基于Étendue守恒定律，探讨压缩光展角的可能性

1. Étendue守恒定律

Étendue守恒是光学系统设计中是重要的约束条件，比如在设计聚光系统、投影系统和成像设备时，必须考虑Étendue的守恒来优化光的收集和传播效率。

1.1. Étendue的定义

Étendue（光扩展度）是一种量度，表示光束的几何扩展和角扩展的乘积。它描述了光源发出的光覆盖的空间区域以及光束传播方向的范围。简单来说，它表示光线在空间和角度上的分布。

Étendue在一个光学系统中保持守恒，除非存在光的损耗（如吸收、散射等）。这种守恒性质非常类似于热力学中的熵守恒。

1.2. Étendue守恒定律

Étendue守恒定律表明：在一个无损耗光学系统中，光从光源传播到光学器件的过程中，光束的Étendue是守恒的。这意味着即使经过反射、折射或其他光学操作，光的几何和角度的扩展不能减少。

Étendue的数学定义为：

\[E = A \cdot \Omega \]

其中，( A ) 是光源的有效面积，( \(\Omega\) ) 是光束的立体角。如果系统中有透镜或反射器，Étendue会相应调整，但总量不会减少。

1.3. Étendue的应用

光学设计：在设计光学系统时，Étendue的守恒会限制光束的聚焦程度和光的采集效率。例如，投影仪、相机镜头和太阳能集中系统设计时都要考虑Étendue的守恒。
效率优化：光的Étendue守恒意味着不能使用光学系统来集中或减少光束的扩展，否则会违反物理定律。这限制了光收集效率的理论极限。

[!NOTE] 一个经典应用
在一个无损失的光学系统中，如果你试图通过增加一个透镜来将光源的光束更加集中（即减小光束的立体角），光束的几何扩展（面积）也必须相应地增加，以确保Étendue守恒。因此，光学系统在提高亮度或效率时面临Étendue的物理限制。

2. 改变光展角的可能性

由于 Étendue（光扩展度）守恒定律，即在无损的光学系统中，光的Étendue保持不变。结合Étendue的公式可以得出，改变光展角是可能的。

2.1. 公式重塑

假设两平面

\[\begin{array}{c} \xi =n_{0}^{2}A_{s0}\sin ^2\theta _{a0}\\ \xi =n_{1}^{2}A_{s1}\sin ^2\theta _{a1}\\ \end{array} \\ \]

其中：

( \(\xi\) ) 是Étendue（光扩展度），它在无损耗的光学系统中是守恒的。
( \(n^2\) ) 是介质折射率的平方。
( \(A_s\) ) 是光源的有效面积。
( \(\theta_a\) ) 是光束的最大发散角（扩展角）。

通过变形重整，

\[\frac{n_{0}^{2}A_{s0}}{n_{1}^{2}A_{s1}}=\frac{\sin ^2\theta _{a1}}{\sin ^2\theta _{a0}} \]

对于太阳的有效面积 ( \(A_{s0}\) ) 、太阳光展角（ \(\theta_{a0}\) ）、真空折射率 \(n_{0}=1\)、是不会变的。为了实现光展压缩，\(sin\theta 比值\)>1。可以得到

\[\frac{A_{s0}}{n_{1}^{2}A_{s1}}>1 \]

2.2. 结论

压缩光展角是可行的。可以分别从 (\(n^2\)) 和 (\(A_s\))两个方面进行改变：

改变折射率 (\(n^2\))：
- 增加折射率 (n)：根据公式，如果你增加介质的折射率 (n)，光束在该介质中的光学扩展角 (\(\theta_a\)) 会减小，以保持Étendue守恒。比如，在高折射率材料中，光线会更倾向于沿法线传播，减少发散角。
- 降低折射率 (n)：如果你降低折射率，光束的发散角会增大。光线在低折射率材料中更容易扩散开来。
改变光源的有效面积 (\(A_s\))：
- 增加面积 (\(A_s\))：增加光源的面积也会导致扩展角的减小。大的光源意味着光的几何扩展增加，因此发散角必须相应减小，以保持Étendue守恒。
- 减少面积 (\(A_s\))：减小光源面积会导致扩展角增大，以保持总Étendue不变。

2.3. 总结

通过调整折射率 (n) 和光源面积 (\(A_s\))，可以在一定范围内改变光的扩展角 (\(\theta_a\))，但这种改变受限于Étendue守恒定律。

也就是说，可以调整光束的发散角度，但不能在不影响其他变量的情况下任意减小它。虽然无法减少总的Étendue，但是从理论上分析，我们可以通过调整折射率，以实现系统中的总光束扩展度的调整，尽管这依然受物理限制，不能通过这些调整使光束的发散角无限减小或集中到某个理想点，但是这仍然为我们的研究提供了可能性。