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点积和叉积

2013-02-23 15:43  三戒1993  阅读(408)  评论(0)  编辑  收藏  举报
点积：指数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数 R 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
叉积：也被称为矢量积、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
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定义：
点积：

两个(来自正交规范向量空间)向量 a = [a1, a2, … , an] 和 b = [b1, b2, … , bn] 的点积定义为:

mathbf{a}cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n

这里的 Σ 指示总和符号。

例如，两个三维向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的点积是

begin{bmatrix}1&3&-5end{bmatrix} cdot begin{bmatrix}4&-2&-1end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.

使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作 n×1 矩阵，点积还可以写为:

mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{a}^T mathbf{b} ,

这里的 aT 指示矩阵 a 的转置。

使用上面的例子，这将结果一个 1×3 矩阵(就是行向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量):

begin{bmatrix} 1&3&-5 end{bmatrix}begin{bmatrix} 4-2-1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 3 end{bmatrix}.
叉积：

两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：

mathbf{a}timesmathbf{b} = mathbfhat{n} left| mathbf{a} right| left| mathbf{b} right| sin theta

在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而 n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满足垂直的条件，那么 -n 也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，mathbf{c} = mathbf{a}timesmathbf{b}当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

给定直角坐标系的单位向量 i，j，k 满足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3]

则

a × b = [a2b3 ? a3b2, a3b1 ? a1b3, a1b2 ? a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

mathbf{a}timesmathbf{b}=det begin{bmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{bmatrix}

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

拉格朗日公式

  • 这是一个著名的公式，而且非常有用：
a × (b × c) = b(a · c) ? c(a · b),

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

begin{matrix} nabla times (nabla times mathbf{f}) &=& nabla (nabla cdot mathbf{f} ) - (nabla cdot nabla) mathbf{f} &=& mbox{grad }(mbox{div } mathbf{f} ) - mbox{laplacian } mathbf{f}. end{matrix}

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 Delta = d partial + partial d 的特殊情形。

  • 另一个有用的拉格朗日恒等式是：
|a times b|^2 + |a cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

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几何意义：

点积：

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| , |mathbf{b}| cos theta ;,

这里 |x| 表示 x 的范数（长度），θ 表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a 和 b 的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a 和 b 都是单位向量（长度为 1 ），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

cos{theta} = frac{mathbf{a cdot b}}{|mathbf{a}| , |mathbf{b}|}

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于 1 的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 mathbb{R}^n (n le 3)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

left langle mathbf{a}, mathbf{b} right rangle = sum_{i=1}^n a_ib_i

点积可以用来计算合力和功。若 b 为单位向量，则点积即为 a 在方向 b 的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

A ? B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) 是 A 到 B的投影。

叉积：

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。