斐波那契公约数的相关证明

\(\text{来一波斐波那契公约数的证明}QwQ\)

\(\text{已知} \{F_n\} \text{为斐波那契数列,求证:}\)

\[\forall\ n,m\in\text{Z}^{+},(F_n,F_m)=F_{(n,m)} \]

\(\text{证明:}\)
\(\text{令}\) \(n<m\)
\(\text{用 }F_n\text{ 和 }F_{n+1}\text{ 表示 } F_{n+2},F_{n+3},F_{n+4},\cdots\)

\[F_{n+2}=F_n+F_{n+1} \]

\[F_{n+3}=F_n+2\times F_{n+1} \]

\[F_{n+4}=2\times F_{n}+3\times F_{n+1} \]

\[\cdots\cdots \]

\(\text{可观察到,上类等式中的 }F_n\text{ 和 }F_{n+1}\text{ 的系数也满足斐波那契数的性质}\)

\[\therefore\text{易得 } F_m=F_{m-n-1}\times F_{n}+F_{m-n}\times F_{n+1} \]

\[\therefore (F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n-1}\times F_{n}+F_{m-n}\times F_{n+1}) \]

\(\text{又}\)

\[F_n|F_{m-n-1}\times F_n \]

\(\text{所以}\)

\[(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n}\times F_{n+1}) \]

引理:

\[(F_n,F_{n+1})=1 \]

证明:

• 对于 \(n=1\) 和 \(n=2\) 的情况,命题显然成立
• 对于 \(n\ge2\) 的情况
  显然有 \(F_n>F_{n-1}>F_{n-2}\)
  又因为 \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)
  所以有 \(F_n\ \bmod F_{n-1}=F_{n-2}\)
  由欧几里得定理和引理可得

\[(F_n,F_{n-1})=(F_{n-1},F_n\ \bmod\ F_{n-1})=(F_{n-1},F_{n-2}) \]

\[\therefore (F_n,F_{n-1})=(F_{n-1},F_{n-2})=(F_{n-2},F_{n-3})= \cdots =(F_1,F_2)=1 \]

证毕

\(\text{根据引理可得}\)

\[(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n}) \]

\(\text{综上}\)

\[\text{当}n<m\text{时},(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n}) \]

\(\text{可以观察到}, n\text{ 和 }m\text{变化规律完全符合更相减损术,所以会有}\)

\[(F_n,F_m)=F_{(n,m)} \]

\(\text{证毕}\)