UVA 11478 Halum（用bellman-ford解差分约束）
对于一个有向带权图，进行一种操作（v,d），对以点v为终点的边的权值-d，对以点v为起点的边的权值+d。现在给出一个有向带权图，为能否经过一系列的（v,d）操作使图上的每一条边的权值为正，若能，求最小边权的最大值。
不得不说，图论与动态规划的产物实在是神奇！！
1、既然是“最小值最大”问题，容易想到二分答案。
2、抽象出数学模型。这个在《训练指南》里写得已经很详细，鄙人还是以自己的理解表达一下。
这里有两处特别值得学习的地方。一、叠加：假设每个点都对应着一个（v,d）操作，那么对于边u->v来说，受到两个端点的影响，最终的权值为（c+du-dv）。二、抽象：这个没学过差分约束真心想不到。之前想到了二分答案，那么我们假设最终的“最小值最大”为x，那么所有边满足（c+du-dv）>=x，变形后(dv-du)<=(c-x)。由于是第一次做这种类型的题，无法妄下结论，但书上所说到的“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”，很明显，我们常用的的不等式是d[v]>=d[u]+w(u,v)。所以，这里先记住这个模型：形如xj-xi
<=b，建边i->j，边权为b。（提出疑问：若得到的模型为xi-xj>=b，变形后xj-xi<=-b => 建边i->j，边权为-b）。
至于书上说的"加源点s"，完全不知为何物= =。不过不妨碍我们做题。由于采用二分答案，边权c是变值，处理方式很直白的把所有的边-x，判完负环再做+x就好了。
为何判负环就可行呢？我们通过二分答案，改变b的值，每次都得到了一个的形如xj-xi<=b的不等式组，当不等式组不成立即说明当前二分的值不成立。举个例子：有个环1->2,2->3,3->1，对应的不等式x2-x1<=ca,x3-x2<=cb,x1-x3<=cc，若这是个负环，说明等式右侧（ca+cb+cc）<0，而等式左侧=0，为恒不等式。所以一旦存在负环，不等式组不成立，差分约束系统无解。
注意：
1、先做完特判，再处理其他数据，这点是通用的。（我一开始把判“No Solution”放在二分后面了，TLE。当然现在也不过是飘过时限= =）
判“Inf”，无环，就不会在同一个圈中两两影响。判“No”要用1而不能是0，因为最后求得是正数。
2、二分写得时候要注意，要绝对防止 l,r 在相邻两个数之间不变。e.g：第三组样例，l=3,r=4,x作为中间值，当x==3，成立=>l=x;当x==4,不成立=>r=x。死循环了（偶真是弱爆了，明明很简单的问题还要想半天）
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<queue> 4 #include<algorithm> 5 #define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a)) 6 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 7 using namespace std; 8 9 const int MAXN=555; 10 const int INF =1e8; 11 12 struct Edge{ 13 int u,v,c; 14 }; 15 16 int inq[MAXN],cnt[MAXN],d[MAXN]; 17 vector<Edge>edge; 18 vector<int>G[MAXN]; 19 20 void init(int n) 21 { 22 edge.clear(); 23 rep(i,1,n) 24 G[i].clear(); 25 } 26 27 void add(int u,int v,int c) 28 { 29 edge.push_back((Edge){u,v,c}); 30 int m=edge.size(); 31 G[u].push_back(m-1); 32 } 33 34 double build(int m) 35 { 36 int u,v; 37 int c,up=0; 38 rep(i,1,m){ 39 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 40 up=max(up,c); 41 add(u,v,c); 42 } 43 return up; 44 } 45 46 bool BF(int st,int n) 47 { 48 clr(inq,0); 49 clr(cnt,0); 50 queue<int>q; 51 rep(i,1,n){ 52 if(i==st)d[i]=0; 53 else d[i]=INF; 54 q.push(i); 55 } 56 while(!q.empty()) 57 { 58 int u=q.front();q.pop(); 59 inq[u]=false; 60 int sz=G[u].size(); 61 rep(i,0,sz-1){ 62 Edge e=edge[G[u][i]]; 63 if(d[e.v]>d[u]+e.c){ 64 d[e.v]=d[u]+e.c; 65 if(!inq[e.v]){ 66 q.push(e.v); 67 inq[e.v]=true; 68 if(++cnt[e.v]>n) 69 return true; 70 } 71 } 72 } 73 } 74 return false; 75 } 76 77 bool test(int n,int m,int x) 78 { 79 rep(i,0,m-1) 80 edge[i].c-=x; 81 bool flog=BF(1,n); 82 rep(i,0,m-1) 83 edge[i].c+=x; 84 return flog; 85 } 86 87 int main() 88 { 89 int T,n,m; 90 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 91 { 92 init(n); 93 int up=build(m); 94 95 if(!test(n,m,up+1)) 96 printf("Infinite\n"); 97 else if(test(n,m,1)) 98 printf("No Solution\n"); 99 else{ 100 int l=0,r=up; 101 while(l<r) 102 { 103 int x=l+(r-l+1)/2; 104 if(test(n,m,x)) 105 r=x-1; 106 else 107 l=x; 108 } 109 printf("%d\n",l); 110 } 111 } 112 return 0; 113 }
后记：
1、书上所说“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”指的是最短路的关系式，而不是松弛操作。表示从起点s->v的最短路恒<=s->u的最短路+w(u,v)。
2、根据不等式的变形，的确可以自由选择使用最长路还是最短路求解，但两种方法所得的答案不同，具体解释http://www.cnblogs.com/zstu-abc/p/3277305.html
