高数下期中复习day1——微分方程

第七章——微分方程

5.20居然有期中考，整理下笔记。

基本概念

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• 微分方程：含有未知导数或微分的方程。
• 阶：微分方程中未知函数最高阶导数的阶数。
• 初值条件；初值问题；
• 特解；通解（通解特性：含任意常数的个数与方程阶数相同）

常见方程类型

课本上介绍了以下几类方程：

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一、可分离变量的微分方程

特征：可以将方程变换为一端只含有x的函数与dx，另一端只含有y的函数与dy的方程

二、齐次方程

特征：可化为 $dy \over dx$= $\phi$($y \over x$)的一阶微分方程

三、一阶线性微分方程

特征：形如： $dy \over dx$$+ P(x)y=Q(x)$的微分方程

四、可降阶高阶的微分方程

1. $y^{(n)}=f(x)$ 型的微分方程
2. $y''=f(x,y')$ 型的微分方程
3. $y''=f(y,y')$ 型的微分方程

五、高阶线性微分方程

如二阶：$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$

六、常系数齐次线性微分方程

$y''+py'+qy=0$

七、常系数非齐次线性微分方程

求解技巧

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分离变量积分

将方程写成一端只含有x的函数与dx，另一端只含有y的函数与dy的形式；两端分别积分后化简。

齐次方程化可分离变量

将一阶微分方程化作 $dy \over dx$= $\phi$($y \over x$) 形式，则可设$u=$$y \over x$ $,y=ux$ 则 $dy \over dx$$=u+x$$du \over dx$ ,代入方程得：$u+x$$du \over dx$$=\phi(u)$,再分离变量得：

$du \over \phi(u)-u$$=$$dx \over x$ !
遂两端求积分，再将$u=$$y \over x$代回方程，化简得到通解。

一阶线性微分方程常数变易法

（mathjax写公式太累了，直接上手写照片。）

得到公式 $y=e^{- \int P(x)dx}\cdot(\int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx+C)$ 。虽然容易推导，可是人生这么短，还是直接套吧。

y的导数不只最高阶时的降阶法

二阶方程主要思想：通过换元将方程转化为一阶且依然只有两个变量的方程，用一阶方法继续求解。

• 方程不显含y “$f(x,y',y'')=0$”型：设$y'=p$，则$\frac{dp}{dx}=y''$,分别代入后得以转化为一阶方程$f(x,p,\frac{dp}{dx})=0$
• 方程不显含x “$f(y,y',y'')=0$”型：同样设$y'=p ,y''=\frac{dp}{dx}$. 不过此时将p关于x导数做进一步转化：$y''=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p \cdot \frac{dp}{dy}$，分别代入后转化为$f(y,p,p\cdot\frac{dp}{dy})=0$

巧用导数加法

即便是简单的导数加法法则，也因其所蕴含着的线性关系，在高阶线性微分方程中产生奇效……
对于一个二阶线性微分方程：$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$，当自由项$f(x)\equiv 0$有对应的齐次方程$y''+P(x)y''+Q(x)y=0$.

1. 若齐次方程有$y=y_1(x),y=y_2(x)$两特解，分别代入方程后将两式分别乘上任意常数$C_1,C_2$分别叠加，有$(C_1y_1''+C_2y_2'')+P(x)(C_1y_1'+C_2y_2')+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0$，于是由导数常数和加法运算法则得：$(C_1y_1+C_2y_2)''+P(x)(C_1y_1+C_2y_2)'+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0$，
   故 $y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 也是齐次方程的解，

更高阶亦能推出此性质，称之“齐次线性方程解的叠加原理”。如果$y_1(x),y_2(x)$线性无关，则 $y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$就是含两任意常数（不可合并）的解——通解。

2. 设 $y*(x)$是二阶非齐次线性方程的一个特解，$Y(x)$是与该方程对应的齐次方程的通解，于是可分别代入对应方程后叠加得：$(y*''+Y'')+P(x)(y*'+Y')+Q(x)(y*+Y)=f(x)$，再次用导数加法法则得到：$(y*+Y)''+P(x)(y*+Y)'+Q(x)(y*+Y)=f(x)$
   于是$y=y*(x)+Y(x)$就是二阶非齐次线性微分方程的通解.

3. 设$y_1(x),y_2(x)$分别是$y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x))$和$y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)$的特解，那末将两式叠加也同理可得：$y=y_1(x)+y_2(x)$ 是方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的特解

4. 同样地也能推出非齐次两特解之差为齐次方程特解之类的定理。以上定理更像是例子，但在解线性方程的时候很有用。

特征方程法求解常系数线性微分方程

对$y=e^{rx}$求n阶导，$e^{rx}$始终存在，不如代入常系数齐次线性方程，约去$e^{rx}$，则方程转化为诸如 $r^2+pr+q=0$ 的“特征方程”。设法在各种情形解出满足方程的多个r，从而得到齐次方程多个线性无关的特解（ $e^{rx}$ ），就能表示出通解了。

好累啊，把推导过程打出来就不用复习了。直接记公式：

$\Delta>0$	$r_1\neq r_2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$\Delta=0$	$r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\Delta<0$	$r= \alpha\pm\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$

非齐次：同样根据解的结构求出 Y 和 y，求 Y 代上面公式，下面给个第一类求 y 公式 （打着字复习太累了我后悔了）：
第一类：$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$
设特解：$y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$ ，（$Q_m(x)$是m次多项式）

$$k= \begin{cases} 0& \text{当 $\lambda$ 不是是特征根}\\ 1& \text{当 $\lambda$ 是特征单根}\\ 2& \text{当 $\lambda$ 是特征重根} \end{cases}$$

代回原方程求解…

先溜了。