2021秋数分B1笔记

实数

〇、杂项

最小数原理：集合 $\mathbb{T} \sub \mathbb{N},\mathbb{T} \neq \varnothing$ ，那么 $\mathbb{T}$ 中有最小数。

证明：

构造集合 $\mathbb{S} = \{s\mid\forall t \in \mathbb{T}, s \leq t\}$

显然 $ 1 \in \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \varnothing$

又有 $\forall t \in \mathbb{T}, t + 1 \notin \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \mathbb{N}$

所以一定 $\exist s_0 \in \mathbb{S}， \ s_0 + 1 \notin \mathbb{S}$ （反证法，根据归纳公理显然）

下证 $s_0 \in \mathbb{T}$ ，考虑反证

若 $s_0 \notin \mathbb{T}$，又 $s_0 \in \mathbb{S}$，所以有 $\forall t \in \mathbb{T}, s_0 < t$，则有 $\forall t \in \mathbb{T}，s_0 + 1 \leq t \Rightarrow s_0 + 1 \in \mathbb{S}$ ，矛盾

故 $s_0 \in \mathbb{T}$ 且 $\forall t \in \mathbb{T}, s_0 \leq t$，$s_0$ 则为 $\mathbb{T}$ 中的最小数，最小数原理得证

一、域的定义

设 $\mathbb{F}$ 是集合，具有

加法 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x + y \in \mathbb{F}$
乘法 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x \cdot y \in \mathbb{F}$
$0$ 元 $\forall x \in \mathbb{F},\exist 0 \in \mathbb{F}, 0 + x \in x$
单位元 $\exists 1 \in \mathbb{F}, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x$
负元 $\forall x \in \mathbb{F}, \exist -x \in \mathbb{F}, x + (-x) = 0$
满足交换律，结合律，交换律

则称 $\mathbb{F}$ 为一个域

二、有序域

设 $\mathbb{F}$ 是一个域，若满足 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x < y, x > y, x = y$ 有且仅有一种成立，则 $\mathbb{F}$ 有序，称为有序域

复数域 $\mathbb{C}$ 不是有序域，复数的乘法运算与有序的定义不兼容

三、有界的定义

设 $\mathbb{E} \sub \mathbb{F}$ ，若 $\exists \beta \in \mathbb{F},\forall \alpha \in \mathbb{E}$ ，有 $\alpha \leqslant(\geqslant) \beta$，则称 $\beta$ 是 $\mathbb{E}$ 的上（下）界

四、确界的定义

若 $\mathbb{E} \sub \mathbb{F}$ 有上界，若在 $\mathbb{F}$ 中 $\mathbb{E}$ 有最小（大）的上（下）界，则称为上（下）确界，记为 $\sup \mathbb{E} \in \mathbb{F}$ 或者 $\inf \mathbb{E} \in \mathbb{F}$

五、确界原理

若 $\mathbb{F}$ 中任意有上（下）界子集 $\mathbb{E}$ 在 $\mathbb{F}$ 中一定有上（下）确界，则称 $\mathbb{F}$ 满足上（下）确界原理

定理：若 $\mathbb{F}$ 满足上确界原理，则 $\mathbb{F}$ 满足下确界原理

证明：

设 $\mathbb{F}$ 满足上确界原理，要证 $\forall \mathbb{E} \sub \mathbb{F}$，$\mathbb{E}$ 有下界则一定有下确界

构造 $\mathbb{E}^\prime = \{\beta\mid\beta$是 $\mathbb{E}$ 的下界$\} \sub \mathbb{F}$

定理：存在满足确界原理的有序域

且以 $\mathbb{Q}$ 为其子集的有序域记为 $\mathbb{R}$ ，称为实数域

构造性证明 $\text{Dedekind}$ 分割（摘自知乎，侵删）：

假设我们只知道有理数。我们把所有有理数按如下要求装入集合 $A$ 和 $A'$：

任一有理数必属于 $A, A'$ 之一；

$A'$ 中的每一个有理数都大于 $A$ 中的有理数。

这样操作的对有理数全集的分划 $A|A'$ 就称为 $\text{Detekind}$ 分割。

显然在此划分下就会出现三种情况：

$A$ 中有最大数，$A'$ 中无最小数；

$A$ 中无最大数，$A'$ 中有最小数；

$A$ 中无最大数，$A'$ 中也无最小数。

前两种情况属于存在“界数”的情况，为了明确起见，我们约定，若某个分割存在“界数”，就总把这个“界数”放在 $A'$ 中，于是可以将这两种情况归并为一种；至于第三种情况，则属于不存在“界数”的情况。

如此，每一个 $\text{Detekind}$ 分割都唯一地定义了一个实数：有界数的，就是定义了这个作为界数的有理数；无界数的，则定义了某个不属于有理数的新数，我们称之为无理数。

容易推知，实数就和 $\text{Detekind}$ 分割形成双射关系，每一个实数对应一个分划，不同的实数对应不同的分划。

六、实数的特点 $\begin{cases}①与数轴上的点一一对应\\②不可数\end{cases}$

① $\text{Archimedes}$ 原理：

$\forall x, y \in \mathbb{R}$，若$x > 0,y > 0$，则 $\exist n \in \mathbb{N}$，使得 $nx > y \geqslant (n - 1)x$

② $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密：

$\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y$，一定 $\exists z \in \mathbb{Q},$ 使得 $x < z< y$

$\text{Archimedes}$ 原理证明：

设 $\mathbb{E} = \{nx\mid n \in \mathbb{N}\} \sub \mathbb{R}$

（反证）假如对 $\forall n,nx \leqslant y \Rightarrow y $ 是 $\mathbb{E}$ 上界 $\Rightarrow \mathbb{E}$ 有上确界

记 $\alpha = \sup \mathbb{E} \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha - x < \alpha \Rightarrow \alpha - x$ 不是 $\mathbb{E}$ 的上界

$\exists mx \in \mathbb{E}$，使得 $\alpha - x < mx \Rightarrow \alpha < (m + 1)x \in \mathbb{E}$ 矛盾

所以 $\exists n_0$ 使得 $n_0x > y$

$\mathbb{S} = \{n \mid nx > y\} \neq \varnothing$

$\exists$ 最小的 $n$，$nx > y \geqslant (n - 1)x$

通过 $\text{Archimedes}$ 原理证明两实数间存在另一有理数：

$\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y \Rightarrow y - x > 0$

根据 $\text{Archimedes}$ 原理，$\exists n$，使得 $n(y - x) > 1 \Rightarrow ny > 1 + nx$

再对 $1$ 和 $nx$ 应用 $\text{Archimedes}$ 原理

$\exists m$ 使得 $m \cdot 1 > nx \geqslant (m - 1) \cdot 1 \Rightarrow mx < m \leqslant nx + 1 < ny$

$\Rightarrow x < \frac{m}{n} < y$，$\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$

七、无限小数

$\forall x > 1, x \in \mathbb{R}$

根据 $\text{Archimedes}$ 原理，$\exists a_0 \in \mathbb{N},a_0 \leqslant x < a_0 + 1$

同上，$\exists a_1 \in \mathbb{N}, a_1 \leqslant 10(x - a_0) < a_1 + 1(0 \leqslant a_1 \leqslant 9)$

$\Rightarrow a_0 + \frac{a_1}{10} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + 1$

以此类推：$a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} + 1$

数列

一、数列极限

数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 可看成 $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 的一个映射。

二、数列极限的定义

设 $\{ a_n \}$ 是实数数列，$a \in \mathbb{R}$

对于 $\forall \varepsilon > 0$，若 $\exists N$，使得 $\forall n > N$，$|a_n - a| < \varepsilon$，则称 $a$ 是 $\{a_n\}$ 的极限，记作 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ 或 $a_n \to a(n \to \infty)$

若 $\exists \varepsilon_0 > 0$，对 $\forall N$，$\exists n > N$，但是 $|a_n - a| \geqslant \varepsilon_0$，那 $a$ 就不是 $\{a_n\}$ 的极限

三、性质 $\begin{cases}① 唯一性，改变有限项不影响敛散性 \\②收敛必有界\ 保序性\\③四则运算（下文略）\\④夹逼定理（下文略）\end{cases}$

设 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ 唯一。

证明：

考虑反证，若有两个极限，分别记为 $a, b(a < b)$，取 $\varepsilon_0 = \frac{|a - b|}{2}$

根据极限的定义，$\exists N_1,n > N_1$ 时有 $|a_n - a| < \varepsilon_0$，$\exists N_2,n > N_2$ 时有 $|a_n - b| < \varepsilon_0$

取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，当 $n > N$ 时

$\begin{aligned}|a - b| & = |a - a_n + a_n - b| \\ & \leqslant |a - a_n| + |a_n - b| \\& < 2\varepsilon\end{aligned}$

矛盾
改变 $\{a_n\}$ 的有限项，不改变 $\{a_n\}$ 的敛散性

不妨设 $a_n \to a (n \to \infty)$ ，改变有限项的值后，依然 $\exists n_r$，使得 $a_n(n \geqslant n_r)$ 不变。

$\forall \varepsilon > 0，\exists N > n_r, \forall n > N,|a_n - a| < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$，敛散性不变。发散数列同理。
$\{a_n\}$ 有界，$\exists M$，使得 $|a_n| \leqslant M$ 对 $\forall n$ 成立
若 $a > l$，则对充分大 $n$ 有 $a_n > l$

取 $\varepsilon = a - l > 0$

则 $\exists N,\forall n > N,|a_n - a| < \varepsilon$

$a + \varepsilon > a_n > a - \varepsilon = a - (a - l) = l$

得到 $a_n > l$
若对充分大 $n$ 有 $a_n \geqslant l$，则 $a \geqslant l$

四、子列

定理：$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow {a_n}$ 的任一子列收敛于同一值（证明略）

推论：若 $\{a_n\}$ 的某一个子列发散，则 $\{a_n\}$ 也发散；若存在两个子列收敛于不同值，则 $\{a_n\}$ 发散

五、实数完备性的若干等价命题

确界原理：$\mathbb{R}$ 中任何有上（下）界的子集 $\mathbb E$ 必有上（下）确界

定义：若 $\{a_n\}$ 满足 $\forall n,a_n \leqslant(\geqslant) a_{n + 1}$，则称 $\{a_n\}$ 单调递增（减）。不取等的情况称为严格单调递增（减）

定理：单调递增（减）有上（下）界的数列必收敛

设 $\{a_n\} \uparrow$ 有上界，根据确界原理，$\{a_n\} \sub \mathbb R$ 必有上确界 $a = \sup\{a_n\}$

$\Rightarrow \forall \varepsilon > 0,a - \varepsilon$ 不再是上界 $\Rightarrow \exists a_{n_0} \in \{a_n\}$ 使得 $a - \varepsilon < a_{n_0}$

所以 $\forall n > n_0,a - \varepsilon < a_{n_0} \leqslant a_n < a < a + \varepsilon$，根据数列极限定义，$\{a_n\}$ 收敛

定理：设 $e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$，则 $\{e_n\}$ 收敛

先证 $\{e_n\}$ 单调递增：

$\begin{aligned}e_{n} &= \left(1 + \frac 1 n\right)^n \\&= 1 + \frac n {1!} \cdot \frac 1 n + \frac {n(n - 1)} {2!} \cdot \frac 1 {n^2} + \frac {n(n - 1)(n - 2)} {3!} \cdot \frac 1 {n^3} + \cdots + \frac {n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1} {n!} \cdot \frac 1 {n^n} \\&= 1 + 1 + {1 \over 2!}\left(1 - \frac 1 n\right)+{1 \over 3!}\left(1 - \frac 1 n\right)\left(1 - \frac 2 n\right) + \cdots + {1 \over n!}\left(1 - \frac 1 n\right)\left(1 - \frac 2 n\right) \cdots \left(1 - \frac {n - 1} n\right)\end{aligned}$

类似地：

$e_{n + 1} = 1 + 1 + {1 \over 2!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)+{1 \over 3!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)\left(1 - \frac 2 {n + 1}\right) + \cdots + {1 \over (n + 1)!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)\left(1 - \frac 2 {n + 1}\right) \cdots \left(1 - \frac n {n + 1}\right)$

作差不难发现 $e_{n + 1} > e_n$

又根据

$\begin{aligned}e_n & < 1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots + {1 \over n!} \\&< 1 + 1 + {1 \over 2} + {1 \over 2^2} + \cdots + {1 \over 2^{n-1}} \\&= 1 + {1 - {1 \over 2^n} \over 1 - {1 \over 2}} = 3 - {1 \over 2^{n - 1}} <3\end{aligned}$

所以 $e_n$ 有上界，单调递增有上界必收敛，记为 $\lim\limits_{n \to \infty}e_n = e$
列紧性

区间套定理：设有一列区间 $[a_n, b_n], n = 1, 2, \cdots$ 满足
- $[a_{n+1}, b_{n + 1}] \sub [a_n, b_n],n = 1, 2, \cdots$
- $\lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$
则有且仅有一点 $\xi \in [a_n, b_n],n = 1, 2, \cdots$

证明：

$\{a_n\}$ 递增有上界 $b_1$，$\{b_n\}$ 递减有下界 $a_1$ $\Rightarrow$ $\{a_n\},\{b_n\}$ 均收敛

记 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a,\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$

根据数列极限的保序性：$a_n < b_n \Rightarrow a \leqslant b$

又 $0 \leqslant b - a \leqslant \lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0 \Rightarrow b = a = \xi$

容易验证 $\xi \in [a_n, b_n], \forall n \in \N$

推广可得 $\bigcap\limits_{n = 1}^\infty[a_n, b_n] \neq \varnothing$，特别地若 $\lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$，$\bigcap\limits_{n = 1}^\infty[a_n, b_n] = \{\xi\}$

$\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理：任何有界数列必有收敛子列

设 $\{x_n\}$ 是有界数列，设 $\{x_n\} \sub [a, b]$，则区间 $[a, \frac{a + b}{2}],[\frac{a + b}{2}, b]$ 中至少有一个包含 $\{a_n\}$ 中的无限项

记为 $[a_1, b_1]$，对 $[a_1, b_1]$ 重复上述过程得到 $[a_2, b_2]$，以此类推将得到 $k$ 个区间，满足

$[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k]$

且 $b_k - a_k = {1 \over 2^k}(b - a) \to 0,k \to \infty$

根据区间套定理 $\lim\limits_{k \to \infty} a_k = \lim\limits_{k \to \infty} b_k = x$

再根据夹逼定理，$[a_k, b_k]$ 内所有 $x_i$ 组成的子列收敛于 $x$
$\text{Cauchy}$ 收敛准则

定义：$\{a_n\}$ 满足 $\forall \varepsilon > 0,\exists N$，当 $n, m > N$ 时有 $|a_n-a_m | < \varepsilon$ ，或者写成 $| a_{n+p} - a_n | < \varepsilon$ 对 $\forall p$ 成立

则称 $\{a_n\}$ 为基本列

定理：$\{a_n\}$ 收敛 $\iff$ $\{a_n\}$ 是基本列

六、发散到无穷大

定义：

记 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty,\forall M > 0,\exists N$，当 $n > N$ 时

有 $a_n > M$，则称 $a_n$ 发散到 $+\infty$
有 $a_n < -M$，则称 $a_n$ 发散到 $-\infty$
有 $|a_n| > M$，则称 $a_n$ 发散到 $\infty$

定理：单调递增数列发散到 $+\infty \iff$ 数列无界 $\forall M > 0,\exists a_N$，使得 $a_N > M$

七、$\text{Stolz}$ 定理

定理（“$\frac \infty \infty$”型或“$\frac x \infty$” 型）：设 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足

$b_n$ 严格 $\uparrow$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = +\infty$ （不要求 $a_n \to +\infty$）
$\lim\limits_{n \to \infty} {a_{n + 1} - a_n \over b_{n + 1} - b_n} = A$ （可以是无穷）

则有 $\lim\limits_{n \to \infty}{a_n \over b_n} = A$

定理（“$\frac 0 0$” 型）

$a_n \to 0, b_n \to 0$，且 $\{b_n\}$ 严格 $\downarrow$
$\lim\limits_{n \to \infty} {a_{n + 1} - a_n \over b_{n + 1} - b_n} = A$

则有 $\lim\limits_{n \to \infty}{a_n \over b_n} = A$

函数极限

一、函数

映射：$f:X \to Y$ 单射

函数：$f:I(\subset \R) \to J(\subset \R)$

三种情况：
1. 有界：$\forall x \in I,|f(x)| \leqslant M$ 或者 $m \leqslant f(x) \leqslant M$
2. 单调：$\forall x_1, x_2 \in I(x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) \leqslant f(x_2)$ 则单调递增，不取等则严格；递减同理
3. 一一对应：$\forall x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$
4. 反函数：$\forall y \in J,\exists$ 唯一 $x \in I$，使得 $y = f(x)$，则 $x = f^{-1}(y)$
函数的复合：$y = g(f(x))$
初等函数
1. 幂函数：$f(x) = x^\alpha(x > 0,\alpha \in \R)$
2. 指数函数：$f(x) = a^x(a > 0,a \neq 1)$
3. 对数函数：$f(x) = \log_ax(x > 0, a > 0, a \neq 1), f(x) = \ln x$
4. （反）三角函数
5. 双曲函数
  
  $\sinh x = {e^x - e^{-x} \over 2},\cosh x = {e^x + e^{-x} \over 2},\cosh^2x - \sinh^2x = 1,\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}, \sin x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2i}$
初等函数通过有限次四则运算和复合运算，仍然为复合函数
函数的其他表达方式
1. 分段函数
2. 隐函数
3. 参数方程

二、在无穷处的极限

$\forall \varepsilon > 0,\exists X > 0$，当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x) - a| < \varepsilon$，则称 $a$ 是 $f(x)$ 在无穷处的极限，记为 $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = a$

单侧极限 $\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = a \\ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = a\end{cases}$ . 结论：$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = a \iff \begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) 存在 \\ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) 存在\end{cases} 且相等$

三、在有限点的极限

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta(x \in \mathring{U}(x_0, \delta))$ 时，有 $|f(x) - a| <\varepsilon$

结论：$f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限存在且相等

四、性质与判别法

一、极限若存在则唯一

二、局部有界

$f(x)$ 在 $x_0$ 附近有界（$\exists \delta > 0, x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$
若 $\alpha < a < \beta$，则在 $x_0$ 附近有 $\alpha \leqslant f(x) \leqslant \beta$

对 $\varepsilon = \min\{\beta - a, a - \alpha\} > 0, \exists \delta > 0$ 当 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$ 时，$\alpha \leqslant a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon \leqslant \beta$

三、四则运算

设 $f(x) \to a, g(x) \to b(x \to x_0)$，则

$\lim\limits_{x \to x_0}(\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha a + \beta b$
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)g(x) = ab$
$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \frac a b(b \neq 0)$

四、保序性

在 $x_0$ 附近有 $f(x) \leqslant g(x) \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \leqslant \lim\limits_{x \to x_0}g(x)$

五、复合函数

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近，$g(t)$ 在 $t_0$ 附近均有定义，当 $t \neq t_0,g(t) \neq x_0$ 时

若 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = l, \lim\limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$，则 $\lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = l$

证明：

$\forall \varepsilon > 0, \exists \tau > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \tau$ 时，有 $|f(x) - l| < \varepsilon$

对 $\tau > 0,\exists \delta > 0$，当 $0 < |t - t_0| < \delta$ 时，有 $0 < |g(t) - x_0| < \tau \Rightarrow |f(g(t)) - l| < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = l$

证毕

六、函数与数列复合

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a \iff$ 对任意收敛于 $x_0$ 的数列 $\{a_n\}(a_n \neq x_0)$，有 $\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) = a$

证明：

$(\Rightarrow)$

对于 $\forall \{a_n\}, a_n \to x_0(x \to \infty)$ ，要证 $\{f(a_n)\}$ 收敛于 $a$，

即证 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ 使得 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - a| < \varepsilon$

对 $\delta > 0,\exists N$，当 $n > N$ 时有 $0 < |a_n - x_0| < \delta \Rightarrow$ 当 $n > N$ 时，$|f(a_n) - a| < \varepsilon$

$(\Leftarrow)$

假如当 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 不以 $a$ 为极限

$\Rightarrow \exists \varepsilon_0 > 0$，使得对 $\forall \delta > 0$，即使 $0 < |x - x_0| < \delta$，但是 $|f(x) - a| \geqslant \varepsilon_0$

取 $\delta = \frac 1 n$，取 $a_n = x_0 + \frac 1 {2n} \to x_0$

当 $0 < |a_n - x_0| < \frac 1 n = \delta$ 时，但是 $|f(a_n) - a| \geqslant \varepsilon_0$，矛盾

七、夹逼定理

在 $x_0$ 附近有 $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$，且 $\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = \lim\limits_{x \to x_0}h(x) = a \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a$

八、单调性与极限存在的关系

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调，则对 $\forall x_0 \in (a, b), \lim\limits_{x \to x_0^{\pm}}f(x)$ 存在

证明：

设 $f(x) \uparrow$，$\mathbb E = \{f(x) \mid x < x_0\}$ 有上界

$\exists$ 上确界 $l$，$\forall \varepsilon > 0 \Rightarrow l - \varepsilon$ 不是 $\mathbb E$ 的上界

$\exists \overline x < x_0$，但是 $f(\overline x) > l - \varepsilon$

取 $0 < \delta < x_0 - \overline x$，当 $0 < x_0 - \overline x < \delta$ 时，有 $l - \varepsilon < f(\overline x) \leqslant l$

$\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$ 存在，另一种情况同理，证毕

九、$\text{Cauchy}$ 收敛准则

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义

则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 $\iff$ $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x^\prime) - f(x^{\prime\prime})| < \varepsilon$

证明：

$(\Rightarrow)$

设极限为 $a$，$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - a| < \frac \varepsilon 2$

对 $0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta$

有 $|f(x^\prime) - a| < \frac \varepsilon 2, |f(x^{\prime\prime}) - a| < \frac \varepsilon 2 \Rightarrow |f(x^\prime) - x^{\prime\prime}| < \varepsilon$

$(\Leftarrow)$

因为对 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x^\prime) - x^{\prime\prime}| < \varepsilon$

任取 $a_n \to x_0(a_n \neq x_0) \Rightarrow \exists N$，当 $n, m > N$ 时， $0 < |a_n - x_0| < \delta, 0 < |a_m - x_0| < \delta$

$\Rightarrow |f(a_n) - f(a_m)| < \varepsilon \Rightarrow \{f(a_n)\}$ 满足 $\text{Cauchy}$ 收敛准则，设 $f(a_n) \to l$

根据函数与数列复合的极限， $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = l$，极限存在，证毕

五、两个重要极限

\[\lim\limits_{x \to 0}{\sin x \over x} = 1 \]

证明：
待填坑

\[\lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \frac 1 x\right)^x = e \]

证明：

已知 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1 n\right)^n = e$，考虑将自然数的情况推广到正实数：

由 $\text{Archimedes}$ 原理，$\exists n \in \N,n \leqslant x < n + 1$

则有 $\left(1 + {1 \over n + 1}\right)^n < \left(1 + {1 \over x}\right)^x < \left(1 + {1 \over n}\right)^{n + 1}$，之后根据夹逼不难证明 $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1 + {1 \over x}\right)^x = e$

负数的情况类似

六、无穷大与无穷小量

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \infty \iff \forall M > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), |f(x)| > M$

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0 \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), |f(x)| < \varepsilon$

若 $f(x) \to \infty, g(x) \to \infty (x \to x_0)$，则 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \begin{cases} 0 & f = o(g) \\ C \neq 0 & f \sim g \\ \infty & g = o(f)\end{cases}$

函数的连续性

一、连续

在一点连续

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义且在 $x_0$ 处有极限，若 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续
单侧连续

若 $\lim\limits_{x \to x_0^\pm}f(x) = f(x_0\pm0) = f(x_0)$，则称单侧连续
在区间上连续

$\forall x_0 \in I$，$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

二、间断

第一类间断点 $\begin{cases}f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) \neq f(x_0) & 可去间断点\\f(x_0+0) \neq f(x_0 - 0) & 跳跃间断点\end{cases}$

第二类间断点 $f(x_0\pm0)$ 至少有一个不存在

三、性质

局部有界

$f(x)$ 在 $x_0$ 连续，则存在 $x_0$ 的一个邻域，使得 $f(x)$ 在邻域内有界
四则运算（文略）
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，$g(t)$ 在 $t_0$ 连续且 $g(t_0) = x_0$ 则 $f(g(t))$ 在 $t_0$ 处连续

\[\lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(\lim\limits_{t \to t_0}g(t)) \]
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则（缓证）
1. $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有反函数 $\iff$ $f$ 在 $[a, b]$ 上严格单调
2. $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 在 $[a, b]$ 上也一定连续

四、初等函数连续性

结论：初等函数在其定义域内一定连续

五、闭区间上连续函数的性质

设 $f(x)\mid_{[a, b]}$ 连续

介值性

定理（零点定理）

对 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$，若 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则一定存在 $\xi \in (a, b), f(\xi) = 0$

证明：

不妨设 $f(a) < 0, f(b) > 0$

$[a_m, b_m] \sub [a_{m - 1}, b_{m - 1}] \sub \cdots \sub [a, b]$

$b_n - a_n = \frac 1 2(b - a) \to 0, a_n \to \xi, b_n \to \xi$

$\Rightarrow \exists \xi \in [a, b]$，使得 $a_n \leqslant \xi \leqslant b_n$

$f(a_n) < 0 \Rightarrow f(\xi) \leqslant 0,f(b_n) > 0 \Rightarrow f(\xi) \geqslant 0$

$\Rightarrow f(\xi) = 0$,证毕

定理（介值定理）

设 $\{f(x)\} \sub [a, b], f(a) \neq f(b)$，则对 $\forall$ 介于 $f(a), f(b)$ 之间的 $r$，一定存在 $f(\xi) = r$

不动点

若 $f([a, b]) = \{f(x) \mid x \in [a, b]\} \sub [a, b]$，则一定 $\exists x_0 \in [a, b], f(x_0) = x_0$

有界性

定理：闭区间上连续函数一定有界

证明：

假设存在闭区间 $[a, b]$ 上的某个连续函数无界

则 $\forall N, \exists x_n \in [a, b]$，使得 $|f(x_n)| \geqslant N$ $\Rightarrow \exists$ 子列 $x_{n_k} \to x_0 \Rightarrow x_0 \in [a, b]$（保序性）

又根据 $f(x)$ 的连续性， $N_k \leqslant |f(x_{n_k})| \to |f(x_0)|$，有界，矛盾

定理：闭区间上连续函数必取到最大（小）值

证明：

原命题即 $\exists x^*, x_* \in [a, b]$，使得 $f(x^*) \geqslant f(x) \geqslant f(x_*)$ 对 $\forall x \in [a, b]$ 成立

$f(x)|_{[a, b]}$ 有界因此有上确界，记 $M = \sup f(x), \forall n \in \N, M - \frac 1 n$ 不是上界

即 $\exists x_n \in [a, b]$ 使得 $M \geqslant f(x_n) \geqslant M - \frac 1 n$

$\Rightarrow \exists x_{n_k} \to x^* \in [a, b]$ 再令 $n \to \infty$ 根据夹逼 $f(x^*) = M \Rightarrow f(x^*)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的最大值

最小值同理

定理：闭区间上的连续函数的值域也是闭区间显然

定理：闭区间上 $f(x)$ 连续，$f(x) $有反函数 $\iff$ $f(x)$ 和 $f^{-1}(x)$ 连续且严格单调

证明：

$(\Leftarrow)$ 显然

$(\Rightarrow)$ 考虑反证

$\exists x_1 < x_2 < x_3$，使得 $f(x_2)$ 不在 $f(x_1)$ 和 $f(x_3)$ 之间

不妨设 $f(x_2) < f(x_1) < f(x_3) \Rightarrow \exists \xi \in (x_2, x_3), f(\xi) = f(x_1)$，矛盾

已知反函数严格单调，下证连续，即证 $\forall \varepsilon > 0 \exists, \delta > 0$，当 $|y - y_0| < \delta$ 时，$|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon$

令 $x_0 = f^{-1}(y_0),y_1 = f(x_0 - \varepsilon), y_2 = f(x_0 + \varepsilon) \Rightarrow y_1 < y_0 < y_2$

令 $\delta = \min\{y_0 - y_1, y_2 - y_0\}$，当 $|y - y_0| < \delta$ 时

$y_1 < y < y_0 + \delta \leqslant y_2 \Rightarrow f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y) < f^{-1}(y_2) \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon$

六、一致连续性

定义：设 $f(x)$ 在 $I$ 上有定义，$\forall \varepsilon > 0$，如果 $\exists \delta > 0$，使得对 $\forall x_0 \in I$，

当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 成立，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续

等价定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，只要 $|x' - x''| < \delta$，就有 $|f(x') - f(x'')| < \varepsilon$

定理：闭区间上连续的函数一定一致连续

证明（反证）：

$\exists \varepsilon_0 > 0$，对 $\forall n, \delta_n = \frac 1 n$，当 $|x_n - y_n| < \delta_n$ 时，有 $|f(x_n) - f(y_n)| \geqslant \varepsilon_0$

根据子列的收敛性可以证明 $\lim\limits_{k \to \infty}|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0$，矛盾

微分

一、导数

定义：设 $f(x)$ 在 $I$ 上有定义，$x_0 \in I$，若 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) - f(x_0) \over x - x_0}$ 存在且有限，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，记为

\[f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) - f(x_0) \over x - x_0} \]

单侧导数

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0^\pm}{f(x_0 + \Delta x) - f(x) \over \Delta x} = f'_\pm(x_0) \]

结论：左右导数存在且相等 $\iff$ 导数存在

二、性质

可导一定连续（连续不一定可导）
四则运算
1. $(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$
2. $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
3. $\left({f(x) \over g(x)}\right)' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over (g(x))^2}(g(x) \neq0)$
复合函数求导

$y = f(x), x = g(t)$ 都可导，则 $y = f(g(t))$ 也可导（链式法则证明）

三、高阶导数

$f|_I$ 可导， $f'|_I$ 函数若仍然可导，则 $f''(x)|_I, \cdots$ 称为 $f(x)$ 的高阶导数，记为 $f^{(n)}(x) = (f^{n - 1}(x))'$，或记为

\[{\text d^n y \over \text d x^n} = {\text d \over \text d x}\left({\text d^{n - 1} y \over \text d x^{n - 1}}\right) \]

$\text{Leibnis}$ 定理：

\[(f \cdot g)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n{n \choose k}f^{(n - k)} \cdot g^{(k)} \]

若 $\exists x_0 \in I, f(x_0) = f'(x_0) = \cdots = f^{(r)}(x_0) = 0$，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的 $r$ 重零点

常用导数

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + {n\pi \over2})$
考虑 $y = \arctan x$ 的在 $x = 0$ 处的高阶导数

一次求导：$y'(1 + x ^ 2) = 1$

对该恒等式求 $n - 1$ 阶导，根据 $\text{Leibnis}$ 公式：

\[(1 + x ^ 2)y^{(n)} + 2(n - 1)xy^{(n - 1)} + (n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)} = 0 \]
将 $x = 0$ 代入得到：

\[y^{(n)}(0) = -(n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)}(0) \]
又有 $y(0) = 0, y'(0) = 1$，分奇偶分析可得：

\[y^{(2k + 1)}(0) = (-1)^k(2k)!, y^{(2k)}(0) = 0, k = 1, 2, \cdots. \]

四、参数表示的导数

对于参数方程

\[\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t)\end{cases}, t \in [\alpha, \beta] \]

表示的函数可导，如果 $x'(t) \neq 0$，且 $x = x(t)$ 存在可导的反函数 $t = t(x)$，则有

\[{\text dy \over \text dx} = {\text dy \over \text dt}{\text dt \over \text dx} = {y'(t) \over x'(t)} \]

类似的可以求得

\[{\text d^2y \over \text dx^2} = {y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) \over (x'(t))^3} \]

五、微分

定义：对于 $y = f(x)$，若存在一条直线使得 $f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) +o(\Delta x)$，则称 $f(x)$ 可微

结论：可微

\[\Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0}{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \over \Delta x} = A \]

$\Rightarrow$ 可导且 $f'(x_0) = A$

六、微分中值定理

一、极值

定义：设 $f(x)$ 在 $I$ 上有定义，若 $x_0 \in I$ 满足 $\exists \delta > 0, |x - x_0| < \delta$ 时

$f(x) \leqslant f(x_0)$ 则称 $f(x_0)$ 是极大值；$f(x) \geqslant f(x_0)$ 则称 $f(x_0)$ 是极小值

二、$\text{Fermat}$ 定理

若 $f(x)$ 在 $I$ 内部一点 $x_0$ 取极值，且 $f(x)|_I$ 可导，则 $f'(x_0) = 0$（根据导数的定义不难证明）

三、$\text{Rolle}$ 定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，$f(a) = f(b)$，则 $\exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = 0$

证明：连续则有最值，不妨设 $f(x)$ 不是常值函数 $\Rightarrow$ 最大（小）值 $\neq f(a) = f(b)$

不妨设最大值点 $\xi \in (a, b)$，由于 $f|_{(a, b)}$ 可导 $\Rightarrow$ $f'(\xi) = 0$

四、$\text{Lagrange}$ 定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

\[f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b - a} \]

证明：令 $g(x) = f(x) - f(a) - {f(b) - f(a) \over b - a}(x - a)$

$g(a) = g(b) = 0,g'(x) = f'(x) - {f(b) - f(a) \over b - a}$

根据 $\text{Rolle}$ 定理，$\exists \xi \in (a, b), g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b - a}$,证毕

六、$\text{Cauchy}$ 中值定理

设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 上可导，且 $g'(x) \neq 0$，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使得

\[{f'(\xi) \over g'(\xi)} = {f(b) - f(a) \over g(b) - g(a)} \]

证明与 $\text{Lagrange}$ 定理证明类似

定理：

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 的左（右）极限存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左（或右）导数满足

$f'_{\pm}(x_0) = f'(x_0 \pm 0) \Rightarrow f'(x_0 - 0) = f'(x_0 + 0) = f'(x_0) \Rightarrow$ $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$f'(x)$ 的间断点一定无左右极限

结论：导函数不存在第一类间断点

七、$\text{Darbsux}$ 定理（导函数的介值性）

设 $f|_{[a, b]}$ 可导，则对于介于 $f'(a), f'(b)$ 之间的任意值 $\lambda$，一定 $\exists \xi \in [a, b]$，使得 $f'(\xi) = \lambda$

证明：

不妨设 $f'(a) < f'(b)$，并考虑 $f'(a) < 0 < f'(b)$

$\Rightarrow \lim\limits_{x \to a^+}{f(x) - f(a) \over x - a} = f'(a) < 0$

$\Rightarrow \exists \delta_1$ 使得当 $x \in (a, a + \delta_1)$ 有 ${f(x) - f(a) \over x - a} < 0 \Rightarrow f(x) < f(a)$

即当 $x \in (a, a + \delta_1)$ 时，$f(x) < f(a)$，同理当 $x \in (b - \delta_2, b)$ 时，$f(x) < f(b)$

$\Rightarrow \min f(x)$ 一定在 $(a, b)$ 内部，即 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$

对于 $f'(a) < \lambda < f'(b)$，令 $g(x) = f(x) - \lambda x \Rightarrow g'(a) < 0 < g'(b)$

$\Rightarrow \exists \xi \in (a, b)$，使 $g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \lambda$，证毕

八、$\text{L'Hospital}$ 法则

结论：

\[\lim\limits_{x \to x_0}{f'(x) \over g'(x)} = l \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = l \]

证明：

$\frac 0 0$ 型：

因为 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0, \lim\limits_{x \to x_0}g(x) = 0$

不妨取 $f(x_0) = 0, g(x_0) = 0 \Rightarrow f(x), g(x)$ 在 $x_0$ 处连续

\[{f(x) \over g(x)} = {f(x) - f(x_0) \over g(x) - g(x_0)} = {f'(\xi) \over g'(\xi)} \]
其中 $|\xi - x_0| < |x - x_0|$，所以当 $x \to x_0, \xi \to x_0$

\[\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \lim\limits_{\xi \to x_0}{f'(\xi) \over g'(\xi)} = l \]
$\frac \infty \infty$ 型：

类似地取 $\xi, x_0 < \xi < x_0 + \delta$

\[{f(x) \over g(x)} = {f(x) - f(\xi) \over g(x) - g(\xi)} - {f(x) - f(\xi) \over g(x) - g(\xi)}{g(\xi) \over g(x)} + {f(\xi) \over g(x)} \]
令 $x \to x_0, \xi \to x_0$

\[{f(x) \over g(x)} \to {f'(x_0) \over g'(x_0)} \]

可以推导出高阶导和趋于无穷的情况，不再赘述。

七、单调性与凸性

一、单调性

设 $f(x)$ 可导 $\Rightarrow \begin{cases} f(x) \uparrow & \Rightarrow f'(x) \geqslant 0 \\ f(x) \downarrow & \Rightarrow f'(x) \leqslant 0\end{cases}$ ，极值点处一定有 $f'(x) = 0$

二、凸性

若对 $\forall \alpha \in (0, 1)$，有

\[f(x_1 + (1 - \alpha)(x_2 - x_1)) \leqslant f(x_1) + (1 - \alpha)(f(x_2) - f(x_1)) \]

或者写成

\[f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1 - \alpha)f(x_2) \\ \]

则称 $f(x)$ 在定义域内是凸函数

由定义可推出等价结论：

\[{f(x) - f(x_1) \over x - x_1} \leqslant {f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \leqslant {f(x_2) - f(x) \over x_2 - x} \]

定理：

设 $f(x)$ 在 $I$ 上连续

若 $f|_I$ 可导，则 $f(x)$ 凸 $\iff f'(x)\uparrow$（严格）
若 $f|_I$ 二阶可导，则 $f(x)$ 凸 $\iff f''(x) > 0$

证明：

$(\Rightarrow)$ 分别求端点导数即可

$(\Leftarrow)$ 拉格朗日中值

证明同理可得

三、拐点

$f(x)$ 凸性改变的点叫拐点

定理：

在 $x_0$ 的邻域内，满足在 $x_0$ 左边 $f'(x) \uparrow$，右边 $f(x) \downarrow$，则 $x_0$ 是拐点

四、曲率

\[\alpha = \arctan{\text dy \over \text dx} = \arctan y' \Rightarrow {\text d\alpha \over \text dx} = {|y''| \over 1 + y'^2}\\ \kappa = {\text d \alpha \over \text d s} = {\text d \alpha \over \text d x} / {\text d s \over \text d x} = {|y''| \over 1 + y'^2} / \sqrt{1 + y'^2} = {|y''| \over (1 + y')^{\frac 3 2}} \]

用参数方程表示，设 $x = \varphi(t), y = \psi(t), y = f(x)$

\[\begin{aligned} \Rightarrow f' = {\psi' \over \varphi'}, f'' = {\psi''\varphi' - \varphi''\psi' \over \varphi'^3} \\ \Rightarrow \kappa = {\psi''\varphi' - \varphi''\psi' \over (\psi'^2 + \varphi'^2)^{\frac 3 2}} \end{aligned} \]

八、$\text{Taylor}$ 展开

一、$\text{Taylor}$ 公式

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近 $n$ 阶可导

$\text{Peano}$ 余项公式：

\[f(x) = f(x_0) + {f'(x_0) \over 1!}(x - x_0) + \cdots {f^{(n)}(x_0) \over n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \]

特别地当 $x_0 = 0$ 时有：

$\text{Maclaurim}$ 公式：

\[f(x) = f(0) + {f'(0) \over 1!}(x) + \cdots {f^{(n)}(0) \over n!}(x)^n + o(x^n), x \to 0 \]

待定系数法+多次 $\text{L'Hospital}$ 法则可以求得各系数的值，满足余项是 $n$ 次项的高阶无穷小

二、余项的估计

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的领域内有 $n + 1$ 阶导数，$T_n(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 $\text{Taylor}$ 多项式

则在 $x$ 和 $x_0$ 之间 $\exists \xi$，使得

\[f(x) = T_n(x) +{f^{(n + 1)} \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]

证明：

设辅助函数

\[g(t) = f(t) - T_n(t) - {f(x) - T_n(x) \over (x - x_0)^{n+ 1}}(t - x_0)^{n + 1}, t \in I \]
$g(t)$ 有 $n + 1$ 阶导数，且满足

\[g(x_0) = g(x) = 0, g^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) - T_n^{k}(x_0) = 0, k = 1, 2, \cdots, n \]
重复运用微分中值定理可推得

\[\exists \xi \in (x_0, x), g^{(n + 1)}(\xi) = f^{(n + 1)}(\xi) - (n + 1)!{f(x) - T_n(x)\over(x - x_0)^{n + 1}} \]
即

\[f(x) = T_n(x) + {f^{(n + 1)}(\xi) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]
并令

\[R_n(x) = {f^{(n + 1)}(\xi) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]
$R_n(x)$ 称作 $\text{Lagrange}$ 余项

推论：

若 $f(x)$ 的 $n + 1$ 阶导数有界，$|f^{(n + 1)}(x)| \leqslant M \Rightarrow \Rightarrow |R_n(x)| \leqslant {M \over (n + 1)!}|x - x_0|^{n + 1}$
若 $f(x)$ 在 $I$ 内 $n + 1$ 阶可导，$x_0$ 是 $f(x)$ 的 $r(r < n)$ 重零点当且仅当存在函数 $g(x)$

\[f(x) = (x - x_0)^rg(x), g(x_0) \neq 0 \]

三、初等函数的展开式

下面给出部分初等函数具有 $\text{Lagrange}$ 余项的 $\text{Maclaurim}$ 公式

\[\begin{aligned} & e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + \cdots + {x^n \over n!} + {e^{\theta x} \over (n + 1)!}x^{n+1}, & -\infty < x < +\infty, \\ & \ln(1+x) = x - {x^2 \over 2!} + \cdots + (-1)^{n - 1}{x^n \over n} + {(-1)^nx^{n+1}\over(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}, & x > -1, \\ & \sin x = x - {x^3 \over 3!} + \cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 1} \over (2m - 1)!} + {(-1)^mx^{2m+1} \over (2m+1)!}\cos \theta x, & -\infty < x < +\infty, \\ & \cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + \cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 2} \over (2m - 2)!} + {(-1)^mx^{2m} \over (2m)!}\cos \theta x, & -\infty < x < +\infty, \\ & (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + {\alpha(\alpha - 1) \over 2!}x^2 + \cdots + {\alpha^{\underline{n}} \over n!}x^n + {\alpha^{\underline{n + 1}} \over (n + 1)!}x^{n + 1}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1}, & x > -1 \end{aligned} \]

结论：初等函数在定义域内任意一点可以展开成任意阶的 $\text{Taylor}$ 多项式

$\text{Taylor}$ 展开的一些用途：

可以用 $\text{Taylor}$ 展开方便地求函数的高阶导
化为多项式方便计算极限

posted @ 2021-09-15 23:19 Sangber 阅读(396) 评论(1) 编辑收藏举报

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2021秋 数分B1笔记

实数