收集邮票 题解

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题目大意

有 $n$ 种不同的物品，每天可以买一个，物品随机，第 $i$ 天需要付 $i$ 元钱，求买到所有物品的期望钱数。

输入

一个数， $n$ 。

输出格式

期望要付多少钱，保留 $2$ 位小数。

思路

第 $i$ 天需要付 $i$ 元钱，考虑先求出期望需要多少天能买到所有物品。

设 $day[i]$ 为手中有 $i$ 种物品的期望天数。

考虑当前买了 $i$ 张物品，再买一个物品，有两种情况：

1. 有 $\frac{i}{n}$ 的概率买到重复的物品，此时仍只买到 $i$ 个物品；即 $\frac{i}{n} \times day[i]$

2. 有 $\frac{n-i}{n}$ 的概率买到没买过的物品，此后就已买到 $i+1$ 个物品。即 $\frac{n-i}{n} \times day[i+1]$

但是两种情况都多了一天，所以 $day[i] = \frac{i}{n} \times day[i] + \frac{n-i}{n} \times day[i+1] + 1$ 。

化简一下：

$day[i] = \frac{i}{n} \times day[i] + \frac{n-i}{n} \times day[i+1] + 1$

$\frac{n-i}{n} \times day[i] = \frac{n-i}{n} \times day[i+1] + 1$

$day[i] = day[i+1] + \frac{n}{n-i}$

初始 $day[n] = 0$ ，逆推求结果。

现在我们只有天数的期望，但是求的是钱数的期望。

1. 若买到重复的物品，往后推了一天，所以总价格要多 $day[i]$ 元，还要加上增加的 $1$ 元。即： $\frac{i}{n} \times ( f[i] + day[i] + 1 )$

2. 若买到没买过的物品，也往后推了一天，所以总价格要多 $day[i+1]$ 元，还要加上增加的 $1$ 元。即： $\frac{n-i}{n} \times ( f[i+1] + day[i+1] + 1 )$

所以 $f[i] = \frac{i}{n} \times ( f[i] + day[i] + 1 ) + \frac{n-i}{n} \times ( f[i+1] + day[i+1] + 1 )$

化简一下：

$$f[i] = \frac{i}{n} \times ( f[i] + day[i] + 1 ) + \frac{n-i}{n} \times ( f[i+1] + day[i+1] + 1 )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{i}{n} \times f[i] + \frac{i}{n} \times day[i] + \frac{i}{n} + \frac{n-i}{n} \times f[i+1] + \frac{n-i}{n} \times day[i+1] + \frac{n-i}{n}\\ \ \ \ \ \frac{n-i}{n} \times f[i] = \frac{i}{n} \times day[i] + \frac{n-i}{n} \times f[i+1] + \frac{n-i}{n} \times day[i+1] + 1\\ =\frac{i}{n-i} \times day[i] + f[i+1] + day[i+1] + \frac{n}{n-i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

初始 $f[n] = 0$ ，逆推求结果。

最后输出 $f[0]$ 。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll N=10010;
using namespace std;

ll n;//物品种数 
double day[N];//i种物品的期望天数 
double f[N];//i种物品的期望钱数 

int main(){
	
	cin>>n;
	for(ll i=n-1;i>=0;i--){//计算天数 
		day[i]=day[i+1]+n*1.0/(n-i);//公式 
	}
	for(ll i=n-1;i>=0;i--){//计算答案 
		f[i]=i*1.0/(n-i)*day[i]+n*1.0/(n-i)+f[i+1]+day[i+1];//公式 
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<f[0];
	
	return 0;
}

尾声

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