Codeforces Round 982 (Div. 2)解题报告

Codeforces Round 982 (Div. 2)解题报告

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A

显然答案不会小于 $2(maxw+maxh)$。

构造方案学习样例一，挺明显的。

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B

有个小性质（好像没用）：一旦能通过操作变成 non-increasing，再对整个序列操作一次必然变为同一个数字。

我们把一开始 remove 的数字记为A类，通过操作删掉的记为B类，保留的记为C类。

枚举第一个C类的下标，那么它前面的都一定是A类（因为操作不可能删空一个序列），后面的比它大的也一定是A类，其余的是B类最优。预处理每个位置后面比它大的数字个数 $p_i$，答案就是 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}i-1+p_i$。

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C

加进来的零肯定动不了，问题变为每次选一个 $i$ 使得 $a_i+i-1=|a|$，得分和 $|a|$ 都增加 $i-1$，求最大得分。

由于 $|a|$ 单调不减，能供操作的 $i$ 一定是按照 $a_i+i-1$ 升序，而且 $|a|$ 增加类似转移，这提示我们往 DAG 想。每个点权值为 $b_i:=a_i+i-1$，连边到所有权值为 $b_i+i-1$ 的点。用虚拟点辅助连边，bfs即可。$O(n\log n)$

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D

简单的想法是DP，考虑 $f_{i,j}$ 表示 $a[1\cdots i]$ 已被消除，$b$ 序列到了 $j$ 的最小代价。则：

$$\begin{gathered} f_{i,j}\to f_{i,j+1}s.t.i<n \\ {f}_{i,j}+m-j\to f_{k,j}s.t.s_k-s_i\le b_j \end{gathered}$$

其中 $s$ 是 $a$ 的前缀和。

这样配合使用线段树转移， $j$ 为第一层循环，每层 $k$ 枚举的 $i$ 一定是一段区间，找一个区间最小值。时间复杂度 $O(nm\log n)$ 可以解决D1。

考虑D2求方案数，维护多一个 $g_{i,j}$ 以及线段树中维护最小 $f$ 对应的 $g$ 之和即可转移，时间复杂度不变。

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前四题均不超过蓝题水平，目测cf1900-。

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E1

游戏规则就是取石子，但是只能够取当前个数二进制下某子集个，且最多取 $a$ 个。关键算出 SG 值。

先考虑没有 $a$ 限制的情况，打表发现 $S{G}_i=popcount(i)$ 恒成立。数学归纳法证明如下：

$S{G}_0=0,S{G}_1=1$

若 $\mathrm{\forall }i<n,S{G}_i=popcount(i)$，则：

枚举 $n$ 的后继 $i$，$n-i$ 的 SG 即为 $n$ 某个子集的 popcount，且理所当然能够取遍 $0,1,\cdots ,popcount(n)-1$；至少取走一个，所以取不到 $popcount(n)$ 以上。得证。

考虑有 $a$ 限制时，发现 SG 只可能变小。

而且若 $a$ 最高位为第 $k$ 位，比 $k$ 大的位永远取不走，相当于不存在，直接不要了就行。随后看留下的数字 $x$(此时 $x$ 与 $a$ 位数相同)，如果 $x$ 小于等于 $a$，$x$ 怎么操作都不受 $a$ 影响，答案就是 $popcount(x)$。

于是只需要处理与 $a$ 位数相同且 $>a$ 的 $x$ 的 SG 值即可。

之后打表猜了几个规律例如： $a+lowbit(a)$ 以及依次迭代得到的所有 $a$ SG 值变成0，其它不变；偶数就先加一再开始。但都不是太对。

看题解：发现如果 $a$ 和 $x$ 某一位都是 0 那么就可以把这位删掉，$a$ 是 1 且 $x$ 是 0 等价于 $a$ 把这一位变成 0，后面全部变成 1。这样我们就能把 $x$ 变成 $2^k-1$ 的形式，只考虑 $a$ 这一个变量决定 SG 即可。打表容易发现规律(题解有)。

利用此规律求出每堆石子的 SG，E1可通过，时间复杂度 $O(n\log A)$

分析为什么我没有做出此题，一方面是对博弈论过于依赖打表，对题目性质分析不够；另一方面是对这里二进制的感觉有些偏颇，看到 $x\mathrm{\&}d=d$ 这种限制就往lowbit这种二进制方向猜结论，就被迷惑了。实际上题解思路更加看重对大小比较的限制，才有了同时删去 0 以及"等价于 $a$ 把这一位变成 0，后面全部变成 1"这样的关键分析。启发我们要对限制深入研究，总结自己推出来的小结论本质上究竟指向什么。

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E2

由于 SG 值有限，数位DP 即可求出每种 SG 的方案数，再异或卷积即可。

DP 大概就是记录当前 $x$ 到第几位，$a$ 删了几个 0，是否剩下全为1之类的，用于判断最后的SG。$O(n{\log }^{2}A)$

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