圆方树学习笔记

元方树

下文除特殊强调外,所有图皆为无向图。

引入

  • 割点:在图中,删除某个点后,导致图不再连通的点。
  • 点双连通:在一张图中,取两个点 uv,无论删去哪个点(除 uv 自身外),uv 都能连通,我们就说 uv 点双连通
  • 点双连通分量(后文称点双):对于一个无向图中的极大点双连通的子图,我们称这个子图为一个点双连通分量。

(from OI Wiki)

(下文中 uv 表示 uv 在同一个点双里,这只是我个人的写法,实在懒得写了)

但点双性质实在不优秀,ab,bc 并不能推出 ac

定义两条边相邻为:

  • 两条边有公共顶点。

定义两条边属于同一个点双:

  • 设两条边为 (a,b)(c,d),满足 (x,y){a,b}×{c,d},xy 就称 (a,b)(c,d) 属于同一个点双(即 (a,b)(c,d))。

发现把边的定义整出来似乎就优秀了。

结论 1:若 (a,b)(c,d)(c,d)(e,f),则 (a,b)(e,f)

证明:

  • 根据定义,(a,b)(e,f) 等价与 (x,y){a,b}×{e,f},xy
  • (a,b)(c,d)(e,f)(c,d)
  • 则任意的二元组 (x,y)(这是二元组,不是边),一定满足 xy 都与 cd 两点属于同一个点双。
  • 我们从图中删掉 cd 中的任意一个都可以通过另外一个点从 x 到达 y
  • 如果删除的点不是 cd 也能到达(xcycxdyd, 不连通才怪……)。
  • aeafbebf
  • 得证。

(借用一下 OI Wiki 的图,侵删)

众所周知,一条返祖边(非树边)可以使原图多一个点双。

那什么时候才能使两个点双合并成一个点双呢?

考虑把所有边都对应一个点,如果产生了一个点双则将所有在原图中相邻的的边对应的点连起来(即上图蓝边)。

只要蓝边相邻就可合并为同一个点双。

结论 2:对于树上的一个点双,深度最浅的点只有一个儿子。

证明:
使用反证法。

  • 若一个点双深度最浅的点有超过一个儿子。
  • 则其儿子中任意两个点均可以通过删掉父亲使其不连通,与定义不符。
  • 则一个点双深度最浅的点不会有超过一个儿子。
  • 得证。

正题

概念

圆方树是什么?

把一张图的所有点双统计出来,并对于每一个点双,新建一个方点(原图的点为圆点)。

将点双内所有圆点之间的边断开(点双外不断),并连到新建的方点上,如下图。

(好吧还是 OI Wiki 的)

实现

跑点双最好用的还是 tarjan 啊……

dfni 为点 i 的 dfs 序。

lowi 为点 i 能够通过非树边到达的 dfs 序最小的点的 dfs 序(包括它本身)。

结论 3:根据 结论 2,对于任意一条树边 (u,v),满足 uvu 为点双最浅的点。

均满足 lowv=dfnu(或 lowvdfnu)。

证明:

  • 既然 uv 属于同一个点双,则其必有一条非树边连向上面。
  • v 点必能通过非树边走到 u
  • 它无法继续通过树边走到下面(结论 2)。
  • 也无法通过另外一条非树边走到上面(若有非树边能通向上面,则 u 就不是点双最浅点了)。

后面基本就跟普通 tarjan 一样了,贴个代码(点双模板):

void tarjan(int u) {
    st.push(u);               // 把节点放到栈里
    dfn[u] = low[u] = ++tot;  // 更新两个值
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {                     // 没访问过
            tarjan(v);                     // 访问
            low[u] = min(low[u], low[v]);  // 更新
            if (low[v] >= dfn[u]) {        // 改成 == 也行
                d_tot++;                   // 点双个数加 1
                d[d_tot].push_back(u);     // 更新点双
                while (st.top() != v) {    // 用栈死命弹
                    int t = st.top();
                    d[d_tot].push_back(t);
                    st.pop();
                }
                d[d_tot].push_back(v);
                st.pop();
            }
        } else
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);  // 更新
    }
    if (g[u].size() == 0) {  // 特判单独一个点
        d_tot++;
        d[d_tot].push_back(u);
    }
}

建一颗圆方树也就简单了(前文有注释的就没写了):

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    st.push(u);
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            chmin(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                h_tot++;                // 建立方点
                h[h_tot].push_back(u);  // 无向图
                h[u].push_back(h_tot);
                while (st.top() != v) {
                    int t = st.top();
                    h[h_tot].push_back(t);
                    h[t].push_back(h_tot);
                    st.pop();
                }
                h[h_tot].push_back(v);
                h[v].push_back(h_tot);
                st.pop();
            }
        } else {
            chmin(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

一个技巧:区分圆点方点的最好方法就是把方点的下标从 n+1 开始,即 h_tot 的初值赋为 n

胜利!!!

例题

洛谷 P4320 道路相遇

建一棵圆方树。

观察到 uv 的路径的必经点就是圆方树上 uv 的路径上的圆点个数。

题目就转换成了一个树上路径问题。

倍增 LCA 即可。

namespace zqh {
const int N = 1000005;

int n, m, q, dfn[N], low[N], tot, h_tot, f[N][25], dep[N];
stack<int> st;
vector<int> g[N], h[N];

void tarjan(int u) {  // 圆方树,注释前文有写
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    st.push(u);
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            chmin(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                h_tot++;
                h[h_tot].push_back(u);
                h[u].push_back(h_tot);
                while (st.top() != v) {
                    int t = st.top();
                    h[h_tot].push_back(t);
                    h[t].push_back(h_tot);
                    st.pop();
                }
                h[h_tot].push_back(v);
                h[v].push_back(h_tot);
                st.pop();
            }
        } else {
            chmin(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

void dfs(int u, int fa, int dp) {  // LCA,不用说啦吧
    f[u][0] = fa;
    dep[u] = dp;
    for (int x : h[u]) {
        if (x == fa)
            continue;
        dfs(x, u, dp + 1);
    }
}

void build() {
    int t = log2(n);
    for (int i = 1; i <= t; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];
        }
    }
}

int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y])
        swap(x, y);
    int dep_max = 0;
    while ((1 << (dep_max)) <= dep[x]) {
        dep_max++;
    }
    for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {
        if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) {
            x = f[x][i];
        }
    }
    if (x == y)
        return x;
    for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {
        if (f[x][i] != f[y][i]) {
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}

int dis(int x, int y) {
    return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca(x, y)];
}

void init() {
    cin >> n >> m;
    h_tot = n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
}

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!dfn[i]) {
            tarjan(i);
        }
    }
    dfs(1, 0, 1);
    build();
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        cout << dis(u, v) / 2 + 1 << endl;  // 圆点个数
    }
}

void main() {
    init();
    solve();
}
}  // namespace zqh

应该还会加的……

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