「雅礼集训2017」共

传送门

把这棵树分为奇数深度点和偶数深度点两部，显然形成二分图。

我们先选出 \(k\) 个点作为奇数深度的点，由于 \(1\) 号点必须是奇数深度，所以方案就是 \({n - 1 \choose k - 1}\)

考虑 \(prufer\) 序列，我们不难发现奇数深度点总共出现 \(n - 1 - k\) 次，偶数深度点总共出现 \(k - 1\) 次，那么就是 \(k ^ {n - 1 - k}(n - k)^{k - 1}\)

最后的答案就是 \({n - 1 \choose k - 1}k ^ {n - 1 - k}(n - k)^{k - 1}\)

参考代码：

#include <cstdio>

const int _ = 5e5 + 5;

int n, k, p, fac[_], ifc[_];

int C(int N, int M) { return 1ll * fac[N] * ifc[M] % p * ifc[N - M] % p; }

int power(int x, int k) {
    int res = 1;
    for (; k; k >>= 1, x = 1ll * x * x % p)
        if (k & 1) res = 1ll * res * x % p;
    return res % p;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &k, &p);
    fac[0] = ifc[0] = ifc[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % p;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) ifc[i] = 1ll * (p - p / i) * ifc[p % i] % p;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ifc[i] = 1ll * ifc[i - 1] * ifc[i] % p;
    printf("%lld\n", 1ll * C(n - 1, k - 1) * power(k, n - k - 1) % p * power(n - k, k - 1) % p);
    return 0;
}