任务安排问题

问题描述

       活动的定义

• 设S={1,2,…,n}是n个活动的集合，各个活动使用同一个资源，资源在同一时间只能为一个活动使用。
• 每个活动i有起始时间s_i，终止时间f_i，s_i ≤ f_i。
• 活动i和j是相容的，若s_j ≤ f_i或s_i ≤ fj。

       输入：S={1, 2, …, n}，F={ [s_i，f_i] }，n ≤ i ≤ 1

       输出：S的最大相容集合

算法描述

     1. 确定贪心思想

       为了可以使得更多的相容活动被包含，每次选f_i最小的活动，使得我们能够选择更多的活动。

     2. 分析贪心选择性

       引理1：设：S={1,2,…,n}是n个活动的集合，[s,f_i]是活动i的起始终止时间，且f₁≤f₂≤….≤f_n，那么，S的任务安排问题的某个优化解包括活动1.

       证明：设A是一个优化解，按结束时间排序A中活动， 设其第一个活动为k，第二个活动为j.

• 如果k=1，引理成立.
• 如果k≠1，令 B=A-{k}∪{1}, 由于A中活动相容，f₁ ≤ f_k , B中活动相容. 因为|B|=|A|, 所以B是一个优化解，且包括活动1.

     3.分析优化子结构

       引理2：设：S={1, 2, …, n}是n个活动集合，[s_i,f_i]是活动i的起始终止时间，且f₁≤f₂≤….≤f_n ，设A是S的任务安排问题的一个优化解且包括活动1，则A'=A-{1} 是S'={ i 属于 S|s_i≥f₁  }的调度问题的优化解.

       证明：显然，A'是相容的，仅仅需要证明A'是S'任务安排问题的解决方案中最大的解就可以。

       如若不然，则存在一个S'任务安排问题的最优解B'，而S'中的所有活动均与活动1进行相容，那么可以构造B ={1}UB'，而B是S问题的解，且|B|>|A|，那么A就不是S问题的最优解，矛盾。故而A’是S‘任务安排问题的解决方案中最大解。

     4.分析算法正确性

      设：S={1, 2, …., n} 是 n 个活动集合，f₀ = 0, l_i是 S_i ={  j属于S | s_j ≥ f _i-1} 中具有最小结束时间的活动.设A是S的包含活动1的优化解, 其中 f₁≤ …≤f_n ，则 A = U_{(i=1 : k)} {l_i}。

      证明：

     5.设计算法

        根据贪心思想设计算法。

设f1≤f2≤….≤fn已排序）
Greedy-Activity-Selector(S, F) 
n = lenyth(S);
A = {1}
j = 1
For i=2 To n Do
     If si >= fj
     Then A = A∪{i}；
              j = i；
Return A

　 6.算法复杂性分析：

       时间复杂性：

          如果结束时间已经排序，那么T(n) = O(n)

          如果结束时间已经排序，那么T(n) = O(n) + O(nlogn) = O(nlogn)