「NOI2005」聪聪和可可 题解

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题目大意

$n$ 个点，$m$ 条路的无向图，猫在 $S$ 点，老鼠在 $T$ 点，假设每个时间节点猫先走。猫每个时间节点可以靠近老鼠走两步（最短路），如果一步就可以抓到老鼠，就走一步，如果有多条最短路，选择节点标号小的一条；老鼠等概率地选择去向相邻的点或停留。

求猫捉到老鼠的期望时间（注意不是步数）。

思路

$dp$ 求期望。

考虑 $dis[i][j]$ 表示猫在 $i$ 点，老鼠在 $j$ 点时，猫与老鼠间的距离，用 $bfs$ 求解。

用 $dp$ 做，所以定义 $f[i][j]$ 表示猫在 $i$ 老鼠在 $j$ 的期望步数，则：

• $i=j$ ，即 $dis[i][j]=0$ 直接可以抓到老鼠， $f[i][j]=0$ ；

• $dis[i][j] \le 2$ ，即走一步就可以抓到老鼠， $f[i][j]=1$ ；

• $dis[i][j]>2$ ，不能在一次选择中抓到老鼠，那么她抓到老鼠的期望就与老鼠所做的选择有关了。

因为 $E(ax+by)=a \times E(x)+b \times E(y)$ ，所以：

$f[i][j]= \frac{1}{in[j]+1} \times f[x][j] + \underset y \sum (\frac{1}{in[j]+1} \times f[x][y])$

$in[i]$ 表示 $i$ 连接的路的条数， $\frac{1}{in[j]+1}$ 表示老鼠行动的概率， $x$ 表示猫下一步的位置， $y$ 表示老鼠下一步的位置。

第一坨表示老鼠停留时的期望，第二坨表示老鼠走时的期望。

考虑到时间复杂度，使用记忆化搜索。

因此，代码出。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll int
const ll N=2020;
using namespace std;

ll n,m;
ll S,T;//猫和老鼠的起始点 
ll cnt,fir[N],nxt[N],v[N];//前向星 
ll in[N];//in[i]表示i连的边的条数 
ll dis[N][N];//dis[i][j]表示猫在i点，老鼠在j点时，猫与老鼠间的距离 
double f[N][N];//dp[i][j]表示猫在i老鼠在j的期望步数。
//不开double见祖宗！

void add(ll u1,ll v1){
	v[++cnt]=v1;
	nxt[cnt]=fir[u1];
	fir[u1]=cnt;
}

void bfs(ll s){//bfs求距离，s表示起点 
	queue<ll>q;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		ll x=q.front();
		q.pop();
		for(ll i=fir[x];i;i=nxt[i]){
			if(!dis[s][v[i]]&&v[i]!=s){
				dis[s][v[i]]=dis[s][x]+1;
				q.push(v[i]);
			}
		}
	}
}

double dfs(ll s,ll t){//记忆化搜索，s表示猫的位置，t表示老鼠的位置 
	if(f[s][t])return f[s][t];
	if(dis[s][t]==0)return 0;//直接可以抓到老鼠 
	if(dis[s][t]<=2)return 1;//走一步就可以抓到老鼠 
	f[s][t]=1;
	ll k=N,tmp=s;//k表示最小编号，tmp表示猫的位置 
	
	//猫的行动 
	//走一步 
	for(ll i=fir[tmp];i;i=nxt[i]){
		if(dis[t][v[i]]<dis[tmp][t]&&v[i]<k){//距离小且编号小 
			k=v[i];
		}
	}
	tmp=k,k=N;
	//再走一步
	for(ll i=fir[tmp];i;i=nxt[i]){
		if(dis[t][v[i]]<dis[tmp][t]&&v[i]<k){
			k=v[i];
		}
	}
	tmp=k;
	
	//老鼠的行动 
	for(ll i=fir[t];i;i=nxt[i]){
		f[s][t]+=1.0/(in[t]+1)*dfs(tmp,v[i]);//公式第二坨 
	}
	f[s][t]+=1.0/(in[t]+1)*dfs(tmp,t);//公式第一坨 
	return f[s][t];
}

int main(){
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%d%d",&S,&T);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll u1,v1;
		scanf("%d%d",&u1,&v1);
		add(u1,v1),add(v1,u1);
		in[u1]++,in[v1]++;
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)bfs(i);
	printf("%.3lf\n",dfs(S,T));
	
	return 0;
}

尾声

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