笛卡尔树

定义

笛卡尔树就是一种二叉树。笛卡尔树的每一个节点由一个二元组 $(k, w)$ 构成。要求 $k$ 满足二叉搜索树^[1]的性质， $w$ 满足堆^[2]的性质。当 $w$ 的值随机时，这就是一颗 Treap。

Treap 和笛卡尔树

Treap 是笛卡尔树中的一种，只不过 Treap 中的 $w$ 完全随机。或者说，Treap 是平衡的笛卡尔树。

如图这颗笛卡尔树把下标作为 $k$ ，把数组元素值作为 $w$ 。不难发现， $k$ 满足二叉搜索树的性质， $w$ 满足小根堆的性质。根据二叉搜索树的性质，可以发现这种笛卡尔树满足一棵子树内的下标时一个连续的区间。

建树

考虑按照下标将点依次插入到当前的笛卡尔树中。那么我们每次插入元素必然在这棵树右链的末端。假设我们维护的时小根堆。那么我们不妨把右链看作一个单调递增的单调栈，去把当前点插入到合适的位置，把比他大的点就作为他的左儿子。

代码实现

int n, a[N];
int st[N], head; // 维护单调栈
int ls[N], rs[N]; // 存储每个点的左儿子和右儿子
int main() {
	n = read(); 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = read();
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k = head;
		while (k && a[st[k]] > a[i]) k--; // 维护单调栈
		if (k) rs[st[k]] = i;
		if (k < head) ls[i] = st[k + 1];
		st[++k] = i;
		head = k;
	}
	
	return 0;
}

例题

P5854 【模板】笛卡尔树

根据给出的数组构建一颗笛卡尔树（二叉搜索树+小根堆）。设 $l_{i}, r_{i}$ 分别表示节点 $i$ 的左右儿子的编号（若不存在则为 $0$ ）。一行两个整数，分别表示 ${xor}_{i = 1}^{n} i \times (l_{i} + 1)$ 和 ${xor}_{i = 1}^{n} i \times (r_{i} + 1)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int read() {
	int x = 0; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return x;
}
const int N = 1e7 + 10;
int n, a[N];
int st[N], head;
int ls[N], rs[N]; 
signed main() {
	n = read(); 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = read();
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k = head;
		while (k && a[st[k]] > a[i]) k--;
		if (k) rs[st[k]] = i;
		if (k < head) ls[i] = st[k + 1];
		st[++k] = i;
		head = k;
	}
	int ans1 = 0, ans2 = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans1 ^= i * (ls[i] + 1);
		ans2 ^= i * (rs[i] + 1);
	}
	printf("%lld %lld\n", ans1, ans2);
	
	return 0;
}