任意两点最短路径问题

问题描述

       输入：图G = (V,E)

       输出：图中任意两点的最短路径

算法描述（Floyd算法）

     1. 分析优化子结构

       定理1，V_i，V_j的最短路径包含两点V_m，V_n，那么V_i，V_j的最短路径中对应V_m，V_n的部分一定是V_m，V_n在该图中的一条最短路径。

       证明1，可以通过反证法进行证明，如果不是，那么可以构造出比当前V_i，V_j的最短路径更短的路径。

     2. 分析子问题重叠性。

       首先，需要了解V_i，V_j的递归代价方程。

       定义：D(i,j)为V_i，V_j的最短路径长度。

• D(i,j) = 0，if i = j.
• D(i,j) = min ( D(i,j) , D(i,k) + D(k,j))，其中，i ≤ k ≤ j，if i ≠ j.

       那么此问题的计算形式基本上于矩阵链乘问题的计算形式，这就是一个划分动态规划，那么同理自然就有子问题重叠性。

     3.递归地定义最优解的代价 

• D(i,j) = 0，if i = j.
• D(i,j) = min ( D(i,j) , D(i,k) + D(k,j))，其中，i ≤ k ≤ j，if i ≠ j.

     4.自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息

       对于该算法而言，计算顺序是值得思考的。如果直接进行遍历计算，可能当计算D(i,j)时，所使用的D(i,k)以及D(k,j)都并非是最小代价，可以说，每个D(i,j)都相互影响。

       解决办法为：构建顶点集合S以及表示任意两点之间最小路径代价的二维矩阵M，

• 初始时，S为空，M中仅仅将边录入，无边记为无穷。
• 依次向S中加入顶点，并仅仅将该顶点作为递归方程中的顶点V_k，更新M。
• 当S = V时，M中记为最短路径代价。

      故而可以设计算法为：

Floyd算法
D <-- W
P <-- 0
For k = 1 to n Do /*k控制填入元素*/
     For i = 1 to n Do /*i，j控制矩阵的遍历*/
        for j = 1 to n
           if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] )
           then D[ i, j ] = D[ i, k ] + D[ k, j ]
                   P[ i, j ] = k; 

     5.根据构造最优解的信息构造优化解

        注意，下列算法只打印中间节点，而不会答应起止节点，所以，P中无边或者直接有边的值均为0.

path(index q, r)
     if (P[ q, r ]!=0)
         path(q, P[q, r])
         println( “v”+ P[q, r])
         path(P[q, r], r)
         return;
     //no intermediate nodes
     else return 

　 6.算法复杂性分析：

       时间复杂性：

           计算代价的时间复杂性：O(n^3)。

           构造最优解时间复杂性：O(n)。最多只会遍历n个顶点

           空间复杂性：O(n^2)。