波动光学

  • \({\displaystyle 光程=nx=\frac{cx}{u}=c\Delta t}\)

    \({\displaystyle 光程差=\delta=L_2-L_1=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)}\)

    Attention:光在不同介质中的 \(频率f\) 不改变!!

  • 杨氏双缝结论:

    • 原始式子: \({\displaystyle d \cdot \frac{x_明}{D}=\pm k\lambda}\)

    • 在投射屏幕上: \({\displaystyle x_明=\pm k\frac{D\lambda}{d}, x_暗=\pm(k+\frac{1}{2})\frac{D\lambda}{d}}\)

    • 条纹间距: \({\displaystyle \Delta x = \frac{D\lambda}{d}}\)

    • 复色光发生色散时: \(\color{purple}内紫\)\(\color{red}外红\) \(\lambda_短 \Rightarrow \lambda_长\)

    • \({\displaystyle 波长为\lambda的单色平行光垂直入射到双缝上，S_2P-S_1P=t\lambda,}\)\(若闭合其中的一条缝，P点的光强均为\)

      \({\displaystyle I_0, 求把双缝打开后，P点的光强值I}\)

      • \({\displaystyle \textcolor{purple}{解: I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\Delta\phi, \space \Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(S_2P-S_1P), I_1=I_2=I_0}}\)

  • 洛艾镜实验（半波损失）

  • 薄膜干涉/平型膜等倾干涉

    • \(设 n_2是介质的折射率,n_1是空气折射率,d为薄膜厚度\)

    • \({\displaystyle 光程差: \delta=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}} + (\frac{\lambda}{2})}\)

    • $上式=k\lambda, 明条纹;\newline \enspace上式 = (k+\frac{1}{2})\lambda,暗条纹 $

    • 将上式简化: \({\displaystyle 2ne+(\frac{\lambda}{2})=k_{center}\lambda\Rightarrow 2n\Delta e = \Delta k_{center}\lambda \Rightarrow \Delta e=\frac{\lambda}{2n}}\)

    • 当面光源照射薄膜时，屏幕上形成的干涉图样是一组明暗相间的同心圆环（内疏外密）；

    • 半径越大的干涉条纹，对应的入射角越大，则干涉级越低，因此中心处干涉级最高。

    • 透射光干涉图样和反射光干涉图样总是互补的。

    • \(若n_2是最大或最小的折射率，则有附加光程差，也就是要加上\lambda/2\)

      • 增透膜：反射光干涉相消 \({\displaystyle 2n_ce=(k+\frac{1}{2})\lambda}\)

      • 增反膜：反射光干涉相长 \({\displaystyle 2n_ce=(k)\lambda}\)

  • 等厚干涉——劈尖干涉

    • 平行光垂直照射厚度不均匀的薄膜

      • 光程差: \({\displaystyle \delta=2n_2d+(\frac{\lambda}{2})}, 若n_2为最值则需要加上括号里的值\)
      • 条纹宽度: \({\displaystyle l=\frac{\lambda}{2n_2\theta}}\)

    • 当用白光照射时，将看到由劈尖边缘逐渐分开的彩色直条纹。

    • 牛顿环： \({\displaystyle \delta=2n_{空气}e+\frac{\lambda}{2}}\)

    • \({\displaystyle e满足:(R-e)^2+(r)^2=R^2 \space\Rightarrow\space e = \frac{r^2}{2R}}\)

    • 干涉图样是一组明暗相间的同心圆环；

    • 中心处干涉级最低，反射光干涉若中心处厚度为零，则中心处为暗纹。

      \(简单结论: \newline平行平面膜的厚度\textcolor{green}{增大}，中心处不断\textcolor{blue}{冒出}条纹\newline 牛顿环的透镜与平板玻璃的距离\textcolor{green}{增大}时，圆环不断向中心\textcolor{blue}{收缩}\)

  • 光的单缝夫琅禾费衍射:

    • ​ \({\displaystyle a\sin{\theta}=\pm 2k\frac{\lambda}{2},暗纹,}\)对应\(2k\)个半波带, \(k=1,2,3,...\)

    • ​ \({\displaystyle a\sin{\theta}=\pm (2k + 1)\frac{\lambda}{2} ,明纹},\)对应\(2k+1\)个半波带, \(k=1,2,3,...\)

    • 第\(k\)级明纹的角宽度: \({\Delta\displaystyle \theta_k=\frac{\lambda}{a}}\)

    • 中央明纹的角宽度: \({\displaystyle \theta_0=\Delta\theta_1-\Delta\theta_{-1}=2\frac{\lambda}{a}}\)

    • 线宽度: \(\displaystyle \Delta x=f\Delta\theta=f\cdot\frac{\lambda}{a}\)

    • 中央明纹线宽度: \(\displaystyle x_0=2f\Delta\theta=2f\cdot\frac{\lambda}{a}\)

    • 中央明纹和第 \(k\) 级明纹中心的距离 \(x_k\):

      • \({\displaystyle a\sin\theta=(k+\frac{1}{2})\lambda, \space \sin\theta=\frac{x_k}{f} \textcolor{blue}{\Rightarrow x_k = \frac{(2k+1)}{2}f\frac{\lambda}{a}}}\)

    • 特别注意：与干涉明暗纹的条件正好相反！！

    • \({\displaystyle a\sin\theta}\)只是边缘两支光线的光程差（最大光程差）

    • 画图方法： 连接P点和透镜光心，并做反向延长线。在透镜前方做关于透镜光心的光的平行线。

    • \({\displaystyle \theta足够小时,\sin\theta \approx \tan\theta=\frac{x}{f},\Rightarrow x_暗=\frac{2k}{2}f\frac{\lambda}{a}, \textcolor{blue}{\space x_明=\frac{(2k + 1)}{2}f\frac{\lambda}{a}}}\)

      布拉格方程是给出晶体X射线衍射条件的方程。 [1]

      \(2d\sinθ=nλ，n=1,2…\)

  • 最小分辨角:\({\displaystyle \theta=1.22\frac{\lambda}{D}}\) ， 分辨率 \({\displaystyle R = \frac{1}{\theta}}\)

  • 光栅方程（主极大）:

    • \({\color{red}\displaystyle 明:(a+b)\sin\theta=\pm k\lambda, k=0,1,2,3,...}\)

      • \({\displaystyle 暗: (a+b)\sin\theta=\pm m\frac{\lambda}{N}, m=1,2,3,...,(N-1),(N+1),...}\)

    • 相邻两个主极大之间共有\(N–1\)条暗纹， \(N–2\)条次级明纹。

    • 缺级——干涉要受到单缝衍射的调制 \({\displaystyle k=\frac{d}{a}k'=\frac{a+b}{a}k', k'=1,2,3,...}\)

    • 斜入射： \(\color{red}{\displaystyle (a+b)(\sin\alpha_左\pm\sin\theta_右)=\pm k\lambda}\)

    • 光栅分辨本领：\({\displaystyle R = \frac{\lambda}{\mathrm{\Delta\lambda}}=kN=k\frac{a+b}{a}}\)

      • 推导过程：\(根据瑞利判据，波长\lambda谱线的第k级主极大外侧的\textcolor{blue}{第一个极小}\)

        \(与波长\lambda+\Delta\lambda的第k级\textcolor{blue}{主极大}重合时，\)

        \(两者恰能分辨出来。设光栅常量为d，刻痕数量为N则有:\)

        \(明纹条件：{\displaystyle d\sin\theta=k(\lambda+\Delta\lambda)}\)

        \(暗纹条件：{\displaystyle d\sin\theta=k\lambda+1\cdot\frac{\lambda}{N}}\)

    • 光的角色散(散射角随波长的变化率）:

      • \({\displaystyle D=\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{k}{d\cdot \cos \theta} }\)
      • \({\displaystyle d\sin\theta=k\lambda (求导)\Rightarrow d\cos\theta \mathrm{d}\theta=k\mathrm{d\lambda}}\)

  • 光的偏振:

    • 线偏振光光强\(I_0\),透过检偏振器光强\(I\):
    • 马吕斯定律: \({\displaystyle I=I_0\cdot \cos^2\alpha}\)
    • 当入射角为一定值时,\(\color{blue}反射光完全偏振\)，振动方向垂直入射面,此时入射角为\(i_B\),称为布儒斯特角.
      • \({\displaystyle \tan i_B=\frac{n_2}{n_1}}\)
      • 此时折射角与入射角之和为90°
    • \(使用\textcolor{blue}{偏振片}可以使得一块普通透明三角板看起来有彩色条纹\)
    • \(操作方法：把三角版夹在两个偏振片之间\)

  • 晶体的双折射: \({\displaystyle 寻常光(o光,\mathrm{ordinary}),非常光(e光,\mathrm{extraordinary})}\)

    • 四分之一波片厚度: \({\displaystyle d_{1/4}=\frac{\lambda }{4(n_0-n_e)}}\)

      • 作用：\(\color{red} 线偏振光 \Leftarrow \Rightarrow (椭)圆偏振光\)

    • \({\displaystyle }\)二分之一波片厚度: \({\displaystyle d_{1/2}=\frac{\lambda }{2(n_0-n_e)}}\)

      • 作用：\(\color{red} 线偏振光转过一个角度\)

    • \(E_{2o}与E_{2e}是相干光，它们的相位差是\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_o-n_e)+\pi\)

    • $经过四分之一波片:\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot \frac{\lambda}{4}+\pi $

      • 一束单色线偏振光垂直入射到四分之一波片，讨论出射光的偏振状态
      • \(ans: 当入射线偏振光的\textcolor{blue}{偏振化方向}与波片\textcolor{blue}{光轴}的夹角为0或\pi/2时，出射光为\textcolor{red}{线偏振光}。\) \(若为\pi/4, 出射光为\textcolor{red}{圆偏振光}。其余情况为椭圆偏振光。\)
      • \(reason：入射线偏振光的光矢量振动方向与波片光轴的夹角为\pi/4,波片内的o光和e光的光矢量\)\(的振幅相等,o光和e光的在入点处的相位相等，在出射点处相差\pm \pi/2,合成为圆偏振光\)
      • 一束单色圆偏振光垂直入射到四分之一波片，讨论出射光的偏振状态
      • \(ans: \textcolor{red}{线偏振光}\)

    • $经过二分之一波片:\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot \frac{\lambda}{2}+\pi $