算法每周一题（一）——单源最短路

原题目

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题目描述
给定一个 $n$ 个点，$m$ 条有向边的带非负权图，请你计算从 $s$ 出发，到每个点的距离。

数据保证能从 $s$ 出发到任意点。

输入格式
第一行为三个正整数 $n, m, s$。 第二行起 $m$ 行，每行三个非负整数 $u_i, v_i, w_i$，表示从 $u_i$ 到 $v_i$ 有一条权值为 $w_i$ 的有向边。

输出格式
输出一行 $n$ 个空格分隔的非负整数，表示 $s$ 到每个点的距离。

初次尝试：

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由于刚刚学过数据结构，很快就有了思路（采用邻接表存储+$Dijkstra$算法），但是由于从没实践过😭,所以写的时候有点费劲，又调试了好久，才得到正确的结果：

• 第一代代码：

//单源最短路传统
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dist[100005],path[100005];
bool S[100005];
typedef struct e{
	int key;
	int d;
	struct e *next;
}edge;
typedef struct{
	edge *out=NULL;
}node;
void add(node *n,int v,int w)
{
	edge *e=(edge *)malloc(sizeof(edge));
	e->key=v;
	e->d=w;
	e->next=n->out;
	n->out=e;
}
void kl(node *n,int k)
{
	edge *e=n->out;
	while(e!=NULL)
	{
		if(e->d+dist[k]<dist[e->key])
		{
			dist[e->key]=e->d+dist[k];
			path[e->key]=k;
		}
		e=e->next;
	}
}
int main()
{
	memset(dist,100,sizeof(dist));//距离初始化为无穷，这里为一个很大的数
	memset(path,-1,sizeof(path));
	int n,m,s,u,v,w;	
	node N[100005];
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int nn=n;
	dist[s]=0;path[s]=s;dist[0]=2000000005;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 
		add(N+u,v,w);
	}
	while(nn!=0)
	{
		int mini=0;
		kl(N+s,s);
		S[s]=S[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(dist[i]<dist[mini]&&S[i]==0)mini=i;//寻找距离最短的结点来考虑 
		s=mini;
		nn--;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dist[i]); 
	return 0;
} 

痛苦地写了很久很久，结果全部超时了，简直太悲伤了！！😭😭

又审视写下的代码，发现while(nn!=0)内存在两个循环，一个在kl()函数中，但遍历所有点是算法要求因此不作优化；另一个“寻找距离最短的结点”时间复杂度为O(n)，需要考虑对其进行优化。由于总是取出距离最短的结点，想到可以使用堆来进行维护，时间复杂度为O(1)，但此时笔者已经心太累只想快点完成这道题，因此直接使用STL库中定义好的优先队列——堆来进行优化。

• 小资料

  • stl优先队列的使用：

  • //定义一个优先队列
    std::priority_queue<Type,Container,Functional> q;
    //数据操作
    q.push()//入队
    q.pop()//出队
    q.top()//返回顶部元素
    q.empty()//返回队列是否为空
    /*特别地，stl优先队列使用<进行大小比较，对于自定义的容器，需要在内部重载运算符才能正常使用。*/
    //使用范例
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    struct node{
    	int k;
    	int	m;
    	bool operator <(const node &x)const{
    		return k<x.k;//默认为大根堆，相反则为小根堆
    	}//关键部分，定义逻辑比较符，声明比较的内容
    };
    int main()
    {
    	std::priority_queue<node> q;
    	q.push({1,2});
    	q.push({2,1});
    	q.push({0,7});
    	node temp=q.top();
    	cout<<temp.k<<" "<<temp.m;
    	return 0;
    }

解法优化

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优化的关键在于想到把新旧的<距离,结点>组全部放在一个堆中是没有关系的，只要取出以后判断结点是否已经访问过即可。这样就方便多了。其次本题中path[]数组也是没有用的，直接注释掉。

• 优化后代码

//单源最短路堆优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dist[100005];//int path[100005];//本题path[]数组好像没什么用 
bool vis[100005];
//定义数据结构
struct edge{
	int key;
	int d;
	edge *next;
};
struct node{
	edge *out=NULL;
}N[100005];
struct node_dist{
	int dist;
	int node;
	bool operator < (const node_dist &x)const
	{
		return dist>x.dist; 
	}//重载运算符使兼容，并定义成小根堆
};
std::priority_queue<node_dist> q;//使用stl库定义一个优先队列
//定义函数
void add(node *n,int v,int w)
{
	edge *e=(edge *)malloc(sizeof(edge));
	e->key=v;
	e->d=w;
	e->next=n->out;
	n->out=e;
}
 
void kaolv(node *n,int k)
{
	edge *e=n->out;
	while(e!=NULL)
	{
		if(e->d+dist[k]<dist[e->key])
		{
			dist[e->key]=e->d+dist[k];
//			path[e->key]=k;
			q.push({dist[e->key],e->key});
		}
		e=e->next;
	}
}
 
int main()
{
	int n,m,s,u,v,w; 
	memset(dist,100,sizeof(dist));//将dist[]数组所有元素初始化为无穷（很大的值)
//	memset(path,-1,sizeof(path));	
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
	int nn=n;
	//输入 
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w); 
		add(N+u,v,w);
	}
	//Dijkstra
	dist[s]=0;//path[s]=s;
	q.push({0,s});
	while(!q.empty())
	{
		node_dist tmp=q.top();
		q.pop();
		int n=tmp.node;
		if(!vis[n])
		{
			kaolv(N+n,n);//考虑该点 
			vis[n]=1;
		}
	}
	//输出
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dist[i]); 
	return 0;
} 

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终于过了，记录下成功的喜悦，2021-8-4 凌晨1点24分！！