「集训队作业2018」串串划分 题解

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前言

本文中 $S[i,j]$ 表示取 $S$ 中 $i$ 到 $j$ 位置连接成的子串。

补充知识：本原平方串

定义：一个字符串 $S$ 是本原平方串，当且仅当其循环节长度为 $\frac{|s|}{2}$。

性质：字符串 $S$ 的子串中本原平方串的个数至多为 $n \log n$。

不会 $\text{Runs}$ 走这里，只需掌握求解 $\text{Runs}$。可以只读 "0. 初步的定义 & 约定" 和 "4. Runs 相关计算"。

纠正文章中一点，$\text{Runs}$ 用字符串 Hash 复杂度 $O(n \log n)$，只是常数大，建议用自然溢出 Hash 降低常数。

题目大意

给你一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，你需要将其划分成若干个不相交的非空连续子串 $s_1 s_2 \dots s_k$，满足以下条件：

1. 所有串拼接起来正好是原串。

2. 每个子串不循环。

3. 划分出的相邻子串不同。即对于每个 $1 \le i < k$，$s_i \neq s_{i+1}$。

一个字符串 $S$ 是循环的，即存在字符串 $T$ 和整数 $x$，使得 $T$ 重复 $x$ 次恰为 $S$。字符串 $S$ 不循环当且仅当它不是循环的。例如 "abab" 是循环的，"abcab" 是不循环的。

你需要计算有多少种不同的划分方式，对 $998244353$ 取模。

$1 \le n \le 2 \times 10^5$。

思路

本题显然是不能用公式直接计算的，所以考虑 dp。

限制 $1$ 很好处理，但是限制 $2,3$ 有些棘手。

可以发现，对于一个循环串（这里举循环节个数为 $2$ 的例子）$S=TT$，我们一定有两种不合法的划分 $S=TT$（不满足限制 $2$） 和 $S=T|T$（不满足限制 $3$）。其中 | 表示划分。

进一步可以发现，这涵盖了所有不合法情况。而且对于任意循环串，这样的划分一定成对出现。

$O(n^2)$ 做法

（两种做法较为独立，可以直接看正解）

我们可以设计一个权值，让这两种不合法情况互相抵消。

我们定义字符串 $S$ 的循环次数 $C(S)$ 为 $S$ 由其最小循环节循环几次形成。那么权值为 $F(S)=(-1)^{C(S)+1}$。这样正好可以让合法字符串权值为 $1$，又可以让不合法字符串的权值相互抵消。

这样处理之后，我们终于可以 dp 了。设 $f_i$ 划分 $i$ 次的划分方案。用上面设计的权值作容斥系数，可以列出如下方程：

$$f_i=\sum_{j=1}^{i-1} (-1)^{F(S[j+1,i])} \times f_j$$

但是这样最多做到 $O(n^2)$，因为需要处理 $F$ 函数。

$O(n \log n)$ 做法

实际上，进一步思考可以发现，循环节个数为 $2$ 的循环串（即本原平方串）产生的不合法情况其实已经涵盖了所有不合法情况。

我们知道，一个 $\text{Runs}(l,r,p)$ 中，令满足 $i = l + 2kp,i \le r,k \in \mathbb{Z}$ 的 $i$ 为关键点，那么相邻两个关键点之间就是一个本原平方串。

那么我们只需要找出所有的 $\text{Runs}(l,r,p)$，进而找到所有本原平方串的结尾与长度。定义 $f_i$ 为前 $i$ 个字符的划分方案数。转移时用总方案数减去以 $i$ 结尾的 $\text{Runs}$ 对应产生的不合法方案数即可。

具体计算时，需要用 $g_i$ 记录编号为 $i$ 的 $\text{Runs}$ 的所有本原平方串的贡献之和。

实现细节

注意数组大小，记录 Runs 的数组和 $g$ 数组需要 $3.6 \times 10^6$。

用自然溢出 Hash 降低常数。

如果常数实在太大，开 int 卡常，但要注意转成 long long 计算取模。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(ll i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(ll i=(a);i>=(b);--i)
const ll N=2e5+10;
const ll mod=998244353;
using namespace std;

ll n;
char a[N];

//字符串Hash
ll b[N],h[N];
void init(char a[],ll n){//Hash预处理
	b[0]=1;
	For(i,1,n){//自然溢出法（卡常）
		b[i]=b[i-1]*131;
		h[i]=(h[i-1]*131+a[i]-'a');
	}
}
ll Hash(ll l,ll r){//求Hash值
	if(l>r)swap(l,r);
	return h[r]-h[l-1]*b[r-l+1];
}

ll lcp(ll x,ll y){
	ll l=1,r=n-max(x,y)+1;
	while(l<=r){
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(Hash(x,x+mid-1)==Hash(y,y+mid-1))l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return r;
}
ll lcs(ll x,ll y){
	ll l=1,r=min(x,y);
	while(l<=r){
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(Hash(x-mid+1,x)==Hash(y-mid+1,y))l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return r;
}

ll ly[N];//从i开始的Lyndon串长度
ll tot;//Runs的个数
ll len[N*18];//Runs的长度（n*log n个Runs，不要开小了）
set<ll>vis;//Runs去重
vector<ll>tmp[N];
bool cmp(ll x,ll y){
	ll len=lcp(x,y);//lcp
	return a[x+len]<a[y+len];
}
void get_runs(ll opt){//opt=0是正向字典序，opt=1是反向字典序
	//求Lyndon数组
	Rep(i,n-1,1){
		ly[i]=i+1;
		while(ly[i]&&cmp(ly[i],i)==opt)ly[i]=ly[ly[i]];
	}
	//找Runs
	For(k,1,n-1){//枚举Lyndon循环节
		if(!ly[k])continue;
		ll x=k,y=ly[k];//循环节的左右端点
		ll t1=lcs(x,y),t2=lcp(x,y);//左右能够完全匹配的长度
		ll l=x-t1+1,r=y+t2-1,p=y-x;
		if(t1+t2>p&&vis.insert(r*1919810+l).second){//找到新的Runs
			for(ll i=l-1;i<l+2*p-1&&i+2*p<=r;++i){
				len[++tot]=p;//记录Runs的长度
				for(ll j=i+2*p;j<=r;j+=2*p)tmp[j].push_back(tot);//记录本原平方串的结尾
			}
		}
	}
}

ll f[N],g[N*18];//注意数组大小

void mian(){
	
	scanf("%s",a+1);
	n=strlen(a+1);
	init(a,n);//Hash预处理
	get_runs(0),get_runs(1);//两个字典序都跑一遍
	
	ll s=1;
	f[0]=1;
	For(i,1,n){
		f[i]=s;
		for(auto x:tmp[i]){//从以i结尾的本原平方串转移
			ll p=2*len[x];//本原平方串的长度
			g[x]=(g[x]+f[i-p])%mod;//统计对应Runs的答案
			f[i]=(f[i]-2*g[x]+2*mod)%mod;//减两次是因为产生两个不合法方案
		}
		s=(s+f[i])%mod;//前缀和，统计总方案数
	}
	printf("%lld",f[n]);
	
}

int main(){
	int T=1;
//	scanf("%d",&T);
	while(T--)mian();
	return 0;
}

尾声

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