尼姆博弈

　　问题一：有n堆物品各若干，两人轮流从某一对取任意多物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者胜利

　　用（a,b,c）表示局势，若a xor b xor c==0,那么（a,b,c）为奇异局势，面对奇异局势必败。若（a,b,c)为非奇异局势，则只要将c变为a xor b即变成奇异局势

　　　　

　　若a1 xor a2 xor a3 ...  == 0 ,则称（a1,a2,a3......)为T态（利他态），反之称S态（利己态）

　　定理1：S->T，只要将某数 - x 即可

　　证明：设 c = a1 xor a2 xor a3 ... xor an > 0，且c的第最高位（二进制）1为p位，那么必存在at，其第p位也是1，令x=at xor c < at

　　那么把原式的at 换成 x ，原式 = a1 xor a2 xor a3 ... x xor ... an = a1 xor x2 ... xor an xor c = 0; S->T转换完成 

 

　　定理2：T->S,任何操作

　　证明：反证法：若 c = a1 xor a2 xor a3 ... xor an = 0;

　　　　　　　　    且 c' = a1 xor a2 xor a3... at' xor ... an = 0;

　　　　　　　　    则 c xor c' = 0； 但是c xor c' = at xor at' !=0 矛盾

　　

　　定理3：S必赢

　　证明：先手S->T(定理1)，后手必有T->S(定理2)，所以先手必将局势控制在S态

 

　　定理4：T必败

　　证明：定理（3）

 

　　问题二：若某堆数量为1，则称孤单堆，若大于1，则为充裕堆。每个人 轮流在一堆中取若干根，最后取完为负

　　定理：显然不存在T1,充裕堆不可能一次消去两个

　　

　　定理5：S0必败，T0必胜

　　证明：S0即是奇数个孤单堆，每次只能取一根，每次第奇数根都由自己取，第偶数根都由对方取，所以必败

　　

　　定理6：S1态必胜

　　证明：先手S1->S0,后手必败(定理5)

 

　　定理7：S2≠>T0

　　证明：充裕堆不可以一次消去两个

 

　　定理8：S2->T2

　　证明：S->T(定理1)，不可能转换成T0(定理7)，所以转换成T2态

　　

　　定理9：只有T2->S2/S1

　　证明：T->S(定理2)，不可能是S0

 

　　定理10：S2 必胜

　　证明：先手S2->T2(定理8)，必有T2->S2/S1(定理9)，所以先手可以将状态控制在S2，或者变成S1(必胜态)

 

　　定理11：T2必输

　　证明：定理10

　　

　　总结：第一题（最后取则胜）策略，先手将S1变为T0，那么每次轮到先手都是S0（奇数孤单堆），则必取最后一堆：

　　　　　　S2->T2->S2->T2.......T2->S1-------------->T0->S0->T0->S0->T0....->S0->T0(全0)

　　　　　第二天（最后取则败）策略，先手将S1变为S0，那么每次轮到先手都是T0（偶数孤单堆），则对方必取最后一堆

　　　　　　S2->T2->S2->T2.......T2->S1-------------->S0->T0->S0->T0....->S0->T0(全0)　

　　所以要取胜就要取得S1，就要不断把T2留给对方，如果自己是T2，则必败

 

　　例题hdu1907 （问题二模板）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t,n,a[10000];
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        int tmp=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]>1) tmp++;
        }
        if(tmp==0){
            if(n%2==1) //S0态必败 
                puts("Brother");
            else puts("John");
            continue;
        }    
        else if(tmp==1){//S1->S0，对方必败 
            puts("John");
            continue; 
        } 
        else {//S2必胜，T2必败 
            int tot=0;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            tot^=a[i];
            if(tot!=0) puts("John");
            else puts("Brother");
        }
    }
}

　　hdu2509 问题一，但是要证明在该题情况下T2必会变成S2/S1，剩下的状况S1,S0,T0则不受影响

　　证明：T状态必变成S，所以尽管对T2中的某一堆进行改变后，可能会产生新的两堆，但是局势仍是S

　　　　　at' = at1'+at2' 且at' != at, 则at != at1' xor at2' , 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t,n,a[1000];
    while(scanf("%d",&n)==1){
        int tmp=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]>1) tmp++;            
        }
        if(tmp==0){
            if(n%2==0)//S0态必胜 
                puts("Yes");
            else puts("No");
            continue; 
        }
        else if(tmp==1){//S1态必胜 
            puts("Yes");
            continue; 
        }
        else {
            int tot=0;
            for(int i=1;i<=n;i++) tot^=a[i]; 
            if(tot==0) puts("No");//T2必败 
            else puts("Yes"); 
        }
    }
    return 0;
}