「JSOI2015」子集选取

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传送门

看到这个数据范围，就知道肯定是要找规律。

如果把集合看成一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串， \(0\) 表示没有这个元素， \(1\) 表示有这个元素，

那么我们可以发现对于题中的约束关系，不同位上的 \(01\) 之间不会互相影响。

那么我们只需要对于只有一位也就是 \(n = 1\) 的情况计算出方案（记为 \(x\)）那么最后的答案就是 \(x ^ n\) 。

现在考虑如何计算 \(x\) 。

根据题目的限制，不难发现每一行都是一个全是 \(1\) 的前缀，而且第 \(i - 1\) 行的前缀要比第 \(i\) 行的不短。

那么我们设 \(f_{i, j}\) 表示选到第 \(i\) 行其中第 \(i\) 行选了一个长度为 \(j\) 的前缀的方案。

转移很简单：

\[f_{i, j} = \sum\limits_{k = j}^{i - 1} f_{i - 1, k} \]

不难发现这个东西和杨辉三角有点像。

因为在杨辉三角中，一个数等于它右上方那个数往左上方的前缀的和。

所以我们可以进一步发现 \(f_{i, j} = f_{i, j + 1} + f_{i - 1, j}\)

那么和杨辉三角类似的，第 \(k\) 行的和也就是 \(\sum_{j = 1}^k f_{k, j} = 2^k - 1\)

然后再加上全是零的一种情况总共就是 \(2^k\) 种方案。

综上所述，最后的答案就是 \(2^{nk}\) 。

参考代码：

#include <cstdio>
#define rg register
#define int long long 
#define file(x) freopen(x".in", "r", stdin), freopen(x".out", "w", stdout)
template < class T > inline void read(T& s) {
    s = 0; int f = 0; char c = getchar();
    while ('0' > c || c > '9') f |= c == '-', c = getchar();
    while ('0' <= c && c <= '9') s = s * 10 + c - 48, c = getchar();
    s = f ? -s : s;
}
 
const int p = 1e9 + 7;
 
int n, k;
 
inline int power(int x, int k) {
    int res = 1;
    for (; k; k >>= 1, x = 1ll * x * x % p)
    if (k & 1) res = 1ll * res * x % p;
    return res % p;
}
 
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    file("cpp");
#endif
    read(n), read(k);
    printf("%lld\n", power(2, 1ll * n * k));
    return 0;
}