线段树

线段树

概述

线段树是一种非常【数据删除】的数据结构。

后略

基本操作

建树

略

单点修改

略

区间求和

略

单点查询

略

区间修改

lazy 标记

略

代码

略

其他操作

区间最值/区间乘

略

【数据删除】操作

一般这种线段树会有一个非常【数据删除】的 pushup。比如说，最基础的，维护区间最大字段和。

权值线段树

略

动态开点线段树

基本操作

略

哦，对了，写动态开点线段树不要忘记开点。

线段树合并

没啥，和 FHQ 像的很，放个代码。

int merge(int x, int y) {
	if (!x || !y) return x + y;
	tree[x].s += tree[y].s;
	tree[x].l = merge(tree[x].l, tree[y].l);
	tree[x].r = merge(tree[x].r, tree[y].r);
	return x;
}

线段树分裂

没啥，和 FHQ 挺像。

通常来讲，线段树分裂是分裂出权值线段树上的前 $k$ 个值。所以说就可以了。

void split(int x, int &y, int k) {
	if (!x) return;
	if (!y) y = ++tot;
	int val = tree[tree[x].l].s;
	if (val < k) split(tree[x].r, tree[y].r, k - val);
	else swap(tree[x].r, tree[y].r);
	if (val > k) split(tree[x].l, tree[y].l, k);
	tree[y].s = tree[x].s - k;
	tree[x].s = k;
}

杂七杂八的技巧

标记永久化

通常的区间修改需要下放标记，而标记永久化就是去掉下方标记的过程，在查询的时候顺便加上标记的值，这样就省去了下方标记的时间。

举个例子：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m, a[N];
struct node {
	int s, mark, lc, rc;
};
node tree[2 * N];
int tot = 0, root = 0;
void update(int &p, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (!p) p = ++tot; 
	tree[p].s += v * (y - x + 1);
	if (x == l && r == y) {
		tree[p].mark += v;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (y <= mid) {
		update(tree[p].lc, l, mid, x, y, v);
	} else if (x > mid) {
		update(tree[p].rc, mid + 1, r, x, y, v);
	} else {
		update(tree[p].lc, l, mid, x, mid, v);
		update(tree[p].rc, mid + 1, r, mid + 1, y, v);
	}
}
int query(int p, int l, int r, int x, int y, int ad) {
	if (!p) return 0;
	if (x == l && r == y) {
		return tree[p].s + ad * (y - x + 1);
	} 
	int mid = (l + r) / 2;
	if (y <= mid) {
		return query(tree[p].lc, l, mid, x, y, ad + tree[p].mark);
	} else if (x > mid) {
		return query(tree[p].rc, mid + 1, r, x, y, ad + tree[p].mark);
	} else {
		return query(tree[p].lc, l, mid, x, mid, ad + tree[p].mark) 
			 + query(tree[p].rc, mid + 1, r, mid + 1, y, ad + tree[p].mark);
	}
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m); 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]); 
		update(root, 1, n, i, i, a[i]);
	}
	while (m--) {
		int op, x, y, k;
		scanf("%lld%lld%lld", &op, &x, &y);
		if (op == 1) {
			scanf("%lld", &k);
			update(root, 1, n, x, y, k);
		} else {
			printf("%lld\n", query(root, 1, n, x, y, 0));
		}
	}
	
	return 0;
}