;///注意这里的n-3
        }
       /* if(n==0)
            printf("1\n");
        else if(n == 1)
            printf("1\n");
        else if(n == 2)
            printf("2\n");
        else
            printf("%lld\n",quickPow(n-3,co,stairs));*/

    }
    return 0;
}