初等数论

前言：

如何评价 OI 逐渐 MO 化。

我数学不是很好，最近学了这玩意，写一篇总结。

$\text{Part I 素数筛}$

• 埃式筛 Eraosthenes

  • 大概思路：从2开始，由小到大扫描每一个数 $x$，把他的倍数标记为合数。当扫描到一个数时，若尚未被标记，那么就是质数。
  • 复杂度：$O(n \log \log n)$ 接近线性。
  • 代码：

      void make_prime()
      {
          memset(prime,true,sizeof(prime));
          prime[0]=prime[1]=false;//0，1都不是素数 
          int t=sqrt(n);//开根号 
          for(int i=2;i<=t;i++)
          {
              if(prime[i])
              {
                  for(int j=2*i;j<=n;j+=i)//加倍 
                  {
                      prime[j]=false;
                  }
              }
          }
          return;
      }  

• 线性筛

  • 大致思路：从小到大积累质因子
  • 复杂度：$O(n)$

  void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
      if (!vis[i]) {
        phi[i] = i - 1;
        pri[cnt++] = i;
      }
      for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
        if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
        vis[i * pri[j]] = 1;
        if (i % pri[j]) {
          phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        } else {
          // i % pri[j] == 0
          // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
          // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被
          // pri[j] 的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break
          // 掉就好了
          phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
          break;
        }
      }
    }
  }

$\text{Part II Prime Numbers and Phi}$

$\phi(n)$ 表示 $1~n$ 中与 $n$ 互质的个数。同时也是欧拉函数。

然后有很多好玩的性质，由于我 $\LaTeX$ 实在不大行就先不写了。

代码:

void euler(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++) ph[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(ph[i]==i)
		{
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
			{
				ph[j]=ph[j]/i*(i-1);
			}
		}
	}
}

$\text{Part III 欧几里得}$

• $\gcd$：欧几里得算法，俗称辗转相除。

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

• 扩展欧几里得：对于任意整数 $a,b$ ，存在一对整数 $x,y$ ，满足 $ax+by=\gcd(a,b)$ 。不过说句闲话，这个应该裴蜀定理。解这个方程算法被称之为“扩展欧几里得”。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(a==0)
	{
		x=0;y=1;
		return b;
	}
	int d=exgcd(b%a,a,y,x);
	x-=b/a*y;
	return d;
}

提一嘴逆元：若整数 $b,m$ 互质，且 $b|a$，则存在一个整数 $x$，使得 $\frac{a}{b}$ 和 $a\times x$ 模 $m$ 同余。则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元。然后这玩意一般都是用来转换除法的。

$\text{Part IIII 同余方程}$

对于像 ACwing203 这种题直接用欧几里得算法求出一种特解，然后就最小值即可。

中国剩余定理：

直接放代码：

/*long long gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}*/
#include<cstdio>
#define ll long long
//扩展欧几里得算法 
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){
        d=a;
        x=1,y=0;
    }
    else{//else不能省略 
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
//中国剩余定理 
ll China(int n,ll *m,ll *a)
{
    ll M=1,d,y,x=0;
    for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll w=M/m[i];
        gcd(m[i],w,d,d,y);
        x=(x+y*w*a[i])%M;
    }
    return (x+M)%M;
}
ll m[15],a[15];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
    printf("%lld",China(n,m,a));
}