题解 [BZOJ4886] 叠塔游戏

题面

解析

这是个有趣的建图题啊.

首先我们可以发现,宽度严格递增是没什么用的.

因为实际上我们在旋转完以后,

矩形的顺序是可以随便排的.

因此只要保证宽度互不相同就行了.

然后,我们对长和宽离散化,对于每个值建一个点.

拿样例举个例子:

先把样例放出来:

3
5 16
10 5
5 10

然后建图(因为方便看所以没离散化):

接着,对于每个长,宽为\(a,b\)的矩形,

我们在\(a,b\)间连一条边.

那么图就成了这个亚子:

因为有两个矩形都是\((5,10)\),所以有两条边.

接着,我们定义边的方向是由宽到长.

这里的宽指的是与其它矩形相邻的边,而长是对答案的贡献

所以,矩形的旋转就成了边的定向.

而这样连边后有这样几条性质:

1. 每个点的出度最多为一.

   这是因为要保证宽都不同,所以每个数最多做一次宽.

2. 边数\(m\)小于等于点数\(n\).

   感性理解一下,因为每个边一定是一个点的出边,根据性质1就可证明.

3. 设\(i\)点的出度为\(d[i]\),价值为\(val[i]\),则每个点的贡献至少为\((d[i]-1)*val[i]\).

   这是因为每个点连的边表示它作为长或宽,而每个点最多做一次宽.

然后,我们再分析每个连通块,

当边数等于点数时,这显然是一棵基环树,

所以连通块里的点的贡献就为\(\sum\limits_i(d[i]-1)*val[i]\).

而当边数等于点数减一时,就成了一棵树,

而根节点的出度就为0.

所以我们只要取权值最大的点作为根就行了.

所以贡献为\(\sum\limits_i(d[i]-1)*val[i])+\max\limits_i(val[i])\)

用dfs统计每个连通块就行了.

但这里有一个神奇的操作,

对于一个连通块,我们设\(sum=\sum\limits_i(d[i]-2)\),

若\(sum<0\),则这是一颗树.

因为我们设点数为\(n\),

边数为\(\frac{1}{2}\sum\limits_id[i]\)(因为连的是双向边).

而\(sum=\sum\limits_id[i]-2n\)

就等于边数减点数*2.

而我们只需要比较大小就行了(所以不在乎*2);

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#define ll long long
#define fre(x) freopen(x".in","r",stdin),freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;

inline int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}

const int N=500001;
struct edge{int to,next;}e[N<<1];
int n,maxn,sum,ind[N],v[N];
int head[N],cnt=0;
int val[N],tot=0;
ll ans;
map <int,int> mp;

inline void add(int x,int y){
	ind[y]++;e[++cnt]=(edge){head[x],y};head[x]=cnt;	
}

inline void dfs(int x){
	if(v[x]) return ;v[x]=1;
	ans+=1ll*(ind[x]-1)*val[x];sum+=ind[x]-2;maxn=max(maxn,val[x]);
	for(int i=head[x];i;i=e[i].to) dfs(e[i].next);
}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read(),y=read();
		if(!mp[x]){mp[x]=++tot;val[tot]=x;}
		if(!mp[y]){mp[y]=++tot;val[tot]=y;}
		x=mp[x];y=mp[y];
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		if(v[i]) continue;
		maxn=sum=0;
		dfs(i);
		if(sum<0) ans+=maxn;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}