席位分配再讨论

Q值法：增加的一个席位时，计算Qi=pi^2/[ni*(ni+1)],I = 1,2,3… 增加的一个席位应当分配给Q值最大的一方

Q值法是20世纪20年代哈佛大学数学家E.V.Huntington提出和推荐的席位分配算法中的一个方法

下面对这类Huntington除法做出简单介绍和比较

设共有m方分配N个席位，第i方人数为pi,记p = (p1,p2,p3…pm),P = Σ（i从1到m）Pi.席位分配要求

寻找n=(n1,n2,n3…nm),其中ni是第i方分配的席位，满足Σ（i从1到m）ni=N,且ni均为非负整数

按照最大剩余法（GR）分配席位时，首先计算第i方精确的席位份额，记为qi,可得到qi=N*pi/P, i=1,2,3…m.

若qi均为整数，令ni=qi即可完成分配。否则记[qi]=qi的整数部分，先将[qi]分给第i方，然后将尚未分配的

r - Σ（i从1到m）[qi]个席位分配给剩余qi-[qi]中最大的r方，每方一席

对上述方法进行思考：

1.进行席位分配最终结果肯定是所有的席位都已经分配出去了。这句对应的就是上面的满足Σ（i从1到m）ni=N

2.由于分配时不一定按照份额分配都能得到整数，因此绝大多数的情况下会产生小数。此时我们可以先把小数部分全部忽略掉，这样就已经分配出去了一部分席位，但是肯定还剩余了一部分席位（等于所有小数部分相加），接下来要做的工作就是将这些席位分配出去。

3.剩余的这些席位按照什么样的原则分配呢？就是所谓的最大剩余法！按照剩余的小数部分从大到小进行排序，然后把剩余下的席位依次分配下去（每一方只能在这个分配过程中获得1个席位）

4.总的来说，就是整数部分分配下去之后，分配小数部分

每一方所得的席位数小于等于整数分配时的席位+1

Huntington除法首先对整数n定义一个非负单调增函数d(n),当总席位为s时，第i方分配的席位是pi，s的函数，记为fi(pi,s),

而且fi(pi,0)=0, i=1,2,3…m，让s每次增加1席，按照以下的准则分配：

设ni = fi(pi,s),若对某一个k,有

Pk/d(nk) = max pi/d(ni) , i从1到m

则令fk(p,s+1)=nk+1, fi(p,s+1)=ni,(i!=k)

对上面的分配进行思考：

1.首先为什么是一个非负单调增函数？因为ni=fi(pi,s) 也就是第i方获取的席位数目， d(ni)就是这个定义的函数。

当每一方的人数pi保持不变时，令s不断增加，那么ni也会随着不断增加。在之前的不公平度衡量时，我们定义了pi/ni这个数值，只有当pi/ni = pj/nj时才能达到公平，如果pi/ni>pj/nj，这样就会导致对i方不公平！

所以我们为了找到增加的1个席位分配给哪一方，就要类似定义这样的衡量值。在此这个函数d(ni)也就是我们之后带入的d(fi(pi,s))就是我们的函数。也只有这个函数是非负的情况下才有意义进行分配。除此之外，也只有函数d(fi(pi,s))是单调递增时，才满足某一方分得席位越多，该衡量值越小。也就是意味着某一方人数不变的情况下，随着分配席位的增加，该方的衡量值变小。

综上所述，函数d(ni)应当是非负单调增函数！

2.对于不同的情况如何进行函数d( ni)的选择，直接关系到席位分配的公平程度。

Huntington推荐的5中除数法

 

存在公平的席位分配方法吗？

首先要确定满足什么样的条件才能叫做公平的席位分配

这里我们只给出公平的席位分配明显应该具备的3条主要性质（ni=fi(pi,s)表示人数为p，总席位为s时分配给第i方的席位， i=1,2，3…m）

1. qi向下取整<=ni<= qi向上取整，即ni必须是精确的席位份额qi向下或向上取整得到，称为份额性
2. Fi(pi,s)<=fi(pi,s+1)，当总席位增加时，每一方的席位只能保持不变或者增加，称为席位单调性
3. 若对于任意的I,j=1,2,3,…m，j!=i，p'i/p'j>=pi/pj，则fi(p'i,s)>=fi(pi,s)或者fj(p'j,s)<=fj(pj,s)，即当i方相对于j方人数增加时（总席位不变），不会导致i方席位减少而j方席位增加（不排除I,j两方席位都增加或者都减少），称为人口单调性

那么是否存在满足上述3个性质的分配方法呢？

事实上已经证明：对于m>=4, n>=m+3,不存在满足上述3条性质的分配方法

也就是当分配席位的各方超过4个，并且分配的总席位超过总方数加3时，不存在满足上述的分配方法。

总结：

起初对于出现在社会政治领域中的席位分配，人们一直认为是一个简单的数学问题，用初等的方法处理，但是在应用过程中这样的分配方案得到的结果并不是满足要求的。知道20世纪70年代Balinski和Young采用公理化方法进行研究，才是这一问题的基本原理得以明晰。

但是在实际应用过程中，"反例"是极少出现的。