进制表示以及转换

不同进制数的表示

数的根本乃是对于数量的统计。一个n进制的数，其核心定义为：

\[[a_{p}\cdots a_{2}a_{1}.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{q}]_{n} = a_{p}*n^{p-1}+\cdots +a_{2}*n^{1}+a_{1}*n^{0}+a_{-1}*n^{-1} + a_{-2}*n^{-2}\cdots a_{q}*n^{q} \]

• 左侧是该数的符号表示
• 右侧是该数的实际数量表示。而n则是决定了该数每一位的权值，也就是进制。

转换

转换的核心仍然是数的定义，及上述的公式。

\[[a_{p}\cdots a_{2}a_{1}.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{q}]_{n} = a_{p}*n^{p-1}+\cdots +a_{2}*n^{1}+a_{1}*n^{0}+a_{-1}*n^{-1} + a_{-2}*n^{-2}\cdots a_{q}*n^{q} \]

如果你能够以任意进制计算公式右侧的数量，那么恭喜你，你可以不用继续向下看了，因为你已经完成了对于任意进制之间的转换，而且十分的高效。

但是，一般人，比如说我，仅仅会以十进制完成计算，那么就必须以十进制为基点（桥梁）来完成其他进制的转换工作。所以下面的转换将以十进制为核心展开。

n进制》十进制

\[[a_{p}\cdots a_{2}a_{1}.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{q}]_{n} = a_{p}*n^{p-1}+\cdots +a_{2}*n^{1}+a_{1}*n^{0}+a_{-1}*n^{-1} + a_{-2}*n^{-2}\cdots a_{q}*n^{q} \]

十进制》n进制

将十进制将n进制进行转换时，需要将概述的整数部分以及小数部分进行分离，因为它们使用的是完全不同的方法，甚至是对立的。

整数部分

\[\begin{align} && [m]_{10} & = [a_{p}\cdots a_{2}a_{1}]_{n} \\ && [[m]_{10} & = a_{p}*n^{p-1}+\cdots +a_{2}*n^{1}+a_{1}*n^{0}\\ \end{align} \]

我们的目的，就是计算得到 {a₁, a₂,... , a_p} 。

需要注意的是：两侧的运算都是十进制运算。

计算流程为：

• 将m进行除以n，那么余数为a₁，商为m₁。
• 将m₁进行除以n，那么余数为a₂，商为m₂。
• .....
• 最终，余数为a_p，商为0。

上面的方法可以形式化为：

小数部分

\[\begin{align} && [m]_{10} & = [0.a_{1} a_{2}\cdots a_{q}]_{n} \\ && [[m]_{10} & = a_{1}*n^{-1}+a_{2}*n^{-2}+\cdots+a_{q}*n^{-q}\\ \end{align} \]

我们的目的，就是计算得到 {a₁, a₂,... , a_p} 。

需要注意的是：两侧的运算都是十进制运算。

计算流程为：

• 将m进行乘n，那么整数部分为a₁，小数部分为m₁。
• 将m₁进行乘n，那么整数部分为a₂，小数部分为m₂。
• .....
• 最终，整数数部分为a_p，小数部分为0。

引用

引用自：理解进制转换的原理