大学物理——波动光学

波动光学

• ${\displaystyle \mathrm{光}\mathrm{程}=nx=\frac{cx}{u}=c\mathrm{\Delta }t}$

  ${\displaystyle \mathrm{光}\mathrm{程}\mathrm{差}=\delta =L_2-L_1=\frac{2\pi }{\lambda }(r_2-r_1)}$

  Attention:光在不同介质中的 $\mathrm{频}\mathrm{率}f$ 不改变!!

• 杨氏双缝结论:

  • 原始式子: ${\displaystyle d\cdot \frac{x_{\mathrm{明}}}{D}=\pm k\lambda }$

  • 在投射屏幕上: ${\displaystyle x_{\mathrm{明}}=\pm k\frac{D\lambda }{d},x_{\mathrm{暗}}=\pm (k+\frac{1}{2})\frac{D\lambda }{d}}$

  • 条纹间距: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{D\lambda }{d}}$

  • 复色光发生色散时: $\mathrm{内}\mathrm{紫}$$\mathrm{外}\mathrm{红}$ ${\lambda }_{\mathrm{短}}\Rightarrow {\lambda }_{\mathrm{长}}$

  • ${\displaystyle \mathrm{波}\mathrm{长}\mathrm{为}\lambda \mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{色}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{光}\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{入}\mathrm{射}\mathrm{到}\mathrm{双}\mathrm{缝}\mathrm{上}，S_{2}P-S_{1}P=t\lambda ,}$$\mathrm{若}\mathrm{闭}\mathrm{合}\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{条}\mathrm{缝}，P\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{光}\mathrm{强}\mathrm{均}\mathrm{为}$

    ${\displaystyle I_0,\mathrm{求}\mathrm{把}\mathrm{双}\mathrm{缝}\mathrm{打}\mathrm{开}\mathrm{后}，P\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{光}\mathrm{强}\mathrm{值}I}$

    • ${\displaystyle \mathrm{解}:I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\mathrm{\Delta }\varphi ,\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi }{\lambda }(S_{2}P-S_{1}P),I_1=I_2=I_0}$

• 洛艾镜实验（半波损失）

• 薄膜干涉/平型膜等倾干涉

  • $\mathrm{设}{n}_2\mathrm{是}\mathrm{介}\mathrm{质}\mathrm{的}\mathrm{折}\mathrm{射}\mathrm{率},n_1\mathrm{是}\mathrm{空}\mathrm{气}\mathrm{折}\mathrm{射}\mathrm{率},d\mathrm{为}\mathrm{薄}\mathrm{膜}\mathrm{厚}\mathrm{度}$

  • ${\displaystyle \mathrm{光}\mathrm{程}\mathrm{差}:\delta =2d\sqrt{n_2^2-n_1^2{\sin }^{2}i}+(\frac{\lambda }{2})}$

  • $$\begin{gathered} \mathrm{上}\mathrm{式}=k\lambda ,\mathrm{明}\mathrm{条}\mathrm{纹}; \\ \mathrm{上}\mathrm{式}=(k+\frac{1}{2})\lambda ,\mathrm{暗}\mathrm{条}\mathrm{纹} \end{gathered}$$

  • 将上式简化: ${\displaystyle 2ne+(\frac{\lambda }{2})=k_{center}\lambda \Rightarrow 2n\mathrm{\Delta }e=\mathrm{\Delta }{k}_{center}\lambda \Rightarrow \mathrm{\Delta }e=\frac{\lambda }{2n}}$

  • 当面光源照射薄膜时，屏幕上形成的干涉图样是一组明暗相间的同心圆环（内疏外密）；

  • 半径越大的干涉条纹，对应的入射角越大，则干涉级越低，因此中心处干涉级最高。

  • 透射光干涉图样和反射光干涉图样总是互补的。

  • $\mathrm{若}{n}_2\mathrm{是}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{或}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{折}\mathrm{射}\mathrm{率}，\mathrm{则}\mathrm{有}\mathrm{附}\mathrm{加}\mathrm{光}\mathrm{程}\mathrm{差}，\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{要}\mathrm{加}\mathrm{上}\lambda /2$

    • 增透膜：反射光干涉相消 ${\displaystyle 2n_{c}e=(k+\frac{1}{2})\lambda }$

    • 增反膜：反射光干涉相长 ${\displaystyle 2n_{c}e=(k)\lambda }$

• 等厚干涉——劈尖干涉

  • 平行光垂直照射厚度不均匀的薄膜

    • 光程差: ${\displaystyle \delta =2n_{2}d+(\frac{\lambda }{2})},\mathrm{若}{n}_2\mathrm{为}\mathrm{最}\mathrm{值}\mathrm{则}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{括}\mathrm{号}\mathrm{里}\mathrm{的}\mathrm{值}$
    • 条纹宽度: ${\displaystyle l=\frac{\lambda }{2n_2\theta }}$

  • 当用白光照射时，将看到由劈尖边缘逐渐分开的彩色直条纹。

  • 牛顿环： ${\displaystyle \delta =2n_{\mathrm{空}\mathrm{气}}e+\frac{\lambda }{2}}$

  • ${\displaystyle e\mathrm{满}\mathrm{足}:(R-e{)}^2+(r{)}^2=R^2\Rightarrow e=\frac{r^2}{2R}}$

  • 干涉图样是一组明暗相间的同心圆环；

  • 中心处干涉级最低，反射光干涉若中心处厚度为零，则中心处为暗纹。

    $$\begin{gathered} \mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{结}\mathrm{论}: \\ \mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{膜}\mathrm{的}\mathrm{厚}\mathrm{度}\mathrm{增}\mathrm{大}，\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{断}\mathrm{冒}\mathrm{出}\mathrm{条}\mathrm{纹} \\ \mathrm{牛}\mathrm{顿}\mathrm{环}\mathrm{的}\mathrm{透}\mathrm{镜}\mathrm{与}\mathrm{平}\mathrm{板}\mathrm{玻}\mathrm{璃}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{增}\mathrm{大}\mathrm{时}，\mathrm{圆}\mathrm{环}\mathrm{不}\mathrm{断}\mathrm{向}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{收}\mathrm{缩} \end{gathered}$$

• 光的单缝夫琅禾费衍射:

  • ​ ${\displaystyle a\sin \theta =\pm 2k\frac{\lambda }{2},\mathrm{暗}\mathrm{纹},}$对应$2k$个半波带, $k=1,2,3,...$

  • ​ ${\displaystyle a\sin \theta =\pm (2k+1)\frac{\lambda }{2},\mathrm{明}\mathrm{纹}},$对应$2k+1$个半波带, $k=1,2,3,...$

  • 第$k$级明纹的角宽度: $\mathrm{\Delta }{\displaystyle {\theta }_k=\frac{\lambda }{a}}$

  • 中央明纹的角宽度: ${\displaystyle {\theta }_0=\mathrm{\Delta }{\theta }_1-\mathrm{\Delta }{\theta }_{-1}=2\frac{\lambda }{a}}$

  • 线宽度: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=f\mathrm{\Delta }\theta =f\cdot \frac{\lambda }{a}}$

  • 中央明纹线宽度: ${\displaystyle x_0=2f\mathrm{\Delta }\theta =2f\cdot \frac{\lambda }{a}}$

  • 中央明纹和第 $k$ 级明纹中心的距离 $x_k$:

    • ${\displaystyle a\sin \theta =(k+\frac{1}{2})\lambda ,\sin \theta =\frac{x_k}{f}\Rightarrow x_k=\frac{(2k+1)}{2}f\frac{\lambda }{a}}$

  • 特别注意：与干涉明暗纹的条件正好相反！！

  • ${\displaystyle a\sin \theta }$只是边缘两支光线的光程差（最大光程差）

  • 画图方法： 连接P点和透镜光心，并做反向延长线。在透镜前方做关于透镜光心的光的平行线。

  • ${\displaystyle \theta \mathrm{足}\mathrm{够}\mathrm{小}\mathrm{时},\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{x}{f},\Rightarrow x_{\mathrm{暗}}=\frac{2k}{2}f\frac{\lambda }{a},x_{\mathrm{明}}=\frac{(2k+1)}{2}f\frac{\lambda }{a}}$

    布拉格方程是给出晶体X射线衍射条件的方程。 [1]

    $2d\sin \theta =n\lambda ，n=1,2\dots$

• 最小分辨角:${\displaystyle \theta =1.22\frac{\lambda }{D}}$ ， 分辨率 ${\displaystyle R=\frac{1}{\theta }}$

• 光栅方程（主极大）:

  • ${\displaystyle \mathrm{明}:(a+b)\sin \theta =\pm k\lambda ,k=0,1,2,3,...}$

    • ${\displaystyle \mathrm{暗}:(a+b)\sin \theta =\pm m\frac{\lambda }{N},m=1,2,3,...,(N-1),(N+1),...}$

  • 相邻两个主极大之间共有$N–1$条暗纹， $N–2$条次级明纹。

  • 缺级——干涉要受到单缝衍射的调制 ${\displaystyle k=\frac{d}{a}{k}^{\prime }=\frac{a+b}{a}{k}^{\prime },k^{\prime }=1,2,3,...}$

  • 斜入射： ${\displaystyle (a+b)(\sin {\alpha }_{\mathrm{左}}\pm \sin {\theta }_{\mathrm{右}})=\pm k\lambda }$

  • 光栅分辨本领：${\displaystyle R=\frac{\lambda }{\mathrm{\Delta }\lambda }=kN=k\frac{a+b}{a}}$

    • 推导过程：$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{瑞}\mathrm{利}\mathrm{判}\mathrm{据}，\mathrm{波}\mathrm{长}\lambda \mathrm{谱}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{第}k\mathrm{级}\mathrm{主}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{外}\mathrm{侧}\mathrm{的}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{小}$

      $\mathrm{与}\mathrm{波}\mathrm{长}\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda \mathrm{的}\mathrm{第}k\mathrm{级}\mathrm{主}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{重}\mathrm{合}\mathrm{时}，$

      $\mathrm{两}\mathrm{者}\mathrm{恰}\mathrm{能}\mathrm{分}\mathrm{辨}\mathrm{出}\mathrm{来}。\mathrm{设}\mathrm{光}\mathrm{栅}\mathrm{常}\mathrm{量}\mathrm{为}d，\mathrm{刻}\mathrm{痕}\mathrm{数}\mathrm{量}\mathrm{为}N\mathrm{则}\mathrm{有}:$

      $\mathrm{明}\mathrm{纹}\mathrm{条}\mathrm{件}：{\displaystyle d\sin \theta =k(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda )}$

      $\mathrm{暗}\mathrm{纹}\mathrm{条}\mathrm{件}：{\displaystyle d\sin \theta =k\lambda +1\cdot \frac{\lambda }{N}}$

  • 光的角色散(散射角随波长的变化率）:

    • ${\displaystyle D=\frac{d\theta }{d\lambda }=\frac{k}{d\cdot \cos \theta }}$
    • ${\displaystyle d\sin \theta =k\lambda (\mathrm{求}\mathrm{导})\Rightarrow d\cos \theta \mathrm{d}\theta =k\mathrm{d}\lambda }$

• 光的偏振:

  • 线偏振光光强$I_0$,透过检偏振器光强$I$:
  • 马吕斯定律: ${\displaystyle I=I_0\cdot {\cos }^2\alpha }$
  • 当入射角为一定值时,$\mathrm{反}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{偏}\mathrm{振}$，振动方向垂直入射面,此时入射角为$i_B$,称为布儒斯特角.
    • ${\displaystyle \tan i_B=\frac{n_2}{n_1}}$
    • 此时折射角与入射角之和为90°
  • $\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{片}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{一}\mathrm{块}\mathrm{普}\mathrm{通}\mathrm{透}\mathrm{明}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{板}\mathrm{看}\mathrm{起}\mathrm{来}\mathrm{有}\mathrm{彩}\mathrm{色}\mathrm{条}\mathrm{纹}$
  • $\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{方}\mathrm{法}：\mathrm{把}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{版}\mathrm{夹}\mathrm{在}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{片}\mathrm{之}\mathrm{间}$

• 晶体的双折射: ${\displaystyle \mathrm{寻}\mathrm{常}\mathrm{光}(o\mathrm{光},\mathrm{ordinary}),\mathrm{非}\mathrm{常}\mathrm{光}(e\mathrm{光},\mathrm{extraordinary})}$

  • 四分之一波片厚度: ${\displaystyle d_{1/4}=\frac{\lambda }{4(n_0-n_e)}}$

    • 作用：$\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}\Leftarrow \Rightarrow (\mathrm{椭})\mathrm{圆}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}$

  • ${\displaystyle }$二分之一波片厚度: ${\displaystyle d_{1/2}=\frac{\lambda }{2(n_0-n_e)}}$

    • 作用：$\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}\mathrm{转}\mathrm{过}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{角}\mathrm{度}$

  • $E_{2o}\mathrm{与}{E}_{2e}\mathrm{是}\mathrm{相}\mathrm{干}\mathrm{光}，\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{的}\mathrm{相}\mathrm{位}\mathrm{差}\mathrm{是}\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi }{\lambda }d(n_o-n_e)+\pi$

  • $\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{四}\mathrm{分}\mathrm{之}\mathrm{一}\mathrm{波}\mathrm{片}:\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi }{\lambda }\cdot \frac{\lambda }{4}+\pi$

    • 一束单色线偏振光垂直入射到四分之一波片，讨论出射光的偏振状态
    • $ans:\mathrm{当}\mathrm{入}\mathrm{射}\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}\mathrm{的}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{化}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{与}\mathrm{波}\mathrm{片}\mathrm{光}\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}\mathrm{为}0\mathrm{或}\pi /2\mathrm{时}，\mathrm{出}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{为}\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}。$ $\mathrm{若}\mathrm{为}\pi /4,\mathrm{出}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{为}\mathrm{圆}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}。\mathrm{其}\mathrm{余}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{为}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}。$
    • $reason：\mathrm{入}\mathrm{射}\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}\mathrm{的}\mathrm{光}\mathrm{矢}\mathrm{量}\mathrm{振}\mathrm{动}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{与}\mathrm{波}\mathrm{片}\mathrm{光}\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}\mathrm{为}\pi /4,\mathrm{波}\mathrm{片}\mathrm{内}\mathrm{的}o\mathrm{光}\mathrm{和}e\mathrm{光}\mathrm{的}\mathrm{光}\mathrm{矢}\mathrm{量}$$\mathrm{的}\mathrm{振}\mathrm{幅}\mathrm{相}\mathrm{等},o\mathrm{光}\mathrm{和}e\mathrm{光}\mathrm{的}\mathrm{在}\mathrm{入}\mathrm{点}\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{相}\mathrm{位}\mathrm{相}\mathrm{等}，\mathrm{在}\mathrm{出}\mathrm{射}\mathrm{点}\mathrm{处}\mathrm{相}\mathrm{差}\pm \pi /2,\mathrm{合}\mathrm{成}\mathrm{为}\mathrm{圆}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}$
    • 一束单色圆偏振光垂直入射到四分之一波片，讨论出射光的偏振状态
    • $ans:\mathrm{线}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{光}$

  • $\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{二}\mathrm{分}\mathrm{之}\mathrm{一}\mathrm{波}\mathrm{片}:\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi }{\lambda }\cdot \frac{\lambda }{2}+\pi$