分块莫队学习笔记
优雅的暴力。
引入
link。
这道题显然可以用线段树、树状数组做,但如果我偏不用这些数据结构呢?
我们知道,暴力修改和查询最坏是
那该怎么办呢?
正题
分块
考虑将序列分成若干块,我们设每块长为
对于每次查询
其中
不妨设置一个懒标记,把每块的整块操作都加到这里面。
这样修改的复杂度是
那剩下的我们就可以暴力操作,复杂度是
查询同理。
此时修改查询的复杂度就变成了
使得该数最小的显然是
分块主要解决区修区查类问题,只要满足以下条件即可:
- 可以打懒标记(结合律)。
- 时间复杂度允许。
优势:可解决问题范围广。
劣势:时间复杂度高。
时间复杂度:
空间复杂度:
莫队
普通莫队
莫队是一种离线算法,需要满足以下条件:
- 在知道
的答案的情况下,可以 求出 、 、 、 的答案。 - 允许离线。
- 只有询问没有修改。
首先将所有的询问离线下来,记为
将询问排序(这正是莫队算法的精髓),从上一个询问的答案一个个改到当前询问,得到答案。
实现:
for (int i = 1; i <= m; i++) {
while (l < q[i].l) del(l++);
while (r > q[i].r) del(r--);
while (l > q[i].l) add(--l);
while (r < q[i].r) add(++r);
ans[q[i].id] = res;
}
但是仔细分析发现时间复杂度仍然可以被卡成
考虑优化。
我们想要优化复杂度的根本是让
对询问范围进行分块,块长为
以询问左端点的块编号为第一关键字,右端点为第二关键字排序。
- 如果当前询问与上一次处于同一块,则
最多移动 。 - 不同块的询问,
最多移动 。
则:
移动的复杂度是 ; 的复杂度是 。
则复杂度是
使得该式最小的
总结一下。
普通莫队解决的问题满足以下条件:
- 在知道
的答案的情况下,可以 求出 、 、 、 的答案。 - 允许离线。
- 只有询问没有修改。
优势:再没有更快的思维做法之前,她几乎是跑得最快并且思维含量最低的。
劣势:只支持离线。
时间复杂度:
空间复杂度:
例题 1:小 B 的询问
非常板子的一道,维护一下
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define pii pair<int, int>
#define FRE(x) freopen(x ".in", "r", stdin), freopen(x ".out", "w", stdout)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
using namespace std;
int _test_ = 1;
const int N = 50008;
int n, m, k, block_size, res, cnt[N], a[N], ans[N];
struct node {
int l, r, id;
} q[N];
bool operator<(node x, node y) {
int xl = (x.l - 1) / block_size + 1, xr = (x.r - 1) / block_size + 1;
int yl = (y.l - 1) / block_size + 1, yr = (y.r - 1) / block_size + 1;
return (xl != yl) ? (xl < yl) : (x.r < y.r);
}
void add(int x) {
res += cnt[a[x]] * 2 + 1;
cnt[a[x]]++;
}
void del(int x) {
res -= cnt[a[x]] * 2 - 1;
cnt[a[x]]--;
}
void init() {}
void clear() {}
void solve() {
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
block_size = n / sqrt(m); // 块长
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> q[i].l >> q[i].r;
q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1);
int l = 1, r = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
while (l < q[i].l) del(l++);
while (r > q[i].r) del(r--);
while (l > q[i].l) add(--l);
while (r < q[i].r) add(++r);
ans[q[i].id] = res;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cout << ans[i] << "\n";
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// cin >> _test_;
init();
while (_test_--) {
clear();
solve();
}
return 0;
}
不过此题块长就是
例题 2:小 Z 的袜子
也是非常板子的一道,维护一下
请注意分子为
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define pii pair<int, int>
#define FRE(x) freopen(x ".in", "r", stdin), freopen(x ".out", "w", stdout)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
using namespace std;
int _test_ = 1;
const int N = 500008;
int n, m, k, block_size, len;
pii res;
int cnt[N], a[N];
pii ans[N];
struct node {
int l, r, id;
} q[N];
bool operator<(node x, node y) {
int xl = (x.l - 1) / block_size + 1, xr = (x.r - 1) / block_size + 1;
int yl = (y.l - 1) / block_size + 1, yr = (y.r - 1) / block_size + 1;
return (xl != yl) ? (xl < yl) : (x.r < y.r);
}
void add(int x) {
res.first += cnt[a[x]];
res.second += len;
len++;
cnt[a[x]]++;
}
void del(int x) {
len--;
cnt[a[x]]--;
res.first -= cnt[a[x]];
res.second -= len;
}
void init() {}
void clear() {}
void solve() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
block_size = n / sqrt(m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> q[i].l >> q[i].r;
q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1);
int l = 1, r = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (q[i].l == q[i].r) ans[q[i].id] = {0, 1};
while (l < q[i].l) del(l++);
while (r > q[i].r) del(r--);
while (l > q[i].l) add(--l);
while (r < q[i].r) add(++r);
if (res.first == 0) {
ans[q[i].id] = {0, 1};
continue;
}
int g = __gcd(res.first, res.second);
ans[q[i].id] = {res.first / g, res.second / g};
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cout << ans[i].first << "/" << ans[i].second << "\n";
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// cin >> _test_;
init();
while (_test_--) {
clear();
solve();
}
return 0;
}
事实证明,还是
带修莫队
由于不能带修改实在是太别扭了,所以出现了带修莫队
带修莫队的思想跟所有可持久化数据结构是差不多的。
link.
由于加进了修改,我们无法再像正常莫队一样转移了。
可以考虑在迭代时增加一维时间戳。
每次就按顺序一个一个增加或减少修改即可。
同时就要以右端点所在块编号为第二关键字、时间为第三关键字排序。
时间复杂度与最优块长
设块长为
- 左右端点移动上文分析过,是
的。 - 时间指针,对于每一个块,我们至多移动
次,即 。
总时间复杂度为
最优块长大概是……
所以还是取一个更好看一点的。
譬如
所以此时时间复杂度是约
总结一下,带修莫队需要满足以下条件:
- 在知道
的答案的情况下,可以 求出 、 、 、 的答案。 - 允许离线。
优势:可以允许修改。
劣势:比思维方法慢且只能离线。、
时间复杂度:
空间复杂度:
例题1:数颜色 / 维护队列
按上文中写的模拟即可。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pii pair<int, int>
#define FRE(x) freopen(x ".in", "r", stdin), freopen(x ".out", "w", stdout)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
using namespace std;
int _test_ = 1;
const int N = 2e6 + 5;
int n, m, block_size, cnt_c, cnt_q, a[N], bel[N], cnt[N], ans[N], res;
struct query {
int l, r, t, id;
} c[N], q[N];
bool operator<(query x, query y) {
return (bel[x.l] != bel[y.l]) ? (x.l < y.l) : ((bel[x.r] != bel[y.r]) ? (x.r < y.r) : (x.t < y.t));
}
void build() {
block_size = pow(n, 0.666);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
bel[i] = (i - 1) / block_size + 1;
}
}
void add(int x) {
res += (cnt[x] == 0);
cnt[x]++;
}
void del(int x) {
cnt[x]--;
res -= (cnt[x] == 0);
}
void upt(int x, int y) {
if (q[y].l <= c[x].l && c[x].l <= q[y].r) {
del(a[c[x].l]);
add(c[x].r);
}
swap(a[c[x].l], c[x].r);
}
void init() {}
void clear() {}
void solve() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
build();
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char op;
int l, r;
cin >> op >> l >> r;
if (op == 'Q') q[++cnt_q] = {l, r, cnt_c, cnt_q};
else c[++cnt_c] = {l, r, 0, 0};
}
sort(q + 1, q + cnt_q + 1);
int l = 1, r = 0, t = 0;
for (int i = 1; i <= cnt_q; i++) {
while (l > q[i].l) add(a[--l]);
while (r < q[i].r) add(a[++r]);
while (l < q[i].l) del(a[l++]);
while (r > q[i].r) del(a[r--]);
while (t < q[i].t) upt(++t, i);
while (t > q[i].t) upt(t--, i);
ans[q[i].id] = res;
}
for (int i = 1; i <= cnt_q; i++) cout << ans[i] << "\n";
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// cin >> _test_;
init();
while (_test_--) {
clear();
solve();
}
return 0;
}
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