USACO S&G&P 题目选做

P8904 Mountains USACO22DEC G

感觉这题做法非常暴力。

对于一个楼房，我们钦定对于点 $x$，若 $x<y$ 若符合题目条件，我们称作 $x$ 看见 $y$，否则我们称作 $y$ 看见 $x$。

首先题目判断一个楼房是否能被看见是通过斜率来判断的，具体如下图。

然后我们考虑用一个set来维护每一个楼房能看见的所有楼房。

一开始把初始状态预处理出来。然后对于每一次修改 $x$ 楼房的操作，显然先把 $x$ 的高度加上应该加的。首先考虑能看到 $x$ 的点，即 $x$ 前面的点 。

我们枚举 $\le x$ 的每一个点 $i$，找到 $i$ 能看到的位置不超过 $x$ 且最远的楼房 $y$（这个点要么最高要么最矮），然后再判断连接 $(i,x)$ 的直线的斜率与连接 $(i,y)$ 的大小即可判断 $x$ 是否能被 $i$ 看见。

如果这个点不能被 $i$ 看见，那这个点必然不会对 $i$ 能看见的楼房数目产生影响。

但如果这个点能被 $i$ 看见，那么我们需要枚举 $x$ 后面所有能被 $i$ 看见的点，判断斜率，直到有一个点 $z$ 与 $i$ 的斜率大于 $(i,x)$ 的斜率（这样 $x$ 必定不会对后面产生任何影响，因为此时 $h_z>h_x$）。

最后我们再来处理 $x$ 能看见的新的点，其实做法很暴力，我们直接每次清空 $x$ 能看见的点，然后把仿照预处理把所有位置预处理一边即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int inf=1e9;
int h[N],n,ans;
set<int> s[N];
double getk(int i,int j){
	return 1.0*(h[j]-h[i])/(j-i);
}
int main(){
	// freopen("test.in","r",stdin);
	cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s[i].insert(0);s[i].insert(n+1);
		double tmp=-inf;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(tmp<=getk(i,j)){
				// cout<<i<<" "<<j<<endl;
				tmp=getk(i,j);ans++;s[i].insert(j);
			}
		}
	}
	// cout<<ans<<endl;
	int T;cin>>T;
	while(T--){
		int x,y;cin>>x>>y;h[x]+=y;
		for(int i=1;i<x;i++){
			auto p=s[i].lower_bound(x);--p;int tmp=*p;
			if(tmp and getk(i,tmp)>getk(i,x)) continue;
			if(s[i].find(x)==s[i].end()){s[i].insert(x);ans++;}//如果以前i看不到x，现在i看得到x了
			p=s[i].upper_bound(x);tmp=*p;
			while(tmp<=n){
				if(getk(i,tmp)>=getk(i,x) and h[tmp]>=h[x]) break;
				s[i].erase(tmp);ans--;p=s[i].upper_bound(tmp);tmp=*p;
			}
		}
		ans-=s[x].size()-2;
		s[x].clear();s[x].insert(0);s[x].insert(n+1);double tmp=-inf;
		for(int j=x+1;j<=n;j++){
			if(tmp<=getk(x,j)){
				tmp=getk(x,j);ans++;s[x].insert(j);
			}
		}
		cout<<ans<<"\n";
 
	}
	return 0;
}

P2997 [USACO10NOV]Banner S

这个题有个显然结论，就是如果一条在网格中的直线不经过网格中除端点以外的其余点，那么这条直线对应的直角三角形的直角边必定互质，否则一定可以找到一个与其相似的直角三角形。

然后我们枚举两个直角边的长度，对于一组直角边 $a,b$ 总共有 $2\times (n-a+1) \times (m-b+1)$。

当然对于斜率为 $0$，即一组直角边中有一条边为 $0$ 的边，我们不需要 $\times 2$ 。因为把它对称过来是一样的。做完了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,l,r,ans;
 
signed main(){
	cin>>n>>m>>l>>r;
	for(int i=0;i<=n;i++){//直角边a的长度
		for(int j=0;j<=m;j++){//直角边b的长度
			if(i+j==0) continue;
			double tmp=sqrt(i*i+j*j);
			if(tmp>=l and tmp<=r){
				if(__gcd(i,j)!=1) continue;
				if(i+j==1) ans+=(n-i+1)*(m-j+1);
				else ans+=2*(n-i+1)*(m-j+1);
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}```