「ARC133E」Cyclic Medians 题解

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「ARC133E」Cyclic Medians

题目大意

给定 \(n,m,V,A\)，你需要计算所有长为 \(n\)、值域为 \([1,V]\) 的整数序列 \(x\) 和长为 \(m\)、值域为 \([1,V]\) 的整数序列 \(y\) 形成的序列对 \((x_{1,2,\dots,n},y_{1,2,\dots,m})\) 的价值和。

序列对 \((x_{1,2,\dots,n},y_{1,2,\dots,m})\) 的价值由如下过程定义：

• 令 \(a=A\)。
• 从 \(0\) 到 \(nm-1\) 枚举 \(i\)，每次让 \(a\) 变成 \((a,x_{(i \bmod n)+1},y_{(i \bmod m)+1})\) 的中位数。
• 价值为 \(a\) 最后的值。

答案对 \(998244353\) 取模。

\(1 \le n,m \le 2 \times 10^5,1 \le A \le V \le 2 \times 10^5\)。

思路

套路：枚举 \(i\)，统计中位数 \(> i\) 的方案数，加起来就是所有方案的中位数的总和。

我们可以枚举 \(i\)，然后将 \(x\) 和 \(y\) 中所有 \(> i\) 的数设为 \(1\)，\(\le i\) 的数设为 \(0\)，统计中位数 \(> i\) 的方案数。

现在一次操作 \((a,x,y)\) 只有三种情况：\((a,0,0),(a,1,1),(a,0,1)\)。

如果是 \((a,0,0)\)，那么 \(0 \to a\)，如果是 \((a,1,1)\)，那么 \(1 \to a\)，否则 \(a\) 不变。

发现如果有 \(x=y\) 的操作，那么 \(a\) 的值就与 \(A\) 无关了。

所以我们把有 \(x=y\) 操作的情况和无 \(x=y\) 操作的情况分开算。

对于有 \(x=y\) 操作的情况，显然最后一次 \(x=y\) 操作会决定 \(a\) 最终的结果。

所以我们只需要统计最后一次 \(x=y\) 操作满足 \(x=y=1\) 的方案。

我们发现，因为我们的 \(x\) 和 \(y\) 是任意取，所以在 \(k=t\) 时某次操作 \(x=y=0\) 的方案数与 \(k=V-t\) 时这次操作 \(x=y=1\) 的方案数相等。也就是说，方案具有对称性。

所以我们只需要用总方案 \(V^{n+m}\) 减去无 \(x=y\) 操作的方案数，然后除以 \(2\) 就是 \(x=y=1\) 的方案。

现在考虑无 \(x=y\) 操作的情况。

思考发现，如果 \(\gcd(n,m)=1\)，那么每个数 \(p \in [1,n]\) 都会正好与每个 \(q \in [1,m]\) 组成一次 \((a,x_p,y_q)\) 数对。

进一步发现，如果 \(\gcd(n,m)=g\)，那么一个数 \(p=i_1+gt_1,i_1 \in [0,g),t_1 \in [0,\frac{n}{g})\) 只可能与所有数 \(q=i_2+gt_2,i_2 \in [0,g),t_2 \in [0,\frac{m}{g})\) 组成数对。

所以必须满足 \(\forall p,q,x_p \neq y_q\)。

拆开其实就是三个条件：

• \(x_{i+g}=x_{i+2g}=\cdots=x_{i+(\frac{n}{g}-1)g}\)；
• \(y_{i+g}=y_{i+2g}=\cdots=y_{i+(\frac{m}{g}-1)g}\)；
• \(x_i \neq y_i\)。

那么分别计算 \((x_i,y_i)\) 取 \((0,1)\) 和 \((1,0)\)，方案数为

\[k^{\frac{n}{g}}(V-k)^{\frac{m}{g}}+(V-k)^{\frac{n}{g}}k^{\frac{m}{g}} \]

因为 \(i \in [0,g)\)，所以还需要再进行 \(g\) 次方。即

\[(k^{\frac{n}{g}}(V-k)^{\frac{m}{g}}+(V-k)^{\frac{n}{g}}k^{\frac{m}{g}})^g \]

然后将两种情况的答案加起来就做完了。时间复杂度 \(O(V \log(n+m))\)。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(ll i=(a);i<=(b);++i)
const ll N=1e6+10;
using namespace std;
const ll p=998244353;
ll ksm(ll a,ll b){ll bns=1;while(b){if(b&1)bns=bns*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return bns;}

ll n,m,k,A;

int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&A);
	ll ans=ksm(k,n+m);
	ll g=__gcd(n,m);
	For(i,1,k-1){
		ll t=ksm((ksm(i,n/g)*ksm(k-i,m/g)+ksm(k-i,n/g)*ksm(i,m/g))%p,g);
		if(A>i)ans=(ans+t)%p;
		ans=(ans+(ksm(k,n+m)-t+p)*499122177)%p;//499122177是2在模998244353下的逆元
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

尾声

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