辗转相除法的循环不变量证明

 

 

循环不变量：在第2 - 6行的while循环的每次迭代开始时，a，b的最大公因数与A，B的最大公因数相同。

循环不变量的性质：

初始化：

       在循环的第一次迭代前，a = A，b = B，循环不变量显然成立。

保持：

       对于这一性质的证明涉及到辗转相除法的数学原理。要证循环不变量的保持，只需证明a，b的最大公因数等于b，r的最大公因数。要证明这一点，只需证明a，b的因子集与b，r的因子集完全相同。

       根据这一数学原理：

    如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使得a = bq + r，这里r是满足不等式0 <= r <b的一个整数。

 

       显然，可以将某次循环中a，b，r的关系表示如下：a = qb +r.

       假设：u为a，b的任意一个因子，即a = su，b = tu. r = a - qb = su - qtu = (s - qt)u. 这里的s - qt显然为正整数。r可以整除u。故而得证b，r的因子集包含a，b的因子集。

       假设：u为b，r的任意一个因子，即r = su，b = tu。a = qb + r = qtu + su = (s + qt)u. 这里的s + qt显然为正整数。a可以整除u。故而得证a，b的因子集包含b，r的因子集。

       综上，可以证明a，b的因子集与b，r的因子集相等，故而得证。

终止：

        在循环终止时，此时的r = 0，说明:此时a 可以整除b，即b为a，b的最大公因子。即此时的b为A，B的最大公因子。