「AGC021E」Ball Eat Chameleons 题解

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传送门

「AGC021E」Ball Eat Chameleons

题目翻译

有 $n$ 只变色龙，一开始都是蓝色。

你会依次扔出 $k$ 个球，每次扔出都要指定一只变色龙吃掉这个球。扔出的球可以是红色或蓝色。

变色龙从蓝色变成红色当且仅当它吃的红球比蓝球多，从红色变成蓝色当且仅当它吃的蓝球比红球多。

求最后能使所有变色龙都变成红色的方案数，对 $998244353$ 取模。

两个方案不同当且仅当至少一次喂的球颜色不同。

思路

注意到，一条变色龙最终为红色只有两种情况：

1. 吃的红球比蓝球多。

2. 吃的红球和蓝球一样多，但吃的最后一个球是蓝球。

所以我们尝试分情况考虑。

我们设扔出的红球个数为 $R$，蓝球个数为 $B$，其中 $R+B=k$。

• $R < B$

  此时必定有变色龙吃的蓝球比红球多，所以一定无解。

• $R \ge B + n$

  让除第一条外的变色龙都只吃一个红球，那么剩下的球满足 $R' > B'$，全部丢给第一条变色龙就可以了，所以一定有解。答案为 $C_{R+B}^{R}$。

• $B \le R < B + n$

  • $R = B$

    此时只能让每条变色龙都吃相同数量的红球和蓝球。

    那么显然，合法方案的最后一个球一定为蓝球。

    所以其实可以等价于长度为 $n-1$，满足 $R'=R,B'=B-1$ 的合法方案数。

    这样我们就将 $R=B$ 转化为了 $B < R < B + n$ 的情况。

  • $B < R < B + n$

    我们有多出来的 $R-B$ 个红球，所以我们可以让 $R-B$ 条变色龙吃的红球比蓝球多。我们称这些变色龙为 $\text{I}$ 类变色龙。

    我们还剩下 $n-(R-B)$ 条 $\text{II}$ 类变色龙。我们可以如果可以选出这么多对红球+蓝球 的组合，分给每条 $\text{II}$ 类变色龙，然后将剩下的球全部给一条 $\text{I}$ 类变色龙就可以满足条件。

    但如果我们无法选出足够多对红球+蓝球 ，那么显然一定会有 $\text{II}$ 类变色龙无法变成红色，所以一定无解。

    综上可知，如果我们可以选出 $n-(R-B)$ 对红球+蓝球 的组合，则有解，否则一定无解。

    这其实与卡特兰数的模型很像。我们当前在 $(0,0)$，向右表示红球，向上表示蓝球，目标点是 $(R,B)$，而我们不能走到直线 $y=x+B-(n-(R-B))=x+R-n$ 的严格上方。

    那么我们通过组合数得到答案为 $C_{R+B}^{R}-C_{R+B}^{2R-n+1}$。

然后我们只需要枚举 $R$，通过组合数计算答案。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(ll i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(ll i=(a);i>=(b);--i)
#define pb push_back
const ll N=2e6+10;
using namespace std;
const ll p=998244353;
//组合数模板
ll ksm(ll a,ll b){ll bns=1;while(b){if(b&1)bns=bns*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return bns;}
ll jc[N],inv[N];
void init_C(ll n){jc[0]=jc[1]=1;For(i,2,n)jc[i]=jc[i-1]*i%p;inv[n]=ksm(jc[n],p-2);Rep(i,n-1,0)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;}
ll C(ll n,ll m){if(n<m)return 0;/*记得特判*/return jc[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;}

int main(){
	ll n,k;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	if(k<n){
		printf("0");
		return 0;
	}
	init_C(2*k);//组合数预处理
	ll ans=0;
	For(R,1,k){
		ll B=k-R;
		if(R<B)continue;
		if(R==B)B--;
		//R>=B+n也可以用这个公式，因为R-n>=B，所以2*R-n+1>=R+B+1，即后面的组合数返回0
		ans=(ans+C(R+B,R)-C(R+B,2*R-n+1)+p)%p;
	}
	printf("%lld",ans);
    return 0;
}

尾声

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