实战演练：动态规划矩阵连乘最优组合
麻烦来了，今天晚上在实现“动态规划矩阵连乘最优组合”的算法在这个问题中需要填表，通过动态规划解体，就因为表的下标混乱，所以填表的过程比较枯燥（debug了好多次）。 我先在稿纸上用伪代码大概解决了这个问题，但是在真正敲写代码的时候，却发现“伪代码”除了整体上的走向之外（大概的结构），很多细节都有问题。
“大概”伪代码：
for i=[0,n-1)
for j=[0,n-1-i)
col =... //col是填表元素的列
min =...
for k=[0,i)
t =....
if t<min
t = min
a[j][col] = min;
其中省略号内的东西待敲进去之后都不正确！需要重新分析这个填表的过程。
捣乱的分析过程
顺序填表分成n-1组，编号i=[0,n-2]，如图：
而每组有j=n-1-i个元素需要填写。于是伪代码的前两行是这样的来的
for i=[0,n-1)
for j=[0,n-1-i)
首先把当下需要填写元素的列值得出是col = i+j+1;通过观察很容易发现的；而j即为当下需要填写元素的行，于是(j,col)就是需要填写元素的位置。
而min的计算是瓶颈，画图
可以发现计算min的两个辅助元素的（第一个元素）行和（第二个元素）列都不被当下需填写元素的(j,col)决定了。于是：
min = a[j][j] + a[j+1][col] + tab[j]*tab[j+1]*tab[col];
接下来的t的计算由上面的min的计算的出来的：
t = a[j][j+k+1] + a[j+k+2][col] + tab[j] * tab[j+k+2] * tab[col+1];
其实是一样的，只不过红色部分多加了个k+1。
分析过程不够严谨细腻，但是纵观下来，自己有一个清晰的思路。
void optimal_matrix(int * tab,int n)
{
assert(n!=0);
int ** a = new int *[n];
for(int i=0; i<n; i++)
a[i] = new int[n],
::memset(a[i],0,sizeof(int)*n);
int i,j,t,min,col;
for(i=0; i<n; i++)
a[i][i] = 0;
for(i=0; i<n-1; i++)//组计数器
{
for(j=0; j<n-1-i; j++)//每组个数计数器
{
col = i + j + 1;
assert(col+1<n+1);
min = a[j][j] + a[j+1][col] + tab[j] * tab[j+1] * tab[col+1];
for(int k=0; k<i; k++)
{
assert(j+k+2<n);
t = a[j][j+k+1] + a[j+k+2][col] + tab[j] * tab[j+k+2] * tab[col+1];
if(t<min) min = t;
}// for
a[j][col] = min;
}// for
}// for
cout << a[0][n-1] << endl;
delete [] a;
要做到上面的条条框框实在是不容易的，但是如果养成“条条框框”的习惯的话，即使没有稿纸，只操手MSPAINT，相信敲代码的效率会提高的。
断言的魅力
“脚手架”简单来说是“验证程序”的程序，但笔者认为“断言”的魅力更大些。在每一个程序中，有一些变量数据是至关重要的，经常Debug就是为了这些变量的检测，看是否和预期中的结果一样；如果不一样我的做法就是：结束debug，开始艰苦的错误排查，这个过程非常头疼。assert能够可以扫清很多的错误细节，包括除数为0，数据超出规定的范围，数组下标越界云云。所以添加断言，能在逻辑上保证你的程序不会出错，即使现实并非如此。
故在上面“动态规划矩阵连乘最优组合”中，添加了
assert(n!=0); assert(col+1<n+1); assert(j+k+2<n);
来保证数组下标越界问题，很明显，如果下标越界，将是毁灭性的bug。
另外，添加了一个show函数：
void show(int ** a,int n)
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<n; j++)
cout << setw(6) <<a[i][j];
cout << endl;
}// for
cout << endl;
}
这是验证程序的一部分，另外关于程序运行时间外链一篇文章，里面的方法不错，不仅可以精确到ms，还可以是us。
一个算法题
第八章提出了找出一个数字序列中最大的、连续的子序列，并且规定全负子序列的和为0。
“如果没有阅读过《编程珠玑》跳到第四点。”
- 最原始穷举的算法时间开销大到O(n^3)；
- 另一种穷举的算法，即平方算法。通过保存中间结果或者预处理数据，省去了之后重复的计算，是备忘录算法（简单的动态规划），开销下降了一个数量级O(n^2)；
- 分治法，这个真没想到，开销再次下降O(nlogn)；
- 以前做过类似的题目，所以最先想到的就是这个方法。形象点就是，“边吃边拉”——扫描算法，运行时间为O(n)。
for i=[0,n)
t += a[i]
if t<max case
max = t
if t<0 case
t = 0
end.
课后习题第10题，“找到总和最接近0的子序列或者最接近某个数的子序列”，尝试着用上面的“边吃边拉”算法解决，但是没有成功；只能按着上面说的平方算法，伪代码如下：
nearest = INF
for i=[0,n)
for j=[i,n)
t = tab[j] - tab[i]
if nearest>|t| case
nearest = t
end
数组用负数索引
第八章最有趣的地方就是“数组索引下标居然可以出现复数”！写了将近两年的程序居然还不知道有这个东西，略有自惭形秽的味道。
设原数组a[n],pa = &a[1]，那么pa[-1]亦即a[0]。但是，这么巧妙的东西，该怎么用？ 大家一开始都有写过“冒泡排序”，看看利用这个“巧妙”能有什么效果？给出伪代码：
bubble(a,n)
mustbe(n>1)
pa = &a[1]
for i=[0,n)
for j=[0,n-i)
if a[j]>pa[j] case
swap(a[j],pa[j])
end
是的，它既没有改善冒泡的运行开销和效率，但是代码美观了很多：通过把pa定位在a的第二个元素上，所以a[j]和pa[j]其实不是同一个元素，pa[j]在a[j]的后面，即便他们的下标相同。笔者突然想到了一个比较现实而有用例子，大家一开始学习编程的时候，几乎都遇到过这样的题目，给定一个数字数组，求数组的各元素的总和，最原始的想法：
sum(a,n)
for i=[0,n)
sum += a[i];
end
看看结合上面的“巧妙”的伪代码：
sum(a,n)
pa = &a[n-1]
t = n>1;
for i=[0,t)
sum += (a[i]+pa[i|0x8000]) //下标变为负数
if n&1 case
sum += a[t]
end
没错，他还是做了n次的加法，一次都没减，但是也有小小的优化：for循环里对i的判断判断和自增都减半！加减开销比位运算大的。“啊哈，灵机一动！”。非常文艺青年的一个优化，非常诗意...
