计算机组成原理-定点/浮点表示

前言：定点/浮点表示的学习笔记

什么是定点表示

这里有个问题，为什么小数定点机中补码能表示最小的范围是-1？因为在补码+-0都是用00000000来进行表示了，所以在补码范围内中多出来了一个数的表示，也就是10000000

这里的话在小数里面也相同，那么也就是最小的数就是符号位为1，其他的数为0，也就是1.000...0，那么这个值就是-1

其实这里的话准确的来说应该是1.0，我们这里可以通过定义来进行求出，小数补码的负数的计算公式为 [x]补 = 2+x，也就是2-1，也同样可以得出-1的补码就是1.000..0

知识点：小数－1，既没有原码，也没有反码，原因也很好理解，原码和反码的+-0都需要两个数来进行表示

为什么要引入浮点表示

• 编程困难，程序员要自己手动调节小数点的位置

• 如果要比较两个数，一个数十分的小只占1个字节，但是一个数很大可能有十几个字节，但是这两数要进行比较，那么就需要有一个内存位置来存储它们两个，但是问题来了，为了比较一次一个这么大的数，这样子就会十分的浪费内存的资源，所以这里就引入了浮点表示的方法，通过浮点表示的方法进而解决了这种问题

浮点表示

个人理解，其实跟科学计数法十分的相像，可以通过类比科学计数法来进行学习

浮点表示的形式：N=S*r^j

S是尾数（绝对值小于等于1），j是阶码（整数），r是尾数的基值（可以是2 4 8 16）

比如一个数N，N=11.0101

我们这里可以通过浮点表示法来进行表示

• 首先需要注意的是尾数的绝对值需要的是小于等于1，那么这图中只有其中的两个是符合的

• 还需要注意的一点是尾数的表示，这里的话表示的是通过二进制来进行表示的，除了二进制，四进制，八进制都可以

• 还需要注意的一点就是什么叫做"规格化"，其实就是小数部分的最高位为1，那么该数的浮点表示就称作为是规格化

浮点在机器中的表示形式

上面描述了正常的浮点是如何表示的，其实就想是科学计数法一样，这里的话继续来讲浮点在机器中是如何进行表示的

• 首先需要知道的是 阶码 和 尾数都是有符号位的，所以这里个符号位就有两个，一个是描述的阶码的符号位，一个是描述尾数的符号位

• Jf和m共同表示小数点的实际位置是怎么理解的，可以看到如果Jf和m越大的话，那么小数点的位置就会越靠后

• n表示精度，其实就是n的位数越大的话，那么这个数的精度越高

浮点数的表示范围

上面学习了浮点数的表示形式，这里继续来通过浮点数的表示形式来学习浮点数能够表示的范围

我们这里浮点数通过原码的形式来进行学习

这里给了前提条件为浮点数阶码的数值位取m位，尾数的数值位取n位，这里的话不考虑规格化形式

• 最大的负数

那么分成两部分表示，分别是阶码和尾数这两个部分，阶码最大，尾数最小

• 最小的负数

那么分成两部分表示，分别是阶码和尾数这两个部分，阶码最小，尾数最大

• 最大的正数，跟最小负数一样，符号位不一样

• 最小的正数，跟最大负数一样，符号位不一样

这里还有个溢出的知识点：

• 上溢，指的就是阶码 > 最大阶码

• 下溢，指的就是阶码 < 最小阶码，这种情况机器就会作为0值处理

相关的练习，如下图所示

• 如果想表示正负3万的十进制数，也就是4位能够表示0~15，就是2^15次，215=34768，而阶码的符号位也需要占到一位，所以阶码的话总共用到了5位

• 这里的话又要求最大精度的前提下，所以尽可能的需要让n的位数多，尾数的位的长度尽量大，而这里的话数符占了一位，所以尾数的长度就是24-5-1=18位

浮点数的规格化表示

这个在上面简单学习浮点数的时候有提到过，那时候说的就是在浮点数中，小数部分的最高位为1，那么该数的浮点表示就称作为是规格化，这里继续来学习下说

浮点数和定点数的区别

定点数：小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。

浮点数：小数点的位置是不固定的，用阶码和尾数来表示。通常尾数为纯小数，阶码为整数，尾数和阶码均为带符号数。尾数的符号表示数的正负；阶码的符号则表明小数点的实际位置。

我这里举个对应的例子来查看，我想说的就是对于定点数和浮点数的表示问题，就比如这道题，最后是通过定点数和浮点数来表示

可以看到定点数的小数点是不变的，是死的，那么就会有一个问题，如果位数大的话，表示的话只能写成0.1111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx1，甚至更多，这就导致了空间的浪费

而图中可以看到浮点数的表示，浮点数通过阶码和尾数来进行表示，这样的话虽然小数点会变动位置，但是会节省在内存空间中的资源