3_确定性推理

推理概述

推理的基本概念

推理就是按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程

推理的分类

分类方式	类别1	类别2
逻辑基础	演绎推理	归纳推理
所用知识的确定性	确定性推理	不确定性推理
推理策略是否使用启发式知识	启发式推理	非启发式推理

详谈逻辑推理分类

推理方式	概念	常用形式	特点
演绎推理	一般到个别	三段论法(大前提、小前提、结论)	不能增殖新知识
归纳推理	个别到一般	完全归纳推理，不完全归纳推理	可以增殖新知识

产生式系统的推理

可以分为以下类别：正向推理，逆向推理，双向推理

推理形式	优点	缺点
正向推理	较为直观	推理无明确的目标，求解问题时可能会执行许多与解无关的操作，导致推理效率较低
逆向推理	不必寻找和使用那些与假设目标无关的信息和规则，推理过程的目标明确	当用户对解的情况认识不清时，由系统自主选择假设目标的盲目性比较大，若选择不好，会影响系统效率。

正向推理

把用户提供的初始证据放入综合数据库。
检查综合数据库中是否包含了问题的解，若已包含，则求解结束，并成功推出；否则执行下一步。
检查知识库中是否有可用知识，若有，形成当前可用知识集，执行下一步；否则转(5)。
按照某种冲突消解策略，从当前可用知识集中选出一条规则进行推理，并将推出的新事实加入综合数据库种，然后转(2)。
询问用户是否可以进一步补充新的事实，若可补充，则将补充的新事实加入综合数据库中，然后转(3)；否则表示无解，失败退出。

逆向推理

将要求证的目标（称为假设）构成一个假设集。
从假设集中选出一个假设，检查该假设是否在综合数据库中。
- 若不在，则执行第3步。
- 若在，则该假设成立，删除假设集中成立的假设，重复执行第2步。
- 此时，若假设集为空，则成功退出，否则仍执行。
检查该假设是否可由知识库的某个知识导出，将知识库中可以导出该假设的所有知识构成一个可用知识集。
检查可用知识集是否为空，若是，失败退出；否则执行下一步。
按冲突消解策略从可用知识集中取出一个知识。将该知识的前提中的每个子条件都作为新的假设放入假设集，删除原假设，然后转(2)。

双向推理

结合版，可以先正向后逆向，也可以先逆向后正向

例子

假设知识库中包含有以下2条规则：

r1 ：IF B THEN C

r2 ：IF A THEN B

已知初始证据A，求证目标C。

正向推理求解

推理开始前，综合数据库为空。
推理开始后，先把A放入综合数据库，然后检查综合数据库中是否含有该问题的解，回答为“N”。
接着检查知识库中是否有可用知识，显然r2可用，形成仅含r2 的知识集。从该知识集中取出r2 ，推出新的实事B，将B加入综合数据库。
检查综合数据库中是否含有目标C，回答为“N”。
再检查知识库中是否有可用知识，此时由于B的加入使得r1为可用，形成仅含r1的知识集。从该知识集中取出r1 ，推出新的事实C，将C加入综合数据库，检查综合数据库中是否含有目标C，回答为“Y”。
它说明综合数据库中已经含有问题的解，推理成功结束，目标C得证。

逆向推理求解

推理开始前，综合数据库和假设集均为空。
推理开始后，先将初始证据A和目标C分别放入综合数据库和假设集，然后从假设集中取出一个假设C，查找C是否为综合数据库中的已知事实，回答为“N”。
再检查C是否能被知识库中的知识所导出，发现C可由r1 导出，于是r1 被放入可用知识集。由于知识库中只有r1 可用，故可用知识集中仅含r1 。接着从可用知识集中取出r1 ，将其前提条件B作为新的假设放入假设集。
从假设集中取出B，检查B是否为综合数据库中的实事，回答为“N”。
再检查B是否能被知识库中的知识所导出，发现B可由r2 导出，于是r2被放入可用知识集。由于知识库中只有r2可用，故可用知识集中仅含r2 。从可用知识集中取出r2 ，将其前提条件A作为新的假设放入假设集。
然后从假设集中取出A，检查A是否为综合数据库中的实事，回答为“Y”。
它说明该假设成立，由于无新的假设，故推理过程成功结束，于是目标C得证。

一阶谓词逻辑基础

谓词公式的解释

定义，设D是谓词公式P的非空个体域，若对P中的常量，函数和谓词按如下规定赋值：

为每个个体常量指派D中的一个元素；
为每个n元函数指派一个从Dⁿ到D的一个映射，其中 Dⁿ = {(x₁,x₁,...,x_n)|x₁,x₁,...,x_n ∈ D}
为每个n元谓词指派一个从Dⁿ到{F,T}的映射

则称这些指派为P在D上的一个解释。

可以确定在一个指派下，某个谓词公式的真或假。

例子，谓词公式在解释下的真值确定

全称固化

\[(∀x)P(x) ⇒P(y) \]

y是个体域中的任一个体，依此可消去谓词公式中的全称量词。

存在固化

\[(∃x)P(x) ⇒P(y) \]

y是个体域中某一个可以使P(y)为真的个体，依此可消去谓词公式中的存在量词。

置换与合一

置换与合一的目的：将相同谓词名但个体不同的情况做出处理，使得二者变量名相同

差异集：在对两个谓词公式中的项从左到右进行比较时，那些第一个不相同的项所构成的集合，称为差异集。

合一，设有公式集F={F1 , F2 ,…,Fn }，若存在一个置换θ，可使 F1θ=F2θ=…=Fnθ，则称θ是F的一个合一。称F1 ,F2 ,…,Fn是可合一的。否则，是不可合一的。

最一般合一的求取算法

置k=0, 谓词公式集S_k=S，置换集σ_k=ε
若S_k只含有一个谓词公式，则算法停止，σ_k就是要求的最一般合一
求S_k的差异集D_k
若D_k中存在元素x_k和t_k，其中x_k是变元，t_k是项且x_k不在t_k中出现，则置S_k+1= S_k · {t_k /x_k}, σ_k+1=σ_k · {t_k / x_k｝，k=k+1，然后转②
算法停止，S的最一般合一不存在。

以本人看来，就是寻找差异集作为置换，使用常元替换变元，使用函词替换简单个体元

例子

自然演绎推理

概念

思想

从一组已知为真的事实出发，直接运用命题逻辑或谓词逻辑中的推理规则推出结论的过程

推理基础：

名称	逻辑表示
假言三段论	𝑃 → 𝑄,𝑄 → 𝑅 ⇒ 𝑃 → R
假言推理	𝑃, 𝑃 → 𝑄 ⇒ 𝑄
拒取式推理	𝑃 → 𝑄,¬Q ⇒ ¬P

例子，纯粹的逻辑应用

已知，下列公式为真

\[R, S, R→T, S∧T →P, P →Q \]
求证，Q为真

\[\begin{align} & 𝑅, 𝑅 → 𝑇 ⇒ 𝑇 & 假言推理\\ & 𝑆, 𝑇 ⇒ 𝑆 ∧ 𝑇 & 引入合取词\\ & 𝑆 ∧ 𝑇, 𝑆 ∧ 𝑇 → 𝑃 ⇒ 𝑃 & 假言推理\\ & 𝑃, 𝑃 → 𝑄 ⇒ 𝑄 & 假言推理\\ \end{align} \]

例子，合一+推理

已知，下列公式为真

\[W (a),(∀x)(W (x) → Q(x)) \]
求证，Q(a)为真

例子，实用例子

设已知如下事实

如果是需要编程序的课，王程都喜欢。

所有的程序设计语言课都是需要编程序的课。

C是一门程序设计语言课。

求证：王程喜欢C这门课。

归结演绎推理

概念

思想

采用反证法的思想，把关于永真性的证明转化为关于不可满足性的证明，要证明P→Q永真，只要能够证明P∧﹁Q是不可满足的即可。

子句集化简方法

消去连接词→和↔，反复使用如下等价公式P→Q ⇔﹁P∨Q &&P↔Q ⇔(P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
减少否定符号的辖域，使用﹁(∀x)P(x)⇔(∃x)﹁P(x)&&﹁(∃x)P(x)⇔(∀x)﹁P(x)
不同量词约束的变元有不同的名字。
化为前束范式，把所有量词都移到公式的左边，并且在移动时不能改变其相对顺序。
消去存在量词。
- 若存在量词不出现在全称量词的辖域内（即它的左边没有全称量词），只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元，就可消去该存在量词。
- 若存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，则需要该全称量词的函词替换受该存在量词约束的变元y，然后再消去该存在量词。（值得注意的是，是否在某个全程量词的辖域，请看化为前束范式之前的等式，且必须是在辖域内，如果是两个共享一个辖域可以交换，不做处理）
展开为标准合取式。
消去全称量词。直接去掉就可以。
消去合取词，并更换变量名称，得到子句集。

归结

命题逻辑的归结

设C1 和C2是子句集中的任意两个子句，if C1中的文字L1与C2中的文字L2互补，then可从C1 和C2 中分别消去L1 和L2 ，并将C1 和C2 中余下的部分按析取关系构成一个新的子句C12 ，则C12为C1和C2的二元归结式。

谓词逻辑的归结

设C1和C2是两个没有公共变元的子句，L1和L2分别是C1和C2中的文字。if L1和¬L2存在一个最一般合一σ，then 称 C12 =({C1σ}-{ L1σ})∪({ C2σ}-{ L2σ}) 为C1和C2的二元归结式。

归结前，消去每个归结式中可以合一的文字
换元消去两个归结式中相同的元素
一次归结只能消去一个变元

归结演绎推理总问题

已知 F，求证G

否定目标公式G，得﹁G
把﹁G并入到公式集F中，得到
把{F，﹁G}化为子句集S。
应用归结原理对子句集S中的子句进行归结，并把每次得到的归结式并入S中（并入S中，不代表删除归结的原子句）。如此反复进行，若出现空子句，则停止归结，此时就证明了G为真。

求解问题

把已知条件用谓词公式表示，并化成相应的子句集S₁
把待求解的问题也用谓词公式表示，然后将其否定，并与谓词ANSWER构成析取式G₁；
把G₁化为子句集S₂，并把子句集S₂与S₁合并构成新子句集S
对子句集S应用谓词归结原理进行归结，在归结过程中通过合一置换，改变ANSWER中的变元
如果得到归结式ANSWER，则问题的答案就在ANSWER谓词中

归结策略

归结策略的目的：每一步选取何时的归结子句，以尽快得到空子句

有用的归结策略	阐述
纯文字删除法	删除子句集中包含纯文字的子句
重言式删除法	删除子句集中包含重言式的子句
包孕删除法	删除子句集中被包孕的子句
支持集策略	被归结的子句必须有目标子句或者其后裔

没用的，看看就可的归结策略	阐述
排序策略	每一步都尽可能地计算子句
线形输入策略	被归结的子句必须有原子句集的子句
单文字子句策略	被归结的子句必须有单文字子句

纯文字删除法

纯文字：如果某文字L在子句集中不存在可与其互补的文字﹁L，则称该文字为纯文字。
删除子句集中包含纯文字的子句

例子

\[S=\{ P∨Q∨R, ﹁Q∨R, Q, ﹁R \} \]

P是纯文字，因此可以将子句P∨Q∨R从子句集S中删除

重言式删除法

重言式：如果一个子句中包含有互补的文字对，则称其为重言式。
删除子句集中包含重言式的子句

例子

\[P(x)∨﹁P(x), P(x)∨Q(x)∨﹁P(x) \]

全部可以删除

包孕删除法

包孕：设有子句C1 和C2 ，如果存在一个置换σ，使得C1σ ⊆ C2 ，则称C1包孕于C2。
删除子句集中被包孕的子句

\[\begin{align} & P(x) & 包孕于 & \quad P(a) & σ=\{a/x\}\\ & P(x) & 包孕于 & \quad P(a)∨Q(z) & σ=\{a/x\}\\ & P(x)∨Q(a) & 包孕于 & \quad P(f(a))∨Q(a)∨R(y) & σ=\{f(a)/x\}\\ & P(x)∨Q(y) & 包孕于& \quad P(a)∨Q(u)∨R(w) & σ=\{a/x, u/y\} \\ \end{align} \]

全部可以删除左边的部分

支持集策略

要求每一次参加归结的两个亲本子句中，至少应该有一个是由目标公式的否定所得到的子句或它们的后裔。

特点

完备，缩减了子句集的归结，增加了子句集归结的深度

例子

\[S=\{﹁I(x)∨R(x), I(a),﹁R(y)∨L(y), ﹁L(a) \} \]
其中﹁I(x)∨R(x)为目标公式的否定。

排序策略(广度度优先策略)

过程：

从S₀出发，对S₀中的全部子句作所有可能的归结，得到第一层归结式，把这些归结式的集合记为S₁
用S₀中的子句与S₁中的子句进行所有可能的归结，得到第二层归结式，把这些归结式的集合记为S₂
用S₀和S₁中的子句与S₂中的子句进行所有可能的归结，得到第三层归结式，把这些归结式的集合记为S3。
如此继续，知道得出空子句或不能再继续归结为止

特点

完备，可以找到最短归结路径
归结效率较低，可能出现组合爆炸

例子

\[S=\{﹁I(x)∨R(x), I(a), ﹁R(y)∨L(y), ﹁L(a) \} \]

线形输入策略

要求每次参加归结的两个亲本子句中，至少应该有一个是初始子句集中的子句。
所谓初始子句集是指开始归结时所使用的子句集。

特点

不完备，可能高效

例子

\[S=\{﹁I(x)∨R(x), I(a), ﹁R(y)∨L(y), ﹁L(a) \} \]

祖先过滤策略

每次参加归结的两个亲本子句，只要满足以下两个条件中的任意一个就可进行归结

两个亲本子句中至少有一个是初始子句集中的子句。
如果两个亲本子句都不是初始子句集中的子句，则一个子句应该是另一个子句的先辈子句。

特点：完备的

例子

\[S=\{﹁Q(x)∨﹁P(x), Q(y)∨﹁P(y)，﹁Q(w)∨P(w) , Q(a)∨P(a) \} \]

单文字子句策略

单文字：如果一个子句只包含一个文字，则称此子句为单文字子句
要求每次参加归结的两个亲本子句中至少有一个子句是单文字子句

特点

不完备的，效率较高

例子

\[S={﹁I(x)∨R(x), I(a), ﹁R(y)∨L(y), ﹁L(a) } \]

例子：化简子句集

\[(∀x)((∀y)P(x,y)→﹁(∀y)(Q(x,y)→R(x,y))) \]

消去连接词→和↔

\[(∀x)(﹁(∀y)P(x,y)∨﹁(∀y)(﹁Q(x,y)∨R(x,y))) \]

减少否定符号的辖域

\[(∀x)(﹁(∀y)P(x,y)∨﹁(∀y)(﹁Q(x,y)∨R(x,y))) \]

不同量词约束的变元有不同的名字。

\[(∀x)((∃y)﹁P(x，y)∨(∃z)( Q(x，z) ∧﹁R(x，z))) \]

化为前束范式

\[(∀x)(∃y)(∃z)(﹁P(x，y)∨( Q(x，z) ∧﹁R(x，z))) \]

消去存在量词。

\[(∀x)(﹁P(x，f(x))∨( Q(x，g(x)) ∧﹁R(x，g(x)))) \]

展开为标准合取式。

\[(∀x)(﹁P(x, f(x))∨(Q(x, g(x))∧(﹁P(x, f(x))∧﹁R(x, g(x)))) \]

消去全称量词。

\[(﹁P(x, f(x))∨Q(x, g(x)) ∧(﹁P(x, f(x))∨﹁R(x, g(x))) \]

消去合取词，并更换变量名称，得到子句集。

\[﹁P(x, f(x))∨Q(x, g(x))\\ ﹁P(y, f(y))∨﹁R(y, g(y)) \]

例子：归结(比较重要)

设：C1 =P(a)∨R(x)，C2 =﹁P(y)∨Q(b)，求C12

取L1 = P(a), L2 =﹁P(y)，则L1 和﹁L2 的合一是σ=

\[\begin{align} C12 & =( {C1 σ}-{L1 σ}) ∪({C2 σ}-{L2 σ})\\ & =({P(a), R(x)}-{P(a)})∪({﹁P(a), Q(b)}-{﹁P(a)})\\ & =({R(x)})∪({Q(b)})= {R(x), Q(b)}\\ & =R(x)∨Q(b) \end{align} \]

设：C1 =P(x)∨Q(a)，C2 =﹁P(b)∨R(x) ，求C12

先换元，令C2 =﹁P(b)∨R(y)
取L1 = P(x), L2 =﹁P(b)，L1 和﹁L2 的合一是σ={b/x}。

\[\begin{align} C12 & =( {C1 σ}-{L1 σ})∪({C2 σ}-{L2 σ})\\ & =({P(b), Q(a)}-{P(b)}) ∪({﹁P(b), R(y)}-{﹁P(b)})\\ & =({Q(a)}) ∪({R(y)})= {Q(a), R(y)}\\ & =Q(a)∨R(y) \\ \end{align} \]

设：C1 =P(x)∨﹁Q(b)，C2 =﹁P(a)∨Q(y)∨R(z)

这道题需要注意的是，C1和C2的一次归结只能消去一个互补对，不能同时消去两个互补对
如在 σ={a/x, b/y}下，若同时消去两个互补对所得R(z)不是C1 和C2 的二元归结式
可以从另一个角度说明这道题的正确性：﹁P∨Q与P∨﹁Q永真，但是如果使用同时归结，那么可归结为NIL，是不可满足的，产生矛盾。

设：C1 =P(x)∨P(f(a))∨Q(x) ，C2 =﹁P(y)∨R(b)，求C12

对参加归结的某个子句，若其内部有可合一的文字，则在进行归结之前应先进行合一。
严格来讲C1经过合一之后所得式子将不是C1，但是仍然认为该式与C2的二元归结式等同于C1和C2的二元归结式。也就是说，子句集合一之不影响原归结结果。

设C1 =P(y)∨P(f(x))∨Q(g(x)) ，C2 =﹁P(f(g(a)))∨Q(b)，求C12

对C1 ，取合一σ={f(x)/y}，得C1 的因子 C1 σ=P(f(x))∨Q(g(x))
对C1 的因子和C2 归结(σ={g(a)/x })，可得到C1 和C2的二元归结式 C12 =Q(g(g(a)))∨Q(b)

例子，使用归结演绎证明问题

设已知的公式集为{P, (P∧Q)→R, (S∨T)→Q, T}，求证结论R

假设结论R为假, 将﹁R加入公式集，并化为子句集

\[S= \{ P,﹁P∨﹁Q∨R, ﹁S∨Q, ﹁T∨Q, T, ﹁R \} \]

归结如下图：

已知

\[F: (∀x)((∃y)(A(x, y)∧B(y))→(∃y)(C(y)∧D(x, y)))\\ G: ﹁(∃x)C(x)→(∀x)(∀y)(A(x, y)→﹁B(y)) \]
求证G 是 F 的逻辑结论。

\[\begin{align} {F, ﹁G} = \{\quad(∀x)((∃y)(A(x,y)∧B(y))→(∃y)(C(y)∧D(x,y))),\\ ﹁(﹁(∃x)C(x)→(∀x)(∀y)(A(x,y)→﹁B(y)))\quad \} \end{align} \]

子句集为

\[﹁A(x,y)∨﹁B(y) ∨C(f(x))\\ ﹁A(u,v)∨﹁B(v) ∨D(u,f(u))\\ ﹁C(z)\\ A(m,n)\\ B(n)\\ \]

归结过程如下

“激动人心的生活”问题

假设：

所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的

那些看书的人是聪明的

李明能看书且不贫穷

快乐的人过着激动人心的生活。

求证：

李明过着激动人心的生活。

问题用谓词表示如下：

知识	知识表示
所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的	`(∀x)((﹁Poor(x)∧Smart(x))→Happy(x))`
那些看书的人是聪明的	`(∀y) (Read(y) →Smart(y))`
李明能看书且不贫穷	`Read(Liming)∧﹁Poor(Liming)`
快乐的人过着激动人心的生活。	`(∀z) (Happy(z)→Exciting(z))`
目标的否定：李明过着激动人心的生活	`﹁Exciting(Liming)`

子句集

\[\begin{align} & Poor(x)∨﹁Smart(x)∨Happy(x) \\ & ﹁Read(y)∨Smart(y) \\ & Read(Liming) \\ & ﹁Poor(Liming) \\ & ﹁Happy(z)∨Exciting(z) \\ & ﹁Exciting(Liming) (结论的否定)\\ \end{align} \]

子句集的归结

“快乐学生”问题

假设：

任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的

任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试

张不肯学习但他是幸运的

任何幸运的人都能获奖。

求证：张是快乐的。

问题用谓词表示如下

知识	知识表示
任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的	`(∀x)(Pass(x, computer)∧Win(x, prize)→Happy(x))`
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试	`(∀x) (∀y) (Study(x)∨Lucky(x)→Pass(x, y))`
张不肯学习但他是幸运的	`﹁Study(zhang)∧Lucky(zhang)`
任何幸运的人都能获奖	`(∀x) (Lucky(x)→Win(x, prize))`
目标的否定：张是快乐的	`﹁Happy(zhang)`

子句集

\[\begin{align} & ﹁Pass(x, computer)∨﹁Win(x, prize)∨Happy(x)\\ & ﹁Study(y)∨Pass(y, z)\\ & ﹁Lucky(u)∨Pass(u, v)\\ & ﹁Study(zhang)\\ & Lucky(zhang)\\ & ﹁Lucky(w)∨Win(w, prize)\\ & ﹁Happy(zhang) (结论的否定) \\ \end{align} \]