「国家集训队」单选错位 题解

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题目大意

试卷上共有 $n$ 道单选题，第 $i$ 道题有 $a_i$ 个选项，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

$A$ 全部做对，但抄错位了：每题都向后抄了一个位置，特别地，第 $n$ 道题目抄到了第 $1$ 道题目的位置。

$A$ 想知道自己期望能做对几道题目。

思路

数据范围 $n \le 10^7$ ，说明需要 $O(n)$ 的算法解决。

通过样例仔细观察后，我们可以发现，第 $i$ 题是否正确，只与第 $i-1$ 题的答案是否跟第 $i$ 题相同有关。

举个例子：

$a={2,3,1}$

对于第 $1$ 题和第 $2$ 题，正确答案的总情况数为 $a[1] \times a[2] = 6$ ，而两道题答案相同的只有 $min(a[1],a[2]) = 2$ 种。最终做对的概率为 $\frac{min(a[1],a[2])}{a[1] \times a[2]} = \frac{1}{3}$ 。

为什么要求最小值？

因为当第二题答案为 3 时，第一题答案不可能与它相同。所以相同情况数取决于它们的最小值。

由上可得：两道题的正确答案情况总数为 $a[i] \times a[i-1]$ ，两道题答案相等的情况有 $min(a[i],a[i-1])$ 种，所以答案需要加上一个 $\frac{min(a[i],a[i-1])}{a[i] \times a[i-1]}$ 。

化简一下：

$\ \ \ \ \ \frac{min(a[i],a[i-1])}{a[i] \times a[i-1]}$

$= \frac{1}{max(a[i],a[i-1])}$

注意，这里的 $min$ 变成了 $max$ 。

当 $min(a[i],a[i-1]) = a[i]$ 时，原式变为 $\frac{1}{a[i-1]}$ ；

当 $min(a[i],a[i-1]) = a[i-1]$ 时，原式变为 $\frac{1}{a[i]}$ 。

综合一下，就是 $\frac{1}{max(a[i],a[i-1])}$ 。

对于特殊情况只需要再加上 $\frac{1}{max(a[n],a[1])}$ 即可。

最终公式为：

$ans = \frac{1}{max(a[n],a[1])} + \underset{i = 2}{\overset{n}{\sum}} \frac{1}{max(a[i],a[i-1])}$

因此，代码出。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll int
const ll N=10000010;//1e7+10 
using namespace std;

ll n,A,B,C,a[N];
double ans;//答案 

int main(){
	
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		a[i]=((long long)a[i-1]*A+B)%100000001;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i]%C+1;
	
	for(ll i=2;i<=n;i++){//是2~n 
		ans+=1.0/max(a[i],a[i-1]);//公式 
	}
	ans+=1.0/max(a[n],a[1]);//特殊处理 
	printf("%.3lf",ans);//输出 
	
	return 0;
}

尾声

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