设 \(A, B\) 为任意的两个集合, 称

\[\{\{a, b\} \mid a \in A \wedge b \in B\} \]

为 \(A\) 与 \(B\) 的无序积,记作 \(A \& B\).
为方便起见, 将无序积中的无序对 \(\{a, b\}\), 记为 \((a, b)\), 并且允许 \(a=b\). 需要指出的是, 无论 \(a, b\) 是否相等, 均有 \((a, b)=(b, a)\), 因而 \(A \& B=B \& A\).

定义 \(\mathbf{1 4 . 1}\) 无向图 \(G=<V, E>\), 其中
(1) \(V \neq \varnothing\) 为顶点集, 元素称为顶点
(2) \(E\) 为 \(V \& V\) 的有穷多重集, 称为边集, 其元素称为无向边, 简称边

实例
设

\[\begin{aligned} V= & \left\{v_1, v_2, \ldots, v_5\right\}, \\ E= & \left\{\left(v_1, v_1\right),\left(v_1, v_2\right),\left(v_2, v_3\right),\left(v_2, v_3\right),\right. \\ & \left.\left(v_2, v_5\right),\left(v_1, v_5\right),\left(v_4, v_5\right)\right\} \end{aligned} \]

则 \(G=<\boldsymbol{V}, \boldsymbol{E}>\) 为一无向图

定义 \(\mathbf{1 4 . 2}\) 一个有向图 \(D\) 是一个有序的二元组 \(\langle V, E\rangle\), 其中
(1) \(V\) 同定义 \(14.1(1)\).
(2) \(E\) 是笛卡儿积 \(V \times V\) 的有穷多重子集, 称作边集, 其元素称作有向边, 简称为边. 通常用图形来表示无向图和有向图: 用小圆圈 (或实心点) 表示顶点, 用顶点之间的连线表示无向边, 用带箭头的连线表示有向边.

  1. 无向图和有向图统称作图, 但有时也常把无向图简称作图. 通常用 \(G\) 表示无向图\({\mathrm{(Graph)}}\), \(D\) 表示 有向图\({\mathrm{(Directed Graph)}}\), 有时也用 \(G\) 泛指图 (无向的或有向的). 用 \(V(G), E(G)\) 分别表示 \(G\) 的顶点集和边集, \(|V(G)|,|E(G)|\) 分别是 \(G\) 的顶点数和边数. 有向图也有类似的符号.

  2. 顶点数称作图的阶, \(n\) 个顶点的图称作 \(n\) 阶图.

  3. 一条边也没有的图称作零图. \(n\) 阶零图记作 \(N_n\), \(1\) 阶零图 \(N_1\) 称作平凡图. 平凡图只有一个顶点, 没有边.

  4. 在图的定义中规定顶点集 \(V\) 为非空集, 但在图的运算中可能产生顶点集为空集的运算结果, 为此规定顶点集为空集的图为空图, 并将空图记作 \(\varnothing\).

  5. 当用图形表示图时, 如果给每一个顶点和每一条边指定一个符号 (字母或数字, 当然字母还可以带下标), 则称这样的图为标定图, 否则称作非标定图.

  6. 将有向图的各条有向边改成无向边后所得到的无向图称作这个有向图的基图.

  7. 设 \(G=\langle V, E\rangle\) 为无向图, \(e_k=\left(v_i, v_j\right) \in E\), 称 \(v_i, v_j\) 为 \(e_k\) 的端点, \(e_k\) 与 \(v_i\left(v_j\right)\) 关联.

  • ​ 若 \(v_i \neq v_j\), 则 称 \(e_k\) 与 \(v_i\left(v_j\right)\) 的关联次数为 1 ;

  • ​ 若 \(v_i=v_j\), 则称 \(e_k\) 与 \(v_i\) 的关联次数为 2 , 并称 \(e_k\) 为环.

  • ​ 如果顶点 \(v_l\) 不与边 \(e_k\) 关联,则称 \(e_k\) 与 \(v_l\) 的关联次数为 0 .

  • 若两个顶点 \(v_i\) 与 \(v_j\) 之间有一条边连接, 则称这两个顶点相邻. 若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.

  1. 设 \(D=\langle V, E\rangle\) 为有向图, \(e_k=\left\langle v_i, v_j\right\rangle \in E\), 称 \(v_i, v_j\) 为 \(e_k\) 的端点, \(v_i\) 为 \(e_k\) 的始点, \(v_j\) 为 \(e_k\) 的终点, 并称 \(e_k\) 与 \(v_i\left(v_j\right)\) 关联. 若 \(v_i=v_j\), 则称 \(e_k\) 为 \(D\) 中的环.
    若两个顶点之间有一条有向边, 则称这两个顶点相邻. 若两条边中一条边的终点是另一条边 的始点,则称这两条边相邻.
    图 (无向的或有向的) 中没有边关联的顶点称作孤立点.

  2. 设无向图 \(G=\langle V, E\rangle, \forall v \in V\), 称

\[N_G(v)=\{u \mid u \in V \wedge(u, v) \in E \wedge u \neq v\} \]

为 \(v\) 的邻域, 称

\[\bar{N}_G(v)=N_G(v) \cup\{v\} \]

为 \(v\) 的闭邻域, 称

\[I_G(v)=\{e \mid e \in E \wedge e \text { 与 } v \text { 相关联 }\} \]

为 \(v\) 的关联集.
设有向图 \(D=\langle V, E\rangle, \forall v \in V\), 称

\[\Gamma_D^{+}(v)=\{u \mid u \in V \wedge< v, u>\in E \wedge u \neq v\} \]

为 \(v\) 的后继元集, 称

\[\Gamma_D^{-}(v)=\{u \mid u \in V \wedge<u, v>\in E \wedge u \neq v\} \]

为 \(v\) 的先驱元集, 称

\[N_D(v)=\Gamma_D^{+}(v) \cup \Gamma_D^{-}(v) \]

为 \(v\) 的邻域, 称

\[\bar{N}_D(v)=N_D(v) \cup\{v\} \]

为 \(v\) 的闭邻域(包含该点本身).

定义 \(\mathbf{1 4 . 3}\) 在无向图中, 如果关联一对顶点的无向边多于 1 条, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称作重数.

在有向图中, 如果关联一对顶点的有向边多于 1 条, 并且这些边的始点与终点相同 (也就是它们的方向相同), 则称这些边为平行边. 含平行边的图称作多重图, 既不含平行边也不含环的图称作简单图.

定义 \(\mathbf{1 4 . 4}\)

​ 设 \(G=< V, E>\) 为无向图, \(\forall v \in V\), 称 \(v\) 作为边的端点的次数为 \(v\) 的度数, 简称为 度, 记作 \(d_G(v)\). 在不发生混淆时, 略去下标 \(G\), 简记为 \(d(v)\).

​ 设 \(D=< V, E>\) 为有向图, \(\forall v \in V\), 称 \(v\) 作为边的始点的次数为 \(v\) 的出度, 记作 \(d_D^{+}(v)\), 简记为 \(d^{+}(v)\). 称 \(v\) 作为边的终点的次数为 \(v\) 的入度, 记作 \(d_D^{-}(v)\), 简记为 \(d^{-}(v)\). 称 \(d^{+}(v)+d^{-}(v)\) 为 \(v\) 的度数, 记作 \(d_D(v)\), 简记为 \(d(v)\).
注意: 在无向图中, 顶点 \(v\) 上的环以 \(v\) 作 2 次端点. 在有向图中, 顶点 \(v\) 上的环以 \(v\) 作一次始 点和一次终点, 共作 2 次端点.

在无向图 \(G\) 中,令

\[\begin{gathered} \Delta(G)=\max \{d(v) \mid v \in V(G)\} \\ \delta(G)=\min \{d(v) \mid v \in V(G)\} \end{gathered} \]

分别称为 \(G\) 的最大度\({\mathrm{Delta}}\)和最小度\({\mathrm{delta}}\).

可以类似定义有向图 \(D\) 的最大度 \(\Delta(D)\) 、最小度 \(\delta(D)\) 和最大出度 \(\Delta^{+}(D)\) 、最小出度 \(\delta^{+}(D)\) 、最大入度 \(\Delta^{-}(D)\) 、最小入度 \(\delta^{-}(D)\).

\[\begin{aligned} \Delta(D) & =\max \{d(v) \mid v \in V(D)\} \\ \delta(D) & =\min \{d(v) \mid v \in V(D)\} \\ \Delta^{+}(D) & =\max \left\{d^{+}(v) \mid v \in V(D)\right\} \\ \delta^{+}(D) & =\min \left\{d^{+}(v) \mid v \in V(D)\right\} \\ \Delta^{-}(D) & =\max \left\{d^{-}(v) \mid v \in V(D)\right\} \\ \delta^{-}(D) & =\min \left\{d^{-}(v) \mid v \in V(D)\right\} \end{aligned} \]

并把它们分别简记为 \(\Delta, \delta, \Delta^{+}, \delta^{+}, \Delta^{-}, \delta^{-}\).

另外, 称度数为 1 的顶点为悬挂顶点, 与它关联的边称作悬挂边. 度为偶数 (奇数) 的顶点称 作偶度（奇度) 顶点.

下述定理是欧拉于 1736 年给出的, 称作握手定理, 是图论的基本定理.
定理 \(\mathbf{1 4 . 1}\) 在任何无向图中, 所有顶点的度数之和等于边数的 2 倍.
证 图中每条边 (包括环) 均有两个端点, 所以在计算各顶点度数之和时, 每条边均提供 2 度. \(m\) 条边,共提供 \(2 m\) 度.
定理 \(\mathbf{1 4 . 2}\) 在任何有向图中, 所有顶点的度数之和等于边数的 2 倍; 所有顶点的入度之和 等于所有顶点的出度之和, 都等于边数.
证 本定理的证明类似于定理 14.1 .

推论 任何图(无向的或有向的) 中, 奇度顶点的个数是偶数.
证 设图 \(G=\langle V, E\rangle\), 令

\[\begin{aligned} & V_1=\{v \mid v \in V \wedge d(v) \text { 为奇数 }\} \\ & V_2=\{v \mid v \in V \wedge d(v) \text { 为偶数 }\} \end{aligned} \]

​ 则 \(V_1 \cup V_2=V, V_1 \cap V_2=\varnothing\), 由握手定理可知

\[2 m=\sum_{v \in V} d(v)=\sum_{v \in V_1} d(v)+\sum_{v \in V_2} d(v) \]

​ 由于 \(2 m, \sum_{v \in V_2} d(v)\) 均为偶数, 所以 \(\sum_{v \in V_1} d(v)\) 为偶数, 但因 \(V_1\) 中顶点度数为奇数, 所以 \(\left|V_1\right|\) 必为偶数.

​ 设 \(G=\langle V, E\rangle\) 为一个 \(n\) 阶无向图, \(V=\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\), 称 \(d\left(v_1\right), d\left(v_2\right), \cdots, d\left(v_n\right)\) 为 \(G\) 的度数列. 对于顶点标定的无向图, 它的度数列是唯一的.

​ 反之, 对于给定的非负整数列 \(d=\left(d_1, d_2, \cdots\right.\), \(\left.d_n\right)\), 若存在以 \(V=\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\) 为顶点集的 \(n\) 阶无向图 \(G\), 使得 \(d\left(v_i\right)=d_i\), 则称 \(d\) 是可图化的. 特别地, 若所得到的图是简单图, 则称 \(d\) 是可简单图化的. 对有向图还可以类似定义出度列和入度列.

下述定理是显然的.
**定理 **\(\mathbf{1 4 . 4}\) 设 \(G\) 为任意 \(n\) 阶无向简单图, 则 \(\Delta(G) \leqslant n-1 \enspace(菊花图)\).

定义 \(\mathbf{1 4 . 5}\) 设 \(G_1=\left\langle V_1, E_1\right\rangle, G_2=\left\langle V_2, E_2\right\rangle\) 为两个无向图 (两个有向图), 若存在双射函数 \(f: V_1 \rightarrow V_2\), 使得 \(\forall v_i, v_j \in V_1\), \(\left(v_i, v_j\right) \in E_1\) 当且仅当 \(\left(f\left(v_i\right), f\left(v_j\right)\right) \in E_2\left(\left\langle v_i, v_j\right\rangle \in E_1\right.\) 当且仅 当 \(\left\langle f\left(v_i\right), f\left(v_j\right)>\in E_2\right)\), 并且 \(\left(v_i, v_j\right)\) 与 \(\left(f\left(v_i\right), f\left(v_j\right)\right)\left(<v_i, v_j>\right.\) 与 \(\left.<f\left(v_i\right), f\left(v_j\right)>\right)\) 的重数相同, 则称 \(G_1\) 与 \(G_2\) 同构, 记作 \(G_1 \cong G_2\).

附录：Peterson图是一个经典的图论问题，它由朱利叶斯·彼得森（Julius Petersen）于1898年首先提出。Peterson图是一个无向图，它具有10个顶点和15条边，是一个具有特殊性质的图。

Peterson图的特殊之处在于它不具有哈密顿回路，但是有一个长度为5的环（也称为Petersen环），这使得它在研究哈密顿回路和图的着色问题等方面具有重要的意义。此外，Peterson图还是一个具有自相似性质的图，这种自相似性质在某些领域（如代数拓扑学和计算机图形学等）中也具有重要的应用。

Peterson图的绘制方式比较有特色，一般采用一个五芒星的形状来表示，其中五条边表示五个外部的点，而五个内部的点则连接成一个长度为5的环。Peterson图的结构非常复杂，它被广泛应用于图论领域的各种问题，如图的着色、哈密顿回路、匹配问题等等。

定义 \(\mathbf{1 4 . 6}\) 设 \(G\) 为 \(n\) 阶无向简单图, 若 \(G\) 中每个顶点均与其余的 \(n-1\) 个顶点相邻, 则称 \(G\) 为 \(n\) 阶无向完全图, 简称为 \(n\) 阶完全图, 记作 \(K_n(n \geqslant 1)\).
设 \(D\) 为 \(n\) 阶有向简单图, 若 \(D\) 中每个顶点都邻接到其余的 \(n-1\) 个顶点, 则称 \(D\) 为 \(n\) 阶有向完全图.
设 \(D\) 为 \(n\) 阶有向简单图, 若 \(D\) 的基图为 \(n\) 阶无向完全图 \(K_n\), 则称 \(D\) 为 \(n\) 阶竞赛图.

定义 \(\mathbf{1 4 . 7}\) 设 \(G\) 为 \(n\) 阶无向简单图, 若 \(\forall v \in V(G)\), 均有 \(d(v)=k\), 则称 \(G\) 为 \(k\)-正则图. 由定义可知, \(n\) 阶零图是 0 -正则图, \(n\) 阶无向完全图是 \((n-1)\)-正则图,彼得松图是 3-正则图. 由握手定理可知, \(n\) 阶 \(k\)-正则图中, 边数 \(m=\frac{k n}{2}\), 因而当 \(k\) 为奇数时, \(n\) 必为偶数.

定义 \(\mathbf{1 4 . 8}\) 设 \(G=\langle V, E\rangle, G^{\prime}=\left\langle V^{\prime}, E^{\prime}\right\rangle\) 为两个图 (同为无向图或同为有向图), 若 \(V^{\prime} \subseteq V\) 且 \(E^{\prime} \subseteq E\), 则称 \(G^{\prime}\) 为 \(G\) 的子图, \(G\) 为 \(G^{\prime}\) 的母图, 记作 \(G^{\prime} \subseteq G\). 又若 \(V^{\prime} \subset V\) 或 \(E^{\prime} \subset E\), 则称 \(G^{\prime}\) 为 \(G\) 的真子图. 若 \(V^{\prime}=V\), 则称 \(G^{\prime}\) 为 \(G\) 的生成子图.
设 \(G=\langle V, E\rangle, V_1 \subset V\) 且 \(V_1 \neq \varnothing\), 称以 \(V_1\) 为顶点集, 以 \(G\) 中两个端点都在 \(V_1\) 中的边组成边集 \(E_1\) 的图为 \(G\) 的 \(V_1\) 导出子图(顶点）, 记作 \(G\left[V_1\right]\). 又设 \(E_1 \subset E\) 且 \(E_1 \neq \varnothing\), 称以 \(E_1\) 为边集, 以 \(E_1\) 中边关联的顶点为顶点集 \(V_1\) 的图为 \(G\) 的 \(E_1\) 导出子图（边), 记作 \(G\left[E_1\right]\).

定义 \(\mathbf{1 4 . 9}\) 设 \(G=\left\langle V, E\right\rangle\) 为 \(n\) 阶无向简单图, 令 \(\bar{E}=\{(u, v) \mid u \in V \wedge v \in V \wedge u \neq v \wedge(u, v) \notin\) \(E\}\), 称 \(\bar{G}=\langle V, \bar{E}\rangle\) 为 \(G\) 的补图. 若图 \(G \cong \bar{G}\), 则称 \(G\) 为自补图.

(4) 设 \(u, v \in V\) (u, v 可能相邻, 也可能不相邻), 用 \(G \cup(u, v)\) (或 \(G+(u, v))\) 表示在 \(u, v\) 之间 加一条边 \((u, v)\), 称作加新边.

===14.2 通路与回路

定义 \(\mathbf{1 4 . 1 1}\) 设 \(G\) 为无向标定图, \(G\) 中顶点与边的交替序列 \(\Gamma=v_{i_0} e_{j_1} v_{i_1} e_{j_2} \cdots e_{j_1} v_{i_l}\) 称作 \(v_{i_0}\) 到 \(v_{i_l}\) 的通路, 其中 \(v_{i_{r-1}}, v_{i_r}\) 为 \(e_{j_r}\) 的端点, \(r=1,2, \cdots, l, v_{i_0}, v_{i_l}\) 分别称为 \(\Gamma\) 的始点与终点, \(\Gamma\) 中边的条数称作它的长度. 若又有 \(v_{i_0}=v_{i_l}\), 则称 \(\Gamma\) 为回路. 若 \(\Gamma\) 的所有边各异, 则称 \(\Gamma\) 为简单通路. 若又有 \(v_{i_0}=\) \(v_{i_l}\), 则称 \(\Gamma\) 为简单回路. 若所有顶点 (除 \(v_{i_0}\) 与 \(v_{i_l}\) 可能相同外) 各异, 所有边也各异, 则称 \(\Gamma\) 为初级通路或路径. 若又有 \(v_{i_0}=v_{i_l}\), 则称 \(\Gamma\) 为初级回路或圈. 将长度为奇数的圈称作奇圈, 长度为偶数的圈称作偶圈。

​ 另外, 若 \(\Gamma\) 中有边重复出现, 则称 \(\Gamma\) 为复杂通路. 若又有 \(v_{i_0}=v_{i i}\) 则称 \(\Gamma\) 为复杂回路.

\(简单通路和初级通路的区别是：\)

  • \(初级通路一定是简单通路，简单通路不一定是初级通路¹²³\)。
  • \(初级通路是每个结点只经过一次，简单通路是边只经过一次¹²³\)。
  • \(若通路中的所有边互不相同，则称它为简单通路或迹¹³\)。

\(一个简单通路不是初级通路的例子是：在有向图中，从结点A到结点B有一条路径为\)

\[A \rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow D\rightarrow B \]

\(，这条路径中没有重复的边，所以是简单通路，但是有重复的结点D和B，所以不是初级通路⁴\)。😊

定理 \(\mathbf{1 4 . 5}\) 在 \(n\) 阶图 \(G\) 中, 若从顶点 \(u\) 到 \(v(u \neq v)\) 存在通路, 则从 \(u\) 到 \(v\) 存在长度小于等于 \(n-1\) 的通路.

​ 推论 在 \(n\) 阶图 \(G\) 中, 若从顶点 \(u\) 到 \(v(u \neq v)\) 存在通路, 则 \(u\) 到 \(v\) 一定存在长度小于等于 \(n-1\) 的初级通路 (路径).

定理 \(\mathbf{1 4 . 6}\) 在 \(n\) 阶图 \(G\) 中, 若存在 \(v\) 到自身的回路, 则一定存在 \(v\) 到自身长度小于等于 \(n\) 的 回路.
推论 在 \(n\) 阶图 \(G\) 中, 若存在 \(v\) 到自身的简单回路, 则一定存在 \(v\) 到自身长度小于等于 \(n\) 的 初级回路.

​ 长度相同的圈都是同构的, 因此在同构意义下给定长度的圈只有一个.

​ 在标定图中, 圈表示成顶点和边的标记序列. 只要两个标记序列不同, 就认为这两个圈不同, 称这两个圈在定义意义下不同.

定义 \(\mathbf{1 4 . 1 2}\) 设无向图 \(G=\langle V, E\rangle\), 若 \(u, v \in V\) 之间存在通路, 则称 \(u, v\) 是连通的, 记作 \(u \sim v\). 规定 : \(\forall v \in V, v \sim v\).
若无向图 \(G\) 是平凡图或 \(G\) 中任何两个顶点都是连通的, 则称 \(G\) 为连通图,否则称 \(G\) 为非连通图.
由定义不难看出, 无向图中顶点之间的连通关系是 \(V\) 上的等价关系, 具有自反性、对称性和传递性.
完全图 \(K_n(n \geqslant 1)\) 都是连通图, 而零图 \(N_n(n \geqslant 2)\) 都是非连通图.

定义 \(\mathbf{1 4 . 1 3}\) 设无向图 \(G=\langle V, E\rangle, V_i\) 是 \(V\) 关于顶点之间的连通关系的一个等价类, 称导出子图 \(G\left[V_i\right]\) 为 \(G\) 的一个连通分支. \(G\) 的连通分支数记作 \(p(G)\).
由定义, 若 \(G\) 为连通图, 则 \(p(G)=1\); 若 \(G\) 为非连通图, 则 \(p(G) \geqslant 2\). 在所有的 \(n\) 阶无向图中, \(n\) 阶零图是连通分支最多的, \(p\left(N_n\right)=n\).

定义 \(\mathbf{1 4 . 1 4}\) 设 \(u, v\) 为无向图 \(G\) 中的任意两个顶点, 若 \(u \sim v\), 则称 \(u, v\) 之间长度最短的通路为 \(u, v\) 之间的短程线. 短程线的长度称为 \(u, v\) 之间的距离, 记作 \(d(u, v)\). 当 \(u, v\) 不连通时, 规定 \(d(u, v)=\infty\).
距离有以下性质: \(\forall u, v, w \in V(G)\),

  1. \(d(u, v) \geqslant 0\), 且当且仅当 \(u=v\) 时等号成立.
  2. 具有对称性: \(d(u, v)=d(v, u)\).
  3. 满足三角不等式: \(d(u, v)+d(v, w) \geqslant d(u, w)\).

定义 \(\mathbf{1 4 . 1 5}\) 设无向图 \(G=\langle V, E\rangle.\) 若存在 \(V^{\prime} \subset V\) 使得 \(p(G-V^{\prime}) > p(G)\), 且对于任意的 \(V^{\prime \prime} \subset\) \(V^{\prime}\), 均有 \(p\left(G-V^{\prime \prime}\right)=p(G)\), 则称 \(V^{\prime}\) 是 \(G\) 的点割集. 若 \(V^{\prime}=\{v\}\), 则称 \(v\) 为割点.