01背包精讲

给定一个物品集合s={1,2,.....,n}，物品i具有重量wi和价值vi。背包能承受能承受的最大载重量不超过W。背包问题就是找到一个物品子集s‘属于s，使得maxEwi<=W。所谓01背包就是物品要么整个地选取，要么不取。
首先我们先要肯定一件事，假设子问题(i,w)的最优装载中含有物品i，则其中的子问题(i-1,w-wi)的装载方案也一定是最优的。
证明:(反证法)假设子问题(i-1,w-wi)的装载方案p不是最优的，则有一个更优的装载方案p'，将p'替换p然后在加上物品i将会比原来的最优装载价值最大，与假设矛盾。
现设定一个数组v[i,w](i代表第几个物品，w代表i物体的重量)表示将物品1到物品i的物品装入载重量为w的背包中所能获得的最大价值，即子问题(i,w)的最大价值
(1)对于物品i能够装进背包，则子问题（i,w）的最优解取决于物品i是否放进去
①如果物品i不放进去，则有v[i,w]=v[i-1,w]。就是说i不放进去，那么容量为i的背包的价值==容量为i-1的背包的价值
②若将物品i放进去，则有v[i,w]=v[i-1,w-wi]+vi。若i放进去，那么容量为i的背包的价值==容量为i-1的背包的价值加上第i个物品的价值
解析：相信大多数人都想不明白这句话的意思，若物品i能够放进去，那么一定是放进去后这个背包的价值肯定大于没放进去的价值大，这是错误的，假设有三个物品（1，1）
（2，3）（2，2）【（物品重量，价值）】，现我们规定背包总重量限制于3，相信大家一眼就可以看出来，物品13的结合的价值没有物品12结合的价值大，自然3不放的总价 值大于2放的总价值，12放进去后此时背包容量已满，但倘若物品3放进去，那么背包为了能够容纳3，它必将2剔除，所以说3不放的价值大于放的价值。

现在为大家推一便算法，就明白了。

前提大家要先明确一件事，01背包算法精髓就是扫，假设背包容量为w，物品个数为n，那么可以假定的认为一个二维数组，行为第几个物品，第一行为第一个物品，第二行为第二个 物品，第n行为第n个物品。列为容量的多少，第一列是容量为1的背包，第二列是容量为2的背包，第三列为3，第n列为n。

给一组数据，物品号 wi vi
1 2 12
2 1 10
3 3 20
4 2 15

背包算法如下的表格所示
w
i 0 1 2 3 4 5
1 0 12 12 12 12
2 10 12 22 22 22
3 10 10 22 30 32
4 10 15 25 30 37

解析：第1个[2,12]物品，背包容量为1时，2>1它进不了背包,背包容量为2时，进入背包，所以背包容量最大价值为12;背包容量为3，4，5时都可以进入背包，价值均为12。
第2个[1,10]物品，背包容量为1时，1==1进入背包；背包容量为2时，1<2则它可以选择进入或不进入，若进入c[2-`1][2-1]=10所以2号进入背包后的价值小于不进入背包的价值;
背包容量为3，4，5时背包都能够装满物品1，2所以1，2都放进去，容量为3，4，5的背包价值为22
第3个[3,20]物品，背包容量为1，2时，3>1，3>2,12都放不进去，背包容量为3时，进入后的价值20（会剔除1，2物品）<不进入的价值（22）所以3不进入;背包容量为4时，进入
的价值（剔除1号物品，还剩2号物品价值10）30>不进入的价值22，所以进入；背包容量为5时，进入的价值（剔除1号物品，剩余2号物品）32>不进入，所以进入
。
。

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/

int knapsack(int m,int n)//n是物品的个数，m是价值的限制
{
    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(i=1;i<n+1;i++)//就下面的这两个循环和下面这个二维数组不明白！！
        for(j=1;j<m+1;j++)
        {
            if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
            {
                if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])//i-1个背包的价值加上第i个物品的价值是否大于不放的价值
                    
                    /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/
                    
                    /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
                    c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
                else
                    c[i][j]=c[i-1][j];
            }
            else c[i][j]=c[i-1][j];
        }
        return(c[n][m]);
        
}
int main()
{
    int m,n;int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("Input each one:\n");
    printf("%d",knapsack(m,n));
    printf("\n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
    for(i=0;i<5;i++)
        for(j=0;j<6;j++)
        {
            printf("%d ",c[i][j]);
            if(j==5)printf("\n");
        }
        return 0;
}

 

        for (i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=v;j>=w[i];j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+p[i]);
            }
        }