二叉树遍历方法

 

 

 

 

前序遍历

 

具体过程：

1. 先访问根节点
2. 再序遍历左子树
3. 最后序遍历右子树

中序遍历

 

 

具体过程：

1. 先中序遍历左子树
2. 再访问根节点
3. 最后中序遍历右子树

 

后序遍历

递归方式实现后序遍历

1. 先后序遍历左子树
2. 再后序遍历右子树
3. 最后访问根节点

层次遍历

 二叉树先序遍历的实现思想是：

1. 访问根节点；
2. 访问当前节点的左子树；
3. 若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；

图 1 二叉树
 

以图  1 为例，采用先序遍历的思想遍历该二叉树的过程为：

1. 访问该二叉树的根节点，找到 1；
2. 访问节点 1 的左子树，找到节点 2；
3. 访问节点 2 的左子树，找到节点 4；
4. 由于访问节点 4 左子树失败，且也没有右子树，因此以节点 4 为根节点的子树遍历完成。但节点 2 还没有遍历其右子树，因此现在开始遍历，即访问节点 5；
5. 由于节点 5 无左右子树，因此节点 5 遍历完成，并且由此以节点 2 为根节点的子树也遍历完成。现在回到节点 1 ，并开始遍历该节点的右子树，即访问节点 3；
6. 访问节点 3 左子树，找到节点 6；
7. 由于节点 6 无左右子树，因此节点 6 遍历完成，回到节点 3 并遍历其右子树，找到节点 7；
8. 节点 7 无左右子树，因此以节点 3 为根节点的子树遍历完成，同时回归节点 1。由于节点 1 的左右子树全部遍历完成，因此整个二叉树遍历完成；

因此，图 1 中二叉树采用先序遍历得到的序列为：

1 2 4 5 3 6 7

 

二叉树中序遍历的实现思想是：

1. 访问当前节点的左子树；
2. 访问根节点；
3. 访问当前节点的右子树；

图 1 二叉树
 

以图  1 为例，采用中序遍历的思想遍历该二叉树的过程为：

1. 访问该二叉树的根节点，找到 1；
2. 遍历节点 1 的左子树，找到节点 2；
3. 遍历节点 2 的左子树，找到节点 4；
4. 由于节点 4 无左孩子，因此找到节点 4，并遍历节点 4 的右子树；
5. 由于节点 4 无右子树，因此节点 2 的左子树遍历完成，访问节点 2；
6. 遍历节点 2 的右子树，找到节点 5；
7. 由于节点 5 无左子树，因此访问节点 5 ，又因为节点 5 没有右子树，因此节点 1 的左子树遍历完成，访问节点 1 ，并遍历节点 1 的右子树，找到节点 3；
8. 遍历节点 3 的左子树，找到节点 6；
9. 由于节点 6 无左子树，因此访问节点 6，又因为该节点无右子树，因此节点 3 的左子树遍历完成，开始访问节点 3 ，并遍历节点 3 的右子树，找到节点 7；
10. 由于节点 7 无左子树，因此访问节点 7，又因为该节点无右子树，因此节点 1 的右子树遍历完成，即整棵树遍历完成；

因此，图 1 中二叉树采用中序遍历得到的序列为：

4 2 5 1 6 3 7

二叉树后序遍历的实现思想是：从根节点出发，依次遍历各节点的左右子树，直到当前节点左右子树遍历完成后，才访问该节点元素。

图 1 二叉树
 

如图 1 中，对此二叉树进行后序遍历的操作过程为：

• 从根节点 1 开始，遍历该节点的左子树（以节点 2 为根节点）；
• 遍历节点 2 的左子树（以节点 4 为根节点）；
• 由于节点 4 既没有左子树，也没有右子树，此时访问该节点中的元素 4，并回退到节点 2 ，遍历节点 2 的右子树（以 5 为根节点）；
• 由于节点 5 无左右子树，因此可以访问节点 5 ，并且此时节点 2 的左右子树也遍历完成，因此也可以访问节点 2；
• 此时回退到节点 1 ，开始遍历节点 1 的右子树（以节点 3 为根节点）；
• 遍历节点 3 的左子树（以节点 6 为根节点）；
• 由于节点 6 无左右子树，因此访问节点 6，并回退到节点 3，开始遍历节点 3 的右子树（以节点 7 为根节点）；
• 由于节点 7 无左右子树，因此访问节点 7，并且节点 3 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 3；节点 1 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 1；
• 到此，整棵树的遍历结束。

由此，对图 1 中二叉树进行后序遍历的结果为：

4 5 2 6 7 3 1

 满二叉树：二叉树中每个内部结点都有存在左子树和右子树（或者说满二叉树所有的叶结点都有同样的深度）

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

（满二叉树的严格的定义是：一颗深度为h且有2h-1个结点的二叉树）

 

 

 完全二叉树：

第一种解释：如果一颗二叉树除最右边位置上有一个或几个叶结点缺少外，其他是丰满的那么这样的二叉树就是完全二叉树（这句话不太好理解），看下面第二种解释

第二种解释：除第h层外，其他各层（1到h-1）的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点，则这个二叉树就是完全二叉树

也就是说如果一个结点有右子结点，那么它一定也有左子结点

第三种解释：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点

完全二叉树的形状类似于下图

 

 

为了方便理解请看下图（个人理解：完全二叉树就是从上往下填结点，从左往右填，填满了一层再填下一层）

 

结点的度和层次

对于一个结点，拥有的子树数（结点有多少分支）称为结点的度（Degree）。例如，图 1（A）中，根结点 A 下分出了 3 个子树，所以，结点 A 的度为 3。

一棵树的度是树内各结点的度的最大值。图 1（A）表示的树中，各个结点的度的最大值为 3，所以，整棵树的度的值是 3。

结点的层次：从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子结点所在的层为第二层，依次类推。对于图 1（A）来说，A 结点在第一层，B、C、D 为第二层，E、F、G、H、I、J 在第三层，K、L、M 在第四层。

一棵树的深度（高度）是树中结点所在的最大的层次。图 1（A）树的深度为 4。

 

树的表示方法

除了图 1（A）表示树的方法外，还有其他表示方法：

 

          （A）                                         （B）

图2 树的表示形式
 

图 2（A）是以嵌套的集合的形式表示的（集合之间绝不能相交，即图中任意两个圈不能相交）。

图 2（B）使用的是凹入表示法（了解即可），表示方式是：最长条为根结点，相同长度的表示在同一层次。例如 B、C、D 长度相同，都为 A 的子结点，E 和 F 长度相同，为 B 的子结点，K 和 L 长度相同，为 E 的子结点，依此类推。

最常用的表示方法是使用广义表的方式。图 1（A）用广义表表示为：

(A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )

 

二叉树的性质

1. 二叉树中，第 i 层最多有 2^i-1 个结点。
2. 如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有 2^K-1 个结点。
3. 二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则 n₀=n₂+1

参考：【图解数据结构】 二叉树遍历