莫比乌斯反演理解
学了下莫比乌斯反演,实质上mu函数是从容斥原理推出来的
详细的原理解读+例子讲解可以看博客 https://www.cnblogs.com/chenyang920/p/4811995.html
好博客 https://blog.csdn.net/tomandjake_/article/details/81082837
首先要了解狄利克雷卷积公式
(f∗g)(n)=∑d|nf(d)∗g(n/d)
一些常用的数论函数(积性函数):
第一个是狄利克雷单位元,相当于常数1(可以参考线性代数里的单位矩阵)
1(n) = 1 是 单位函数
Id(n) = n 是 不变函数
关于一些性质和公式 https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8744633.html
莫比乌斯反演
(1) ====》
莫比乌斯的逆元:单位函数:u(n) * 1(n) = € (n)
证明 1:F(n)=(f*1)(n) ==> (F*u)(n) = (f*1*u)(n) = f(n) ==>
另外还有一种证明方法,个人认为更加直接硬核
其中第三个等号那里用了一下置换法
引理:∑d|n u(d)= € (n)
然后推广到n=p1p2p3p4...pk,即n没有平方因子的情况
第一项g(n)的系数必定是1
g(n/pi)的系数必定是 -1=u(pi)
g(n/(pi*pj))的系数必定是 1=u(pi*pj)
利用容斥原理推导公式,依次类推,当u(n),n为没有平方因子的数,k为n的质因子个数,u(n)=(-1)^n
再推广到有平方因子的情况
我们只考虑平方因子在的情况
g(n/(pi*pi))的系数是 0=u(pi*pi)
g(n/(pi*pi*pj))的系数是 0=u(pi*pi*pj)
根据容斥原理推导公式,当u(n),n有平方因子,则u(n)=0
关于莫比乌斯函数的两条性质
用二项式定理可证,实质还是容斥原理(莫比乌斯函数的逆元是单位函数也是这么来的)
不知道什么东西。。