「ARC133E」Cyclic Medians 题解

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「ARC133E」Cyclic Medians

题目大意

给定 $n,m,V,A$，你需要计算所有长为 $n$、值域为 $[1,V]$ 的整数序列 $x$ 和长为 $m$、值域为 $[1,V]$ 的整数序列 $y$ 形成的序列对 $(x_{1,2,\dots,n},y_{1,2,\dots,m})$ 的价值和。

序列对 $(x_{1,2,\dots,n},y_{1,2,\dots,m})$ 的价值由如下过程定义：

• 令 $a=A$。
• 从 $0$ 到 $nm-1$ 枚举 $i$，每次让 $a$ 变成 $(a,x_{(i \bmod n)+1},y_{(i \bmod m)+1})$ 的中位数。
• 价值为 $a$ 最后的值。

答案对 $998244353$ 取模。

$1 \le n,m \le 2 \times 10^5,1 \le A \le V \le 2 \times 10^5$。

思路

套路：枚举 $i$，统计中位数 $> i$ 的方案数，加起来就是所有方案的中位数的总和。

我们可以枚举 $i$，然后将 $x$ 和 $y$ 中所有 $> i$ 的数设为 $1$，$\le i$ 的数设为 $0$，统计中位数 $> i$ 的方案数。

现在一次操作 $(a,x,y)$ 只有三种情况：$(a,0,0),(a,1,1),(a,0,1)$。

如果是 $(a,0,0)$，那么 $0 \to a$，如果是 $(a,1,1)$，那么 $1 \to a$，否则 $a$ 不变。

发现如果有 $x=y$ 的操作，那么 $a$ 的值就与 $A$ 无关了。

所以我们把有 $x=y$ 操作的情况和无 $x=y$ 操作的情况分开算。

对于有 $x=y$ 操作的情况，显然最后一次 $x=y$ 操作会决定 $a$ 最终的结果。

所以我们只需要统计最后一次 $x=y$ 操作满足 $x=y=1$ 的方案。

我们发现，因为我们的 $x$ 和 $y$ 是任意取，所以在 $k=t$ 时某次操作 $x=y=0$ 的方案数与 $k=V-t$ 时这次操作 $x=y=1$ 的方案数相等。也就是说，方案具有对称性。

所以我们只需要用总方案 $V^{n+m}$ 减去无 $x=y$ 操作的方案数，然后除以 $2$ 就是 $x=y=1$ 的方案。

现在考虑无 $x=y$ 操作的情况。

思考发现，如果 $\gcd(n,m)=1$，那么每个数 $p \in [1,n]$ 都会正好与每个 $q \in [1,m]$ 组成一次 $(a,x_p,y_q)$ 数对。

进一步发现，如果 $\gcd(n,m)=g$，那么一个数 $p=i_1+gt_1,i_1 \in [0,g),t_1 \in [0,\frac{n}{g})$ 只可能与所有数 $q=i_2+gt_2,i_2 \in [0,g),t_2 \in [0,\frac{m}{g})$ 组成数对。

所以必须满足 $\forall p,q,x_p \neq y_q$。

拆开其实就是三个条件：

• $x_{i+g}=x_{i+2g}=\cdots=x_{i+(\frac{n}{g}-1)g}$；
• $y_{i+g}=y_{i+2g}=\cdots=y_{i+(\frac{m}{g}-1)g}$；
• $x_i \neq y_i$。

那么分别计算 $(x_i,y_i)$ 取 $(0,1)$ 和 $(1,0)$，方案数为

$$k^{\frac{n}{g}}(V-k)^{\frac{m}{g}}+(V-k)^{\frac{n}{g}}k^{\frac{m}{g}}$$

因为 $i \in [0,g)$，所以还需要再进行 $g$ 次方。即

$$(k^{\frac{n}{g}}(V-k)^{\frac{m}{g}}+(V-k)^{\frac{n}{g}}k^{\frac{m}{g}})^g$$

然后将两种情况的答案加起来就做完了。时间复杂度 $O(V \log(n+m))$。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(ll i=(a);i<=(b);++i)
const ll N=1e6+10;
using namespace std;
const ll p=998244353;
ll ksm(ll a,ll b){ll bns=1;while(b){if(b&1)bns=bns*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return bns;}

ll n,m,k,A;

int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&A);
	ll ans=ksm(k,n+m);
	ll g=__gcd(n,m);
	For(i,1,k-1){
		ll t=ksm((ksm(i,n/g)*ksm(k-i,m/g)+ksm(k-i,n/g)*ksm(i,m/g))%p,g);
		if(A>i)ans=(ans+t)%p;
		ans=(ans+(ksm(k,n+m)-t+p)*499122177)%p;//499122177是2在模998244353下的逆元
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

尾声

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