循环冗余校验码

1、前言
循环冗余校验码简称CRC码,是目前使用非常广泛的数据校验方式.它不仅能校验传递过来的数据正确性,还能筛查出哪一位出现了错误.它的局限性是只能校验一位数据发生跳变,在现实世界当中数据发生跳变很大很大的概率只有一位发生变化,因此CRC码也拥有很大的发挥舞台.

 2、发送方数据处理
     a、  前期准备

假设发送方A向接收方B发送一串二进制数据101001.A需要计算出K位校验码,放在原始数据的后面一起发送给B.

它们双方事先约定了一个私密的二项式G(x) = x^3 + x^2 +1,这个多项式用来计算校验码的位数和值.二项式的设计必须符合一定的规则,G(x)的最高项和最低项的系数必须为1.通过这个二项式我们首先可以获取K的大小,最高项x^3的幂指数3就等于K.另外通过二项式G(x)生成数据串G(x) = 1*x^3 + 1*x^2 + 0*x^1 +1*x^0 = 1101(将二项式前面的系数组合在一起就形成了数据串).数据串可以帮助我们计算出校验码的值.

在有些情景下,我们无法获知多项式G(x).但直接得到了多项式生成后的数据串1101,此时怎么知道校验码有几位呢?用数据串的长度减去1就是K的大小.
校验码的计算

从上面描述可知二进制数据101001现在需要加上3位校验码,而用于校验的数据串也已经算出为1101.那通过这两个条件如何计算出校验码呢?在这里采用的是模2除法.模2除法它既不向上位借位,也不比较除数和被除数的相同位数值的大小,只要以相同位数进行异或运算即可.详细运算过程如下:

 

 

  101001后面需要加上3位校验码,先添加3个0替代变成101001000,随后对1101做模二除法
    然后要看被除数的最高位是1还是0,是1商就上1,是0商就上0.此时被除数最高位是1,所以商为1.1再乘以1101和1010做异或运算
    第一轮计算余数为0111,舍弃最高位0,将后面的0填上就变成了1110.此时被除数变成了1110,最高位仍然为1,所以商仍然上1,将1101和1101做异或运算.结果0011,舍弃最高位0,将后面的1填上,被除数就变成了0111.依次类推算到最后一位的余数为001.
    只要本着被除数的最高位为几商就写几的原则进行异或运算后的余数的最高位一定是0,是0就可以舍弃,继续进行下面的运算.最后得出的最终余数001就是我们想要的3位检验码.
    通过这种模二除法有什么好处呢?比如说数101001后面加三个0后对1101做模二除法,最终会得到三位余数.然后将三位余数替换被除数的三个0再对1101做模二除法时,余数一定为0.换言之101001001再对1101做模二除法时余数一定为0.利用这个特性就可以做数据校验.

3、接受方数据校验

接受方B此时已经接受到了A传递过来的数据 101001001,并且他也知道事先约定的多项式g(x),他先通过g(x)计算出数据串为1101.他现在要开始做校验操作了.让101001001对1101做模二除法.

 

 

计算出来的余数为0,说明传送过来的数据正确.

假如传送过来的数据101001001第二位发生了跳变,变成了101001011,那运算结果又会如何?

 

 最后计算出来的余数为010,并不为0,说明数据发生了跳变.而010代表数字2,指明是第二位数据出现了错误.细心的同学肯定会发现3位校验码最多只能表示8种情况,而101001001有9个数字,在最多只有一位数字发生跳变的前提下,它的错误情况有九种,这样的话3位校验码就无法表示所有的出错情况了.比如说101001001最高位发生了跳变.

 

 最高位发生跳变时,被除数的最高位为0,商上0继续运算,算到最后的余数为010.此时我们可以发现最高位(第9位)发现跳变时最后算出的余数是010,而第二位发生跳变时也是010,如果接收方算出了010,它也无法确定到底是第二位出错还是第九位出错,这样就只能检错而不能纠错.为了避免此类状况的发生,多项式g(x)和信息数据的长度设计显得尤为重要.