超平面

  • 直线、平面

    在说超平面之前,先说说 Rn 空间中的直线和平面。给定 Rn 空间中的一点 p 和一非负向量 v ,满足

    i=tv +p

    的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一条直线。上式中 t 是一个标量,向量 v  决定了该直线的方向。如图1所示:

    图1:line figure illustration

    相对的,给定 Rn 空间中的一点 p和两个线性无关的向量 v ,w ,满足

    i=tv +sw +p

    的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一个平面。上式中 t,s 均是标量。如图2所示:

    图2:plane figure illustration

    更一般的,给定 Rn 空间中的一点 p和线性无关的向量 v1→,v2→,...,vk,满足

    i=t1v1→+t2v2→+...+tkvk→+p

    的点 i 的集合称为 Rn 空间的一个k维仿射子空间(k-dimensional affine subspace)。因此,一条直线就是一个1维仿射子空间,一个平面就是一个2维仿射子空间。

  • 直线的另一种表示

    假设 R2 空间中的点集 i=(x,y) 满足等式

    ax+by+d=0(1)

    其中 a,b,d 均为标量,并且 a,b 至少有一个不为0。假设 b 不为0,则

    y=−abxdb

    设 x=t,−∞<t<∞,则点集i可以表示为

    i=(x,y)=(t,−abtdb)=t(1,−ab)+(0,−db)

    这其实是一条经过点 (0,−db) 方向为 (1,−ab) 的直线L。

    进一步地,我们设 n =(a,b),则(1)式可以表示为

    n i+d=0(2)

    设取 p=(p1,p2) 为L上一点,代入上式可以得到 d=−n p,则(2)式可以表示为

    n (ip)=0(3)

    可以看出,n  实际是直线L的法向量,并且点集 i=(x,y) 是那些与 p 的差向量与 n  正交的点。

  • 超平面

    说了这么多,现在来给出超平面的定义:给定 Rn 空间中的一点 p 和一个非零向量 n 。满足

    n (ip)=0(4)

    的点集 i 称为经过点 p 的超平面。向量 n  为该超平面的法向量。按照这个定义,一条直线是 R2 空间的超平面,一个平面是 R3 空间的超平面,Rn 空间的超平面是 Rn 空间 的一个n-1维仿射子空间。设 n =(a1,a2,...,an),i=(i1,i2,...,in),则(4)式可以表示为

    a1i1+a2i2+...+anin+d=0(5)

    其中,d=−n p

    很重要的一点是,利用一个超平面,我们可以将空间的点分为两部分(式(4)的值大于等于0或者小于0)。同时,利用式(4)我们可以方面的计算空间内一点到超平面的距离:设空间中一点 qq 到超平面的距离即是 qp 在向量 n  上的投影,如图(3)所示。根据

     

    我们即可以求得 q 到超平面的距离。

    图3:q到超平面H的距离

posted @ 2014-03-20 15:51  RubbyZhang  阅读(1995)  评论(2编辑  收藏  举报